【精品】六年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)教程講義第14講-圓類面積計(jì)算(教師版)

1、360。pr2。第14講圓類面積計(jì)算教學(xué)目標(biāo)熟練掌握?qǐng)A類面積計(jì)算的八種方法：相加法、相減法、重新組合法、割補(bǔ)法、平移法、旋轉(zhuǎn)法、對(duì)稱添補(bǔ)法、重疊法；能運(yùn)用上述方法快速解題。知識(shí)梳理圓的面積：pr2，扇形的面積：a。無(wú)特殊說(shuō)明，圓周率都取=3.14。典例分析考點(diǎn)1：相加法將不規(guī)則圖形分解轉(zhuǎn)化成幾個(gè)基本規(guī)則圖形，分別計(jì)算它們的面積，然后相加求出整個(gè)圖形的面積。例1、下圖中，要求整個(gè)圖形的面積，只要先求出上面半圓的面積，再求出下面正方形的面積，然后把它們相加就可以了。考點(diǎn)2：相減法將所求的不規(guī)則圖形的面積看成是若干個(gè)基本規(guī)則圖形的面積之差。例1、下圖中，若求陰影部分的面積，只需先求出正方形的面積再減

2、去里面圓的面積即可?？键c(diǎn)3：重新組合法將不規(guī)則圖形拆開(kāi)，根據(jù)具體情況和計(jì)算上的需要，重新組合成一個(gè)新的圖形，設(shè)法求出這個(gè)新圖形的面積即可。例1、欲求下圖中陰影部分的面積，可以把它拆開(kāi)使陰影部分分布在正方形的4個(gè)角處，這時(shí)就可以采用相減法求出其面積了?？键c(diǎn)4：割補(bǔ)法將原圖形的一部分切割下來(lái)補(bǔ)在圖形中的另一部分使之成為基本規(guī)則圖形，從而使問(wèn)題得到解決。例1、如下圖，欲求陰影部分的面積，只需把右邊弓形切割下來(lái)補(bǔ)在左邊，這樣整個(gè)陰影部分的面積恰是正方形面積的一半?？键c(diǎn)5：平移法將圖形中某一部分切割下來(lái)平行移動(dòng)到一恰當(dāng)位置，使之組合成一個(gè)新的基本規(guī)則圖形，便于求出面積。例1、下圖中，欲求陰影部分的面積，

3、可先沿中間切開(kāi)把左邊正方形內(nèi)的陰影部分平行移到右邊正方形內(nèi)，這樣整個(gè)陰影部分恰是一個(gè)正方形?？键c(diǎn)6：旋轉(zhuǎn)法將圖形中某一部分切割下來(lái)之后，使之沿某一點(diǎn)或者某一軸旋轉(zhuǎn)一定角度貼補(bǔ)在另一圖形的一側(cè)，從而組合成一個(gè)新的基本規(guī)則圖形，便于求出面積。例1、欲求下圖（1）中陰影部分的面積，可以將左半圖形繞b點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180度，使a與c重合，從而構(gòu)成如下圖（2）的樣子，此時(shí)陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積。考點(diǎn)7：對(duì)稱添補(bǔ)法作出原圖形的對(duì)稱圖形，從而得到一個(gè)新的基本規(guī)則圖形，原來(lái)圖形的面積就是這個(gè)新圖形的一半。例1、下圖中，欲求右圖中陰影部分的面積，沿ab在原圖下方作關(guān)于ab為

4、對(duì)稱軸的對(duì)稱扇形abd。弓形cbd的面積的一半就是所求陰影部分的面積?？键c(diǎn)8：重疊法將所求圖形看成是兩個(gè)或兩個(gè)以上圖形的重疊部分，然后運(yùn)用“容斥原理”解決。注：容斥原理：（sab=s+s-sabab)例1、欲求下圖陰影部分的面積，可先求兩個(gè)扇形面積的和，減去正方形面積，因?yàn)殛幱安糠值拿娣e恰好是兩個(gè)扇形重疊的部分。實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊1、求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）?！窘馕觥咳鐖D所示的特點(diǎn)，陰影部分的面積可以拼成1圓的面積。4623.14128.26（平方厘米）42、下圖是一個(gè)直角等腰三角形,直角邊長(zhǎng)2厘米,求圖中陰影部分面積?！窘馕觥坑蓤D示可知,圖中陰影部分面積為兩個(gè)圓心角為45的扇形面積減

5、去直角三角形的面2-22=1.14(平方厘米)。積.即3.142245136023、如右圖,陰影部分的面積為2平方厘米,求等腰直角三角形的面積?！窘馕觥繉⒌妊苯侨切窝a(bǔ)成一個(gè)正方形,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x厘米,厘米.圖中陰影部分面積是正方形與圓的面積之差的,則圓的半徑為x128于是有x2-3.14x=82,解得x2=.故等腰直角三角形的面積為3200=37(平方厘米)。12320021319132134、abc是等腰直角三角形.d是半圓周的中點(diǎn),bc是半圓的直徑,已知:ab=bc=10,那么陰影部分的面積是多少?(圓周率p=3.14)【解析】如圖作出輔助線,則陰影部分的面積為三角形aed的面積減去

6、正方形bedo的面積再加。三角形aed的面積是(10+102)(102);正方形面積是(102)2,圓面積上圓面積的1142是3.14(102)2,故陰影部分面積的1144為:(10+102)(102)-(102)2+3.14(102)2=37.5-25+19.625=32.12510b【解析】正方形可以分割成兩個(gè)底為2,高為1的三角形,其面積為212=2(平方厘米).1124（平方厘米）。5、右圖中4個(gè)圓的圓心是正方形的4個(gè)頂點(diǎn),它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心.如果每個(gè)圓的半徑都是1厘米,那么陰影部分的總面積是多少平方厘米?a12dc正方形內(nèi)空白部分面積為4個(gè)1圓即一個(gè)圓的面積與正方形面積之差

