初中數(shù)學競賽題

1、1（甲）如果實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式可以化簡為（ ） （第1（甲）題）（a）2c-a （b）2a-2b （c）-a （d）a 1（乙）如果，那么的值為（ ）（a） （b） （c）2 （d）2（甲）如果正比例函數(shù)y = ax（a 0）與反比例函數(shù)y =（b 0 ）的圖象有兩個交點，其中一個交點的坐標為（3，2），那么另一個交點的坐標為（ ）（a）（2，3） （b）（3，2） （c）（2，3） （d）（3，2）2（乙） 在平面直角坐標系中，滿足不等式x2y22x2y的整數(shù)點坐標（x，y）的個數(shù)為（ ）（a）10 （b）9 （c）7 （d）53（甲）如果為給定的實數(shù)，且，那么

2、這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是（ ）（a）1 （b） （c） （d）3（乙）如圖，四邊形abcd中，ac，bd是對角線，abc是等邊三角形，ad = 3，bd = 5，則cd的長為（ ）（第3（乙）題）（a） b）4 （c） （d）4.54（甲）小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對小玲說：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對小倩說：“你若給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個數(shù)是（ ）（a）1 （b）2 （c）3 （d）44（乙）如果關(guān)于x的方程 是正整數(shù)）的正根小于3， 那么這樣的方程的個數(shù)是（ ）（a） 5 （b） 6 （c） 7

3、 （d） 85（甲）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6擲兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，則中最大的是（ ）（a） （b） （c） （d）5（乙）黑板上寫有共100個數(shù)字每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，則經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（ ）（a）2012（b）101 （c）100 （d）996（甲）按如圖的程序進行操作，規(guī)定：程序運行從“輸入一個值x”到“結(jié)果是否487？”為一次操作. 如果操作進行四次才停止，那么x的取值范圍是 .（第6（甲）題）6（乙）. 如果a，b，c是正數(shù)

4、，且滿足，那么的值為 7（甲）如圖，正方形abcd的邊長為2，e，f分別是ab，bc的中點，af與de，db分別交于點m，n，則dmn的面積是 .（第7（甲）題）（第7（乙）題）7（乙）如圖，的半徑為20，是上一點.以為對角線作矩形，且.延長，與分別交于兩點，則的值等于 8（甲）如果關(guān)于x的方程x2+kx+k23k+= 0的兩個實數(shù)根分別為，那么 的值為 8（乙）設(shè)為整數(shù)，且1n2012. 若能被5整除，則所有的個數(shù)為 .9（甲）2位八年級同學和m位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場記分規(guī)則是：每場比賽勝者得3分，負者得0分；平局各得1分. 比賽結(jié)束后，所有

5、同學的得分總和為130分，而且平局數(shù)不超過比賽局數(shù)的一半，則m的值為 .9（乙）如果正數(shù)x，y，z可以是一個三角形的三邊長，那么稱是三角形數(shù)若和均為三角形數(shù)，且abc，則的取值范圍是 10（甲）如圖，四邊形abcd內(nèi)接于o，ab是直徑，ad = dc. 分別延長ba，cd，交點為e. 作bfec，并與ec的延長線交于點f. 若ae = ao，bc = 6，則cf的長為 .（第10（甲）題）10（乙）已知是偶數(shù)，且1100若有唯一的正整數(shù)對使得成立，則這樣的的個數(shù)為 11（甲）已知二次函數(shù)，當時，恒有；關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于求的取值范圍11（乙） 如圖，在平面直角坐標系xoy中，

6、ao = 8，ab = ac，sinabc=cd與y軸交于點e，且scoe = sade. 已知經(jīng)過b，c，e三點的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應的二次函數(shù)的解析式.（第11（乙）題）12（甲）如圖，的直徑為，過點，且與內(nèi)切于點為上的點，與交于點，且點在上，且，be的延長線與交于點，求證：boc（第12（甲）題）12（乙）如圖，o的內(nèi)接四邊形abcd中，ac，bd是它的對角線， ac的中點i是abd的內(nèi)心. 求證：（1）oi是ibd的外接圓的切線；（2）ab+ad = 2bd.（第12（乙）題）13（甲）已知整數(shù)a，b滿足：ab是素數(shù)，且ab是完全平方數(shù). 當a2012時，求a的最小值.1

