人教版八上數(shù)學(xué)之與三角形有關(guān)的角(提高) 知識(shí)講解

1、與三角形有關(guān)的角（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解三角形內(nèi)角和定理的證明方法；2掌握三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)；3能夠運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，證明問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的內(nèi)角1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180要點(diǎn)詮釋?zhuān)簯?yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類(lèi)問(wèn)題：在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系2.直角三角形：如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余.反過(guò)來(lái)，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝绻苯侨切沃杏幸粋€(gè)銳角為

2、45，那么這個(gè)直角三角形的另一個(gè)銳角也是45，且此直角三角形是等腰直角三角形.要點(diǎn)二、三角形的外角1定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角叫做三角形的外角如圖，acd是abc的一個(gè)外角.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)外角的特征：頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；一條邊是三角形的一邊；另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線(xiàn)（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說(shuō)三角形有三個(gè)外角2性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝切蝺?nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論

3、證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360.要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂驗(yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180，可推出三角形的三個(gè)外角和是360【典型例題】類(lèi)型一、三角形的內(nèi)角和1（2016春東平縣期中）適合條件a=b=c的三角形一定是（）a銳角三角形b鈍角三角形c直角三角形d任意三角形，【思路點(diǎn)撥】設(shè)a=x，則b=x，c=3x根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180列方程求得三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，即可判斷三角形的形狀【答案與解析】解：設(shè)a=x，則b=x，c=3x根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得x+x+3x=180，x=36則c=108則該三

4、角形是鈍角三角形,故選b【總結(jié)升華】本題利用設(shè)未知數(shù)的方法求出三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，解法較為巧妙舉一反三：【變式1】三角形中至少有一個(gè)角不小于_度【答案】60.2】【變式（2015春新沂市校級(jí)月考）如圖，be、cf都是abc的角平分線(xiàn)，且bdc=110，則a=【答案】40.解：be、cf都是abc的角平分線(xiàn)，a=180（abc+acb），=1802（dbc+bcd）bdc=180（dbc+bcd），a=1802（180bdc）bdc=90+a，a=2（11090）=402.在abc中，abcc，bd是ac邊上的高，abd30，則c的度數(shù)是多少?【思路點(diǎn)撥】按abc為銳角三角形和鈍角三角形兩種情

5、況，分類(lèi)討論【答案與解析】解：分兩種情況討論：（1）當(dāng)abc為銳角三角形時(shí)，如圖所示，在abd中，bd是ac邊上的高(已知)，adb90(垂直定義)又abd30(已知)，a180-adb-abd180-90-3060又a+abc+c180(三角形內(nèi)角和定理)，abc+c120，又abcc，c60(2)當(dāng)abc為鈍角三角形時(shí)，如圖所示在直角abd中，abd30(已知)，所以bad60bac120又bac+abc+c180(三角形內(nèi)角和定理)，abc+c60c30綜上，c的度數(shù)為60或30【總結(jié)升華】在解決無(wú)圖的幾何題的過(guò)程中，只有正確作出圖形才能解決問(wèn)題這就要求解答者必須具備根據(jù)條件作出圖形的能

6、力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，雙解和多解問(wèn)題也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)該注意的一個(gè)重要環(huán)節(jié)類(lèi)型二、三角形的外角【高清課堂：與三角形有關(guān)的角例4、】3.如圖，在abc中，aebc于e，ad為bac的平分線(xiàn)，b=50，c=70，求dae【答案與解析】解：a180bc180507060,又ad為bac的平分線(xiàn),所以bad12bac30,adebbad503080,又aebc于e,所以dae90ade908010.舉一反三：【變式】如圖，在abc中，abac，aebc于e，ad為bac的平分線(xiàn)，則dae與cb的數(shù)量關(guān)系.【答案】dae=c-b2.4.如圖所示，已知ce是abc外角acd的平分

7、線(xiàn)，ce交ba延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)e.求證：bacb.【答案與解析】證明：在ace中，bac1（三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角）.同理在bce中，2b，因?yàn)?=2，所以bacb.【總結(jié)升華】涉及角的不等關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常用到三角形外角性質(zhì)：“三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角”.舉一反三：【變式】如圖所示，用“”把1、2、a聯(lián)系起來(lái)_.【答案】a21.類(lèi)型三、三角形的內(nèi)角外角綜合5.（2015春?jiǎn)|市校級(jí)月考）如圖，be與cd相交于點(diǎn)a，cf為bcd的平分線(xiàn)，ef為bed的平分線(xiàn)（1）試探求：f與b、d之間的關(guān)系？（2）若b：d：f=2：4：x求x的值（【思路點(diǎn)撥】1）先根據(jù)角平

8、分線(xiàn)的定義得到1=2，3=4，再根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得到d+1=f+3，b+4=f+2，然后把兩式相加即可得到f與b、d之間的關(guān)系；2）設(shè)b=2a，則d=4a，f=ax，利用（1）中的結(jié)論得到2ax=2a+4a，然后解關(guān)于x的方程即可【答案與解析】解：（1）cf為bcd的平分線(xiàn)，ef為bed的平分線(xiàn)，1=2，3=4，d+1=f+3，b+4=f+2，b+d+1+4=2f+3+2，f=（b+d）；（2）當(dāng)b：d：f=2：4：x時(shí)，設(shè)b=2a，則d=4a，f=ax，2f=b+d，2ax=2a+4a2x=2+4，x=3【總結(jié)升華】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：通過(guò)三角形內(nèi)角和為180列等量關(guān)系也考查了角平分線(xiàn)的定義舉一反三：【變式1】如圖所示，五角星abcde中，試說(shuō)明a+b+c+d+e=180.【答案】解：因?yàn)閍gf是gce的外角，