人教版高中數(shù)學【必修二】[知識點整理及重點題型梳理]_直線、平面平行的判定_提高

1、精品文檔用心整理人教版高中數(shù)學必修二知識點梳理重點題型（常考知識點）鞏固練習直線、平面平行的判定【學習目標】1.掌握直線與平面平行的判定定理；2.掌握兩平面平行的判定定理；3能熟練應用直線與平面、平面與平面平行的判定定理解決相關問題【要點梳理】【線面平行的判定與性質(zhì)39945知識講解1】要點一、直線和平面平行的判定文字語言：直線和平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡記為：線線平行，則線面平行.圖形語言：符號語言：aa、ba，a/ba/a.要點詮釋：（1）用該定理判斷直線a與平面a平行時，必須具備三個條件：直線a在平面a外，即aa；直線b在平面a內(nèi)

2、，即ba；直線a，b平行，即ab這三個條件缺一不可，缺少其中任何一個，結論就不一定成立（2）定理的作用將直線和平面平行的判定轉化為直線與直線平行的判定，也就是說，要證明一條直線和一個平面平行，只要在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行即可要點二、兩平面平行的判定文字語言：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.圖形語言：符號語言：若aa、ba，ab=a，且a/b、b/b，則a/b.要點詮釋：（1）定理中平行于同一個平面的兩條直線必須是相交的資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理（2）定理充分體現(xiàn)了等價轉化的思想，即把面面平行轉化為線面平行，可概述為：線面平行面面平行要

3、點三、判定平面與平面平行的常用方法1利用定義：證明兩個平面沒有公共點，有時直接證明非常困難，往往采用反證法2利用判定定理：要證明兩個平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線，分別證明它們平行于另一個平面，于是這兩個平面平行，或在一個平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個平面內(nèi)兩條相交的直線平行3平面平行的傳遞性：即若兩個平面都平行于第三個平面，則這兩個平面互相平行【典型例題】類型一、直線與平面平行的判定例1已知ab，bc，cd是不在同一平面內(nèi)的三條線段，e，f，g分別是ab，bc，cd的中點，求證：ac/平面efg，bd/平面efg【解析】欲證明ac平面efg，根據(jù)直線和平面平行的判定定理，

4、只需證明ac平行于平面efg內(nèi)的一條直線，如右圖可知，只需證明acef證明：如右圖，連接ac，bd，ef，gf，eg在abc中，e，f分別是ab，bc的中點，acef，又ac平面efg，ef平面efg，于是ac平面efg同理可證bd平面efg【總結升華】由線面平行的判定定理判定直線與平面平行的順序是：（1）在平面內(nèi)尋找直線的平行線；（2）證明這兩條直線平行；（3）由判定定理得出結論例2已知有公共邊ab的兩個全等的矩形abcd和abef不在同一個平面內(nèi)，p、q分別為對角線ae、bd上的點，且ap=dq，如右圖求證：pq平面cbe證明：作pmab交be于點m，qnab交bc于點n，則pmqnpme

5、pqnbq，=abeadcbdap=dq，ep=bq又ab=cd，ea=bd，pm/qn四邊形pmnq是平行四邊形pqmn綜上，pq平面cbe，mn平面cbe，又pqmn，pq平面cbe【總結升華】證線面平行，需證線線平行，尋找平行線是解決此類問題的關鍵舉一反三：【變式1】如右圖所示，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，ap=ab，bp=bc=2，e，f分別是pb，pc的中點（1）證明：ef平面pad；（2）求三棱錐eabc的體積v【解析】（）在pbc中，e，f分別是pb，pc的中點，efbc又bcad，efad資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理又ad平面p

6、ad，ef平面pad，ef平面pad（2）連接ae，ac，ec，過e作egpa交ab于點g，如下圖，則eg平面abcd，且eg=12pa在pab中，ap=ab，pab=90，bp=2，ap=ab=2，eg=22sdabc=11abbc=22=2，22ve-abc1121=seg=2=3dabc323【變式2】（2016陜西模擬）如圖，在直四棱柱abcdabcd中，底面abcd為等腰梯形，ab1111cd，ab=4，bc=cd=2，aa=2，e，e分別是棱ad，aa的中點111設f是棱ab的中點，證明：直線ee平面fcc11【思路點撥】取ab的中點為f，連接ff，cf，要證明直線ee平面fcc，

7、只需證明ee111111111fc，就證明了ee平面fcc內(nèi)的直線，即可推得結論；111【答案】詳見證明【證明】方法一：取ab的中點為f，連接ff，cf，111111由于ffbbcc，所以f平面fcc，因此平面fcc即111111為平面ccff11連接ad，fc，由于af/dc/cd，所以四邊形adcf為平行四邊形，因此adfc1111111111又eead，得eefc，而ee平面fcc，fc平面fcc，故ee平面fcc1111111111方法二：因為f為ab的中點，cd=2，ab=4，abcd，所以cdaf，因此四邊形afcd為平行四邊形，所以adfc又ccdd，fccc=c，fc平面fcc

8、，所以平面adda平面111111資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理fcc，又ee平面adda，所以ee平面fcc111111【變式3】如圖所示，p是abcd所在平面外一點，e、f分別在pa、bd上，且peeabffd求證：ef平面pbc【證明】連接af延長交bc于g，連接pg在abcd中，易證bfgdfagfbfpe=fafdea，efpg而ef平面pbc，pg包含于平面pbc，ef平面pbc例3如果平面外的一條直線a和平面a內(nèi)任何一條直線都沒有公共點，則這條直線和平面平行【證明】假設a不平行于a，aa，a與a相交設aa=a，過a在a內(nèi)作直線b，則ba，ab=a這與已知矛盾，aa

