小升初數(shù)學(xué)銜接班——列方程解應(yīng)用題(一)

1、小升初數(shù)學(xué)銜接班列方程解應(yīng)用題（一）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)通過學(xué)習(xí)用一元一次方程解決濃度問題、工程問題和行程問題等幾種常見問題，掌握列方程解應(yīng)用題的方法和步驟。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)分析題目中的數(shù)量關(guān)系，列代數(shù)式，尋找等量關(guān)系。三、課程精講1、知識(shí)回顧我們?cè)谛W(xué)階段學(xué)習(xí)過許多數(shù)量關(guān)系：（1）溶液中濃度、溶液、溶質(zhì)的關(guān)系；（2）工程問題中工程量、工作效率、工作時(shí)間之間的關(guān)系；（3）行程問題中路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系：相遇問題、追及問題、水流問題、過橋問題等。（4）增長(zhǎng)率問題（5）年齡問題（6）數(shù)字問題2、新知探秘知識(shí)點(diǎn)一列方程解應(yīng)用題的步驟例1、有兩種不同濃度的鹽水，甲種鹽水的濃度是30%，乙種鹽水的濃度是6%，

2、現(xiàn)在要配成濃度為10%的鹽水60千克，問應(yīng)取這兩種濃度的鹽水各多少千克？思路導(dǎo)航：此題是溶液的混合配制問題，這類問題中有三個(gè)等量關(guān)系：混合前后溶液的重量和不變、溶質(zhì)重量和不變及溶劑重量和不變。解答：設(shè)應(yīng)取甲種鹽水x千克，那么乙種鹽水應(yīng)取(60-x)千克，甲種鹽水中含鹽30%x千克，乙種鹽水中含鹽6%(60-x)千克，根據(jù)題意，得30%x+6%(60-x)=6010%解方程，得x=1060-x=60-10=50答：甲種濃度鹽水取10千克，乙種濃度鹽水取50千克。點(diǎn)津：濃度問題是列方程解應(yīng)用題的常見類型之一，關(guān)鍵是要找出配制前后溶液中哪些量不發(fā)生變化，從而尋找出等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程求解。從上述例

3、題我們知道，列方程解應(yīng)用題的步驟是（1）審題：弄清題意，確定已知量、未知量及它們的關(guān)系；（2）設(shè)元：選擇適當(dāng)未知數(shù)，用字母表示；（3）列代數(shù)式：根據(jù)條件，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量；（4）列方程：利用列代數(shù)式時(shí)未用過的等量關(guān)系，列出方程；（5）解方程：正確運(yùn)用等式的性質(zhì)，求出方程的解；（6）檢驗(yàn)并答題。溶液含酒精x18100%千克，所取的乙種酒精溶液含酒精(7+7-x)100%千仿練、現(xiàn)有兩種酒精溶液，已知甲種酒精溶液中含酒精18千克，含水12千克；乙種酒精溶液中含酒精3千克，含水9千克?，F(xiàn)在要得到含酒精7千克，含水7千克的酒精溶液，問應(yīng)取甲、乙兩種酒精溶液各多少千克？思路導(dǎo)航：與上

4、題一樣屬于溶液混合配制問題。需要先算出甲種、乙種酒精溶液的濃度，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程。解答：設(shè)應(yīng)取甲種酒精溶液x千克，那么乙種酒精溶液應(yīng)取(7+7-x)千克，所取的甲種酒精318+123+9克，根據(jù)題意，得x183100%+(7+7-x)100%=718+123+9解方程，得x=107+7-x=14-10=4答：甲種酒精溶液應(yīng)取10千克，乙種酒精溶液應(yīng)取4千克。點(diǎn)津：在列方程解應(yīng)用題的步驟中，最重要的是對(duì)題目的分析，對(duì)列方程不要急于求成。在一道應(yīng)用題中，往往含有幾個(gè)未知數(shù)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x擇其中的一個(gè)，用字母x表示出來，然后根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系，將其他幾個(gè)未知量用含x的代數(shù)式表示出來，再用列代數(shù)式時(shí)