7、3（乙）凸邊形中最多有多少個內(nèi)角等于？并說明理由14（甲）求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且.14（乙）將（n2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)（可以相同）使得，求的最小值2012年全國初中數(shù)學競賽試題（正題）參考答案 一、選擇題1（甲）c解：由實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，且，所以 1（乙）b解：2（甲）d解：由題設(shè)知，所以.解方程組得 所以另一個交點的坐標為（3，2）.注：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個交點關(guān)于原點對稱，因此另一個交點的坐標為（3，2）.2（乙）b解：由題設(shè)x2y22x2y， 得02.因為均為整數(shù)，所以有解得以上共計9對.3（甲）

8、d 解：由題設(shè)知，所以這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為 ，于是 .3（乙）b解：如圖，以cd為邊作等邊cde，連接ae. （第3（乙）題）由于ac = bc，cd = ce，bcd=bca+acd=dce+acd =ace，所以bcdace， bd = ae.又因為，所以.在rt中，于是de=，所以cd = de = 4. 4（甲）d解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負整數(shù). 由題設(shè)可得消去x得 (2y7)n = y+4，2n =.因為為正整數(shù)，所以2y7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，6，11從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，7

9、4（乙）c解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負由二次函數(shù)的圖象知，當時，所以，即 . 由于都是正整數(shù)，所以，1q5；或 ，1q2，此時都有. 于是共有7組符合題意 5（甲）d解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對共有36個，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對有9個，8個，9個，10個，所以，因此最大5（乙）c解：因為，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個數(shù)加1后的乘積不變設(shè)經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，則，解得 ，二、填空題6（甲）7x19解：前四次操作的結(jié)果分別為3x2，3(3x2)2 = 9x8，3(9x8)2 = 27x26，

10、3(27x26)2 = 81x80.由已知得 27x26487，81x80487.解得 7x19.容易驗證，當7x19時，487 487，故x的取值范圍是7x196（乙）7解：由已知可得7（甲）8解：連接df，記正方形的邊長為2. 由題設(shè)易知，所以，由此得，所以.（第7（甲）題）在rtabf中，因為，所以，于是 .由題設(shè)可知adebaf，所以 ，.于是 ，. 又，所以. 因為，所以.7（乙）解：如圖，設(shè)的中點為，連接，則因為，所以，（第7（乙）題）所以 .8（甲）解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有=k240，由此得(k3)20 又(k3)20，所以(k3)2=0，從而k=3. 此時方程為x2+3x+

11、=0，解得x1=x2=. 故=8（乙）1610解：因為=.當被5除余數(shù)是1或4時，或能被5整除，則能被5整除；當被5除余數(shù)是2或3時，能被5整除，則能被5整除；當被5除余數(shù)是0時， 不能被5整除.所以符合題設(shè)要求的所有的個數(shù)為9（甲）8解：設(shè)平局數(shù)為，勝（負）局數(shù)為，由題設(shè)知，由此得0b43.又 ，所以. 于是043，87130，由此得 ，或.當時，；當時，不合題設(shè).故9（乙） 1解：由題設(shè)得所以 ，即 .整理得，由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，得.又因為 1，所以1.10（甲）解：如圖，連接ac，bd，od. （第10（甲）題）由ab是o的直徑知bca =bda = 90.依題設(shè)bfc = 90，