7、,即p12-2=p-2(平4方厘米),所有空白部分面積為2(p-2)平方厘米.故陰影部分面積為四個(gè)圓面積之和與兩個(gè)空白面積之和的差,即為p124-22(p-2)=8(平方厘米)。6、如圖所示，求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）。【解析1】先用長(zhǎng)方形的面積減去小扇形的面積，得空白部分（a）的面積，再用大扇形的面積減去空白部分（a）的面積。如圖所示。3.14621/4（643.14421/4）16.82（平方厘米）【解析2】把陰影部分看作（1）和（2）兩部分如圖208所示。把大、小兩個(gè)扇形面積相加，剛好多計(jì)算了空白部分和陰影（1）的面積，即長(zhǎng)方形的面積。3.14421/4+3.14621/4461

8、6.28（平方厘米）課后反擊1、求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）?！窘馕觥筷幱安糠滞ㄟ^(guò)翻折移動(dòng)位置后，構(gòu)成了一個(gè)新的圖形（如圖所示）。從圖中可以看出陰影部分的面積等于大扇形的面積減去大三角形面積的一半。3.14421/444228.56（平方厘米）。2、求如圖所示，圖中圓的直徑ab是4厘米，平行四邊形abcd的面積是7平方厘米，abc30度，求陰影部分的面積（得數(shù)保留兩位小數(shù)）。【解析】陰影部分的面積等于平行四邊形的面積減去扇形aoc的面積，再減去三角形boc的面積。半徑：422（厘米）扇形的圓心角：180（180302）60（度）扇形的面積：223.1460/3602.09（平方厘米）三角

9、形boc的面積：7221.75（平方厘米）7（2.09+1.75）3.16（平方厘米）。3、在圖中，正方形的邊長(zhǎng)是10厘米，求圖中陰影部分的面積?！窘馕?】先用正方形的面積減去一個(gè)整圓的面積，得空部分的一半（如圖所示），再用正方形的面積減去全部空白部分?？瞻撞糠值囊话耄?010（102）23.1421.5（平方厘米）陰影部分的面積：101021.5257（平方厘米）?！窘馕?】把圖中8個(gè)扇形的面積加在一起，正好多算了一個(gè)正方形（如圖所示），而8個(gè)扇形的面積又正好等于兩個(gè)整圓的面積。（102）23.142101057（平方厘米）。4、三角形abc是直角三角形,陰影部分的面積比陰影部分的面積小28

10、平方厘米.ab長(zhǎng)40厘米,求bc長(zhǎng)。半圓面積為3.14=628(平方厘米),三角形abc的面積為628+28=656(平方厘米).bc【解析】從圖中可以看出陰影部分加上空白部分的面積是半圓的面積,陰影部分加上空白部分的面積是三角形abc的面積.又已知的面積比的面積小28平方厘米,故半圓面積比三角形abc的面積小28平方厘米。402122的長(zhǎng)為656240=32.8(厘米)。5、如圖1910所示，兩圓半徑都是1厘米，且圖中兩個(gè)陰影部分的面積相等。求長(zhǎng)方形abo1o的面積。【解析】因?yàn)閮蓤A的半徑相等，所以兩個(gè)扇形中的空白部分相等。又因?yàn)閳D中兩個(gè)陰影部分的面積相等，所以扇形的面積等于長(zhǎng)方形面積的一半

11、（如圖1910右圖所示）。所以3.14121/421.57（平方厘米）。6、如圖所示，求圖中陰影部分的面積。【解析1】陰影部分的一半，可以看做是扇形中減去一個(gè)等腰直角三角形（如圖），等腰直角三角形的斜邊等于圓的半徑，斜邊上的高等于斜邊的一半，圓的半徑為20210厘米3.141021/410（102）2107（平方厘米）。【解析2】以等腰三角形底的中點(diǎn)為中心點(diǎn)。把圖的右半部分向下旋轉(zhuǎn)90度后，陰影部分的面積就變?yōu)閺陌霃綖?0厘米的半圓面積中，減去兩直角邊為10厘米的等腰直角三角形的面積所得的差。（202）21/2（202）21/2107（平方厘米）。直擊賽場(chǎng)1、(2016年希望杯第18題)如圖，

12、圓o的直徑ab與cd互相垂直，ab=20厘米，以c為圓心，ca為半徑畫(huà)圓弧ab，則陰影部分的面積是（）平方厘米?！窘馕觥筷幱安糠置娣e等于上半圓ab的面積減去弓形ab的面積，所以陰影部分面積為111102p-(2102p-2010)=1002422、(2013年希望杯第5題)如圖，邊長(zhǎng)為12cm的正方形與直徑為16cm的圓部分重疊（圓心是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)），用s，s分別表示兩塊空白部分的面積，則ss=cm2（圓1212周率p取3）。=【解析】s-s=(s+s）-(s+s）s-s=3(162)2-122=48。121陰2陰圓正重點(diǎn)回顧有些圓類面積計(jì)算必須借助于圖形本身的特征，添加一些輔助線，運(yùn)用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對(duì)圖形進(jìn)行恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)過(guò)分析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。在進(jìn)行組合圖形的面積計(jì)算時(shí)，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，看清組合圖形是由幾個(gè)基本單位4組成的，還要找出圖中的隱蔽條件與已知條件和要求的問(wèn)題