5、沒有用到的等量關(guān)系列出方程。知識(shí)點(diǎn)二如何找等量關(guān)系熟悉實(shí)際問題中各種量之間的相等關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的基礎(chǔ)。找尋相等關(guān)系的基本方法有：（1）運(yùn)用基本公式找尋相等關(guān)系；（2）從關(guān)鍵詞中找尋相等關(guān)系；（3）運(yùn)用不變量找尋相等關(guān)系；（4）對(duì)一種“量”，從不同的角度進(jìn)行表述（即計(jì)算兩次），得到相等關(guān)系。例2、一件工作，甲單獨(dú)做需20小時(shí)完成，乙單獨(dú)做需12小時(shí)完成，現(xiàn)在先由甲單獨(dú)做4小時(shí)，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分需幾小時(shí)完成？思路導(dǎo)航：此題屬于工程問題，可把總工作量看作1，甲單獨(dú)做4小時(shí)的工作量和甲、乙合作的工作量之和就等于總工作量“1”。解答：設(shè)剩下的部分甲、乙合作需x小時(shí)完成，則甲單獨(dú)做

6、4小時(shí)的工作量為11乙合作x小時(shí)的工作量為(+)x，根據(jù)題意，得20121114+(+)x=1202012解方程，得x=6答：剩下的部分甲、乙合作需6小時(shí)完成。1204，甲、設(shè)剩下的部分甲、乙合作需x小時(shí)完成，則甲、乙合作x小時(shí)的工作量為(11-(11-(1點(diǎn)津：列方程時(shí)，關(guān)鍵在于發(fā)掘題目中的等量關(guān)系。題中所給條件在列方程時(shí)不能重復(fù)使用，也不能漏掉不用。重復(fù)利用某一個(gè)條件，會(huì)得到一個(gè)恒等式，卻無法求得應(yīng)用題的解。比如，此題中這樣求解：1+)x。2012因?yàn)橛蓛刹糠謺r(shí)間共同完成了全部工作量，所以前一段時(shí)間里甲單獨(dú)做的工作量為1+)x，根據(jù)題意，得2012111+)x+(+)x=120122012

7、顯然，化簡(jiǎn)后得到1=1，這個(gè)“方程”不能求解。發(fā)生錯(cuò)誤的原因就是，“前一段時(shí)間里甲單獨(dú)做的工作量1-(11+)x”是根據(jù)“兩2012由題意知甲、乙、丙管的工作效率分別為1部分時(shí)間的工作量之和等于總工作量”，而又根據(jù)這個(gè)條件列出了“方程”，這個(gè)條件被重復(fù)利用了。仿練、一個(gè)水池，有甲、乙、丙三個(gè)水管，甲、乙是入水管，丙是排水管。單開甲管16分鐘可將水池注滿，單開乙管10分鐘可將水池注滿，單開丙管20分鐘可將全池水放完。現(xiàn)在先開甲、乙兩管，4分鐘后關(guān)上甲管開丙管，問：又經(jīng)過幾分鐘后才能將水池注滿?思路導(dǎo)航：11,，相等關(guān)系是：甲工作量+乙工作161020量+丙工作量=全部工作量，只不過丙管是來“搗亂

8、”的。解答：設(shè)又經(jīng)過x分鐘才能將水池注滿，則甲管在前4分鐘的工作量為1164，乙管在前4分鐘的工作量為114，乙管在后x分鐘中的工作量為x，丙管在后x分鐘中的工作量1010為120x，依題意得方程：11114+4+x-x=116101020解得x=7答：又經(jīng)過7分鐘后才能將水池注滿。知識(shí)點(diǎn)三直接設(shè)元與間接設(shè)元例3、甲乙兩站之間的路程為354km，一列慢車從甲站開往乙站，慢車走了1.5小時(shí)后，另有一列快車從乙站開往甲站，已知慢車每小時(shí)走46km，快車每小時(shí)走68km，問兩車各走多少小時(shí)后相遇?思路導(dǎo)航1：本題屬于行程問題中相向而行的相遇問題。為了弄清題目中各數(shù)量之間的關(guān)系，經(jīng)常需要畫圖或列表。如