12、四邊形abcd是o的內(nèi)接四邊形，所以bcf =bad,所以 rtbcfrtbad ，因此 .因為od是o的半徑，ad = cd，所以od垂直平分ac，odbc， 于是 . 因此.由，知因為，所以 ，ba=ad ，故.10（乙）. 12解：由已知有，且為偶數(shù)，所以同為偶數(shù)，于是是4的倍數(shù)設(shè)，則125（）若，可得，與b是正整數(shù)矛盾（）若至少有兩個不同的素因數(shù)，則至少有兩個正整數(shù)對滿足；若恰是一個素數(shù)的冪，且這個冪指數(shù)不小于3，則至少有兩個正整數(shù)對滿足（）若是素數(shù)，或恰是一個素數(shù)的冪，且這個冪指數(shù)為2，則有唯一的正整數(shù)對滿足因為有唯一正整數(shù)對，所以m的可能值為2，3，4，5，7，9，11，13，17

13、，19，23，25，共有12個三、解答題11（甲）解： 因為當時，恒有，所以，即，所以 （5分）當時，；當時，即，且，解得（10分）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得因為，所以，解得，或因此（20分）11（乙）解：因為sinabc=，所以ab = 10由勾股定理，得 bo=.（第11（乙）題）易知aboaco， 因此 co = bo = 6. 于是a（0，8），b（6，0），c（6，0）.設(shè)點d的坐標為（m，n），由scoe = sade，得scdb = saob. 所以 ，解得n=4. 因此d為ab的中點，點 d的坐標為（3，4）. （10分）因此cd，ao分別為ab，

14、bc的兩條中線，點e為abc的重心，所以點e的坐標為.設(shè)經(jīng)過b，c，e三點的拋物線對應的二次函數(shù)的解析式為y=a（x6）（x+6）. 將點e的坐標代入，解得a =. 故經(jīng)過b，c，e三點的拋物線對應的二次函數(shù)的解析式為. （20分）12（甲） 證明：連接bd，因為為的直徑，所以又因為，所以cbe是等腰三角形（第12（甲）題）（5分）設(shè)與交于點，連接om，則又因為，所以（15分）又因為分別是等腰，等腰的頂角，所以boc（20分）12（乙）證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知（第12（乙）題）所以 ci = cd同理， ci = cb. 故點c是ibd的外心.連接oa，oc

15、，因為i是ac的中點，且oa = oc，所以oiac，即oici.故oi是ibd外接圓的切線. （10分）（2） 如圖，過點i作iead于點e，設(shè)oc與bd交于點f. 由，知ocbd.因為cbf =iae，bc = ci = ai，所以rtbcfrtaie，所以bf = ae.又因為i是abd的內(nèi)心，所以ab+adbd = 2ae = bd.故ab+ad = 2bd（20分13（甲）解：設(shè)ab = m（m是素數(shù)），ab = n2（n是正整數(shù)）. 因為 +b)24ab = (ab)2，所以 (2am)24n2 = m2， (2am+2n)(2am2n) = m2.（5分）因為2am+2n與2am

16、2n都是正整數(shù)，且2am+2n2am2n (m為素數(shù))，所以2am+2nm 2，2am2n1.解得 a，. 于是= am. （10分又a2012，即2012.又因為m是素數(shù)，解得m89. 此時，a=2025.當時，.因此，a的最小值為2025. （20分）13（乙）解：假設(shè)凸邊形中有個內(nèi)角等于，則不等于的內(nèi)角有個（1）若，由，得，正十二邊形的12個內(nèi)角都等于；（5分）（2）若，且13，由，可得，即11當時，存在凸邊形，其中的11個內(nèi)角等于，其余個內(nèi)角都等于，（10分）（3）若，且當時，設(shè)另一個角等于存在凸邊形，其中的個內(nèi)角等于，另一個內(nèi)角由可得；由8可得，且（15分）（4）若，且37，由（3）可知當時，存在凸邊形，其中個內(nèi)角等于，另兩個內(nèi)角都等于綜上，當時，的最大值為12；當13時，的最大值為11；當時，的最大值為；當37時，的最大值為（20分）14（甲）解：