9、【總結升華】判定（或證明）直線與平面平行的常用方法：（1）定義法：證明直線與平面沒有公共點，若直接證明有點困難，則借助反證法來完成證明（2）判定定理法：在平面內(nèi)找到一條直線與它平行，這是最常用的方法（3）面面法：利用面面平行的性質(zhì)（以后學習）來完成證明舉一反三：【變式1】如右圖所示，四面體abcd中，e，f，g分別是棱bc，cd，da的中點，則在四面體的棱中，與平面efg平行的有幾條？分別是哪幾條？【解析】因為e，f分別是bc，cd的中點，所以efbd，又bd平面efg，ef平面efg，所以bd平面efg；同理，ac平面efg；取ab的中點h，連接eh，hg，則heacfg，hgbdef，所以

10、四邊形efgh為平行四邊形，所以e，f，g，h四點共面，所以ah平面efg=h，ab與平面efg不平行；另外易知，ad，cd，bc與平面efg不平行所以，四面體的6條棱中，與平面efg平行的棱有2條，即bd，ac類型二、平面與平面平行的判定例4已知正方體abcda1b1c1d1，求證：平面ab1d1平面bdc1【解析】要證明兩個平面平行，由面面平行的判定定理知：須在某一平面內(nèi)尋找兩條相交且都與另一平面平行的直線【證明】如圖，ab/a1b1，c1d1/a1b1，ab/c1d1，四邊形abc1d1為平行四邊形，ad1bc1又ad1平面ab1d1，bc1平面ab1d1，bc1平面ab1d1同理，bd

11、平面ab1d1，又bdbc1=b，平面ab1d1平面bdc1【總結升華】利用面面平行的判定定理判定兩個平面平行的程序是：（1）在第一個平面內(nèi)找出（或作出）兩條平行于第二個平面的直線；（2）說明這兩條直線是相交直線；（3）由判定定理得出結論資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用在pmq中，因為g,g為重心，所以pggm1gq精品文檔用心整理例5三棱柱abc-abc，d是bc上一點，且ab平面acd，d是bc的中點11111111求證：平面abd平面acd111【答案】詳見證明【證明】連接ac交ac于點e，11四邊形aacc是平行四邊形，11e是ac的中點，連接ed，1ab平面acd，11ed包含于平面a

12、cd，1ab與ed沒有交點，1又ed包含于平面abc，ab包含于平面abc，111edab1e是ac的中點，d是bc的中點1又d是bc的中點，111bdcd，adad，1111bd平面acd，ad平面acd11111又adbd=d，1111平面abd平面acd111【總結升華】應用判定定理時，一定要注意“兩條相交直線”這一關鍵性條件，問題最終轉化為證明直線和直線的平行舉一反三：【空間面面平行的判定與性質(zhì)399113例1】【變式1】點p是abc所在平面外一點，g,g,g分別是pbc，apc，abp的重心，求證：123面ggg/面abc.123證明：連pg,pg，并延長分別交ab，ac于m，q，連

13、mq.32因為g,g為重心，所以m，q分別為所在邊的中點.32又直線pmpq=p，所以直線pm，pq確定平面pmq,2pg3=2，所以gg/mq.322332因為gg面abc，mq面abc，gg/mq，所以gg/面abc232323同理gg/面abc，13因為gg面ggg，gg面ggg，gg131232312313gg/面abc，gg/面abc，2313gg=g，233資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理所以面ggg/面abc.123類型三、平行平面間距離的求法例6如右圖所示，已知正三棱柱a1b1c1abc，e、e1分別是ac、a1c1的中點（1）求證：平面ab1e1平面bec1；（

14、2）當該棱柱各棱長都為a時，求（1）中兩個平行平面間的距離【解析】兩平行平面間的距離可轉化為線面距離，最終可轉化為點面距離（1）由于ae/e1c1，因此四邊形ae1c1e是平行四邊形，則ae1ec1，則ae1平面bec1同理，b1e1平面bec1由兩平面平行的判定定理得，平面ab1e1平面bec1（2）設平行平面ab1e1與平面bec1間的距離等于d，則點a到平面bec1的距離等于d，由等積法a-bec1=vc1-abe=s3s1得s3dbec1d=v1scc，即d=dabeccdabe11dbec1易知aeb=90，bec1=90則sdabe11a3a3a2=aebe=，2222822228

15、5sdbec1113a5a15a25a=bece=，則d=1故（1）中兩個平行平面間的距離等于55a【總結升華】證明面面平行，轉化為證明線面平行，而要證線面平行，轉化為證明線線平行，即線線面平行判定定理面面平行判定定理線平行線面平行面面平行，在立體幾何中，通過線線、線面、面面間的位置關系的相互轉化，使問題順利得到解決熟練掌握這種轉化的思想方法，就能找到解題的突破口這是高考重點考查證明平行的方法，應引起重視若兩個平面平行，則一個平面內(nèi)任一點到另一個平面的距離即為這兩個平行平面間的距離類似地，若一條直線與一個平面平行，則這條直線上任意一點到平面的距離即為直線到平面的距離因此，面面距離、線面距離最終轉化為點到平面的距離，而求點到平面的距離多用等體積方法（如本例中利用vabec1=vc1abe）求距離舉一反三：【變式1】直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd為正方形，1111邊長為2，側棱aa=3，m、n分別為ab、ad的中點，e、f分別11111是bc、cd的中點1111(1)求證：平面amn平面efdb；(2)求平面amn與平面efdb的距離資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理【解析】(1)證明：連接ac，分別交mn、e