9、圖可知，慢車和快車行走的路程之和等于甲乙兩站之間的總路程。解答1：設(shè)快車走了x小時(shí)后與慢車相遇，那么快車走的路程為68x千米，慢車走的路程是1.5小時(shí)走的路程加上x小時(shí)走的路程，即(46x+461.5)千米，相遇時(shí)兩車所走的路程之和為354千米，由此可得方程：46(x+1.5)+68x=354解得：x=2.5所以慢車走的時(shí)間是x+1.5=4（小時(shí)）答：慢車走了4小時(shí)，快車走了2.5小時(shí)后兩車相遇。思路導(dǎo)航2：也可以設(shè)慢車走的時(shí)間為x小時(shí)。解答2：設(shè)慢車走了x小時(shí)后與快車相遇.那么快車在相遇時(shí)所用的時(shí)間為x-1.5小時(shí)，它們各自走的路程為：快車68(x-1.5)千米，慢車46x千米，依題意可列方

10、程為：46x+68(x-1.5)=354解得：x=4所以快車走的時(shí)間為x-1.5=2.5（小時(shí)）答：慢車走了4小時(shí)，快車走了2.5小時(shí)后兩車相遇。思路導(dǎo)航3：以上兩種解法是采用了直接設(shè)未知數(shù)的方法，下面我們可以采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，將快車走的路程設(shè)為未知數(shù)，然后通過慢車和快車同時(shí)走的時(shí)間相等，即圖中同色部分，列方程求解。解法3：設(shè)兩車相遇時(shí)快車走的路程為x千米，那么快車所用的時(shí)間為x68小時(shí)，慢車從1.5小時(shí)后到相遇時(shí)所用的時(shí)間為可以依題意列出方程為：354-461.5-x46小時(shí)，由這兩段路程相遇時(shí)所用的時(shí)間相等，354-461.5-xx=4668解得：x=170相遇時(shí)快車用的時(shí)間為：17

11、0=2.5（小時(shí)）68慢車所用的時(shí)間：1.5+2.5=4（小時(shí)）答：慢車走了4小時(shí)，快車走了2.5小時(shí)后兩車相遇。思路導(dǎo)航4：采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，也可以將慢車走的路程設(shè)為未知數(shù)，然后通過慢車和快車同時(shí)走的時(shí)間相等，即圖中同色部分，列方程求解。為x-461.5解法4：設(shè)慢車從開出到相遇所走的路程為x千米，那么慢車從1.5小時(shí)后到相遇時(shí)所用的時(shí)間354-x小時(shí)，而快車自開出到相遇時(shí)所用的時(shí)間為小時(shí)，依題意，以上24668個(gè)時(shí)間相等，可列出方程：x-461.5354-x=4668解得：x=184慢車走的時(shí)間是18446=4小時(shí)仿練、甲、乙、丙三人，甲每小時(shí)走31354-184快車走的時(shí)間為：=2

12、.5小時(shí)68答：慢車走了4小時(shí)，快車走了2.5小時(shí)后兩車相遇。點(diǎn)津：一般題目問什么，就設(shè)什么為x，這稱為直接設(shè)元。但這不是絕對(duì)的，有時(shí)直接設(shè)元后不利于列代數(shù)式和列方程，我們也可以設(shè)其他未知數(shù)為x，這稱為間接設(shè)元。到底如何設(shè)元，要根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系決定，怎樣設(shè)元方便就怎樣設(shè)。但是如果選擇間接設(shè)元，那么解出方程后還要換算出題目所求的量。31公里，乙每小時(shí)走3公里，丙每小時(shí)走4公252里，若甲、乙兩人在a地，丙在b地，三人同時(shí)出發(fā)，甲、乙與丙相向而行，丙在遇到乙后3分鐘才遇到甲。求a、b兩地的距離？思路導(dǎo)航1：此題屬于行程問題中的相遇問題，而且此題中有兩個(gè)相遇問題，它們的相遇時(shí)間差3分鐘。設(shè)a、b

13、兩地的距離為x公里，則丙與乙的相遇時(shí)間為x解答1：313+452小時(shí)，丙與甲的相遇時(shí)間為x113+422小時(shí)，根據(jù)題意，得x113+422-x313+452=360解這個(gè)方程，得x=32.4答：a、b兩地相距32.4公里。思路導(dǎo)航2：也可以間接設(shè)元，設(shè)丙與乙的相遇時(shí)間為x小時(shí)，則可以表示出丙與甲的相遇時(shí)間，及各自的相遇路程，再根據(jù)相遇路程相等來列方程。解答2：設(shè)丙、乙的相遇時(shí)間為x小時(shí)，則丙、甲的相遇時(shí)間為(x+3)小時(shí)，相遇路程分別是6031113(3+4)x公里、(3+4)(x+)公里，根據(jù)題意，得52226031113(3+4)x=(3+4)(x+)522260解這個(gè)方程，得x=4313

14、1(3+4)x=(3+4)4=32.45252答：a、b兩地相距32.4公里。點(diǎn)津：此題要注意單位的統(tǒng)一。四、知識(shí)提煉導(dǎo)圖五、目標(biāo)期望通過本講的學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們掌握列方程解應(yīng)用題的步驟，重點(diǎn)要學(xué)會(huì)分析題目中的數(shù)量關(guān)系，會(huì)選擇直接設(shè)元還是間接設(shè)元，會(huì)用設(shè)出的未知數(shù)x來表示其他的未知量，再抓住題目中的等量關(guān)系列出方程。六、下講預(yù)告在下一講的學(xué)習(xí)中，我們除了繼續(xù)復(fù)習(xí)鞏固列方程解應(yīng)用題的方法步驟外，還要學(xué)習(xí)用方程解其他類型的應(yīng)用題，比如流水問題、年齡問題、數(shù)字問題等。通過對(duì)這些題型的分析講解，要教會(huì)大家分析比較復(fù)雜的題目中的數(shù)量關(guān)系，要教會(huì)大家如何檢查自己列出的方程是否正確?！就骄毩?xí)】（答題時(shí)間：4

15、5分鐘）1、火眼金睛：（1）甲、乙兩人環(huán)湖競(jìng)走，環(huán)湖一周400米，乙的速度是80米/分，甲的速度是乙的1速度的1倍，且甲在乙前100米，多少分鐘后，兩人第一次相遇。設(shè)經(jīng)過x分鐘兩人第一4次相遇，所列方程為（）a.80x+100=8054xb.80x+300=8054x5c.80x-100=80x45d.80x-300=80x4（2）一列火車勻速前進(jìn)，從它進(jìn)入300米長(zhǎng)的隧道到完全通過一共用20秒鐘，又知隧道頂部一盞固定的燈光垂直照射火車10秒鐘，求這列火車的長(zhǎng)度和速度。在這個(gè)問題中路程和時(shí)間的關(guān)系是（）a.火車走300米路程用20秒b.火車走的路程等于隧道長(zhǎng)與車身長(zhǎng)的差，用了10秒c.火車走的

16、路程等于隧道長(zhǎng)與車身長(zhǎng)的和，用了20秒d.以上都不對(duì)（3）有含鹽30%的鹽水240千克，要將鹽水稀釋成1.5%，需加水（）千克a.4800b.4560c.5040d.4680（4）某件工程，甲單獨(dú)做要用15小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要用12小時(shí)完成。若甲先做1小時(shí)，乙又單獨(dú)做4小時(shí)，剩下的工作兩人合作，再用幾小時(shí)可全部完成任務(wù)？設(shè)兩人合作再用x小時(shí)可完成任務(wù)，則下列方程中正確的個(gè)數(shù)是（）14xx+=1；151215124+x1+x+=1；12151x4+x1-(+)=；1515121411+(+)x=1。15121512a.1個(gè)b.2個(gè)c.3個(gè)d.4個(gè)（5）一隊(duì)學(xué)生從學(xué)校步行前往工廠參觀，速度為每小時(shí)

17、5千米，當(dāng)走了1小時(shí)后，一名學(xué)生回學(xué)校取東西，他以每小時(shí)7.5千米的速度回學(xué)校，取了東西后立即以同樣的速度追趕隊(duì)伍，結(jié)果在離工廠2.5千米處追上隊(duì)伍，求學(xué)校到工廠的路程（取東西的時(shí)間忽略不計(jì)）。若設(shè)學(xué)校到工廠的距離為x千米，列出的方程是（）a.x11x-2.5=+557.57.5b.x-2.5x-2.5=12+57.5c.x-2.55x-2.5=1+57.57.5x11x-2.5d.-2.5=+557.57.52、對(duì)號(hào)入座：（1）一件工程甲隊(duì)獨(dú)做需8天完成，乙隊(duì)獨(dú)做需9天。甲做三天后，乙來支援，甲，乙合作做x天，一共完成了任務(wù)的34，由此條件列出的方程是_；（2）若取濃度為15%的酒精溶液_克

18、與濃度為35%的酒精溶液_克混合，則可配成濃度為20%的酒精溶液100克；（3）某人從家里去上班，每小時(shí)行5千米，下班按原路返回時(shí)，每小時(shí)行4千米，結(jié)果下班返回比上班多花10分鐘，設(shè)上班所用時(shí)間為t小時(shí)，可列方程為_；（4）一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，順風(fēng)要2小時(shí)45分鐘，逆風(fēng)要3小時(shí)，已知風(fēng)速是20千米/時(shí)，則兩城市間距離為_千米。3、牛刀小試：（1）從家里騎摩托車去火車站，如果每小時(shí)走30千米，那么比開車時(shí)間早到15分鐘，如果每小時(shí)走18千米，那么比開車時(shí)間遲到15分鐘，現(xiàn)在打算比開車時(shí)間早10分鐘到達(dá)火車站，那么摩托車的速度應(yīng)該是多少？（2）一項(xiàng)工作由a單獨(dú)做要40天完成，由b單獨(dú)做要5

19、0天完成?，F(xiàn)在由a先做，工作了若干天后，因a有事離去，由b繼續(xù)做，共用了46天完成。問a、b各做了多少天？（3）甲種鹽水濃度為乙種鹽水濃度的2倍，若甲種鹽水取120克，乙種鹽水取240克，混合后加水40克，測(cè)得濃度是12%，問甲、乙兩種鹽水的濃度各是多少？【試題答案】1、火眼金睛：（1）b甲在乙的前面，好像是乙追甲，實(shí)際上甲的速度比乙的速度快，因此是甲追乙，追及距離是(400-100)米。當(dāng)兩人第一次相遇時(shí)，甲的路程比乙的路程多300米。（2）c“從它進(jìn)入300米長(zhǎng)的隧道到完全通過”是指車頭剛進(jìn)入隧道開始，到車尾離開隧道截止，一共前進(jìn)的路程是隧道長(zhǎng)與車身長(zhǎng)的和；在“隧道頂部一盞固定的燈光垂直照

20、射列車”的時(shí)間內(nèi)列車前進(jìn)的路程就是車身長(zhǎng)。（3）b設(shè)需加水x千克，則24030%=1.5%(240+x)，解得x=4560。（4）d方程表示甲1小時(shí)的工作量、乙4小時(shí)的工作量、甲x小時(shí)的工作量以及乙x小時(shí)的工作量的和等于總工作量“1”；方程表示乙(4+x)小時(shí)的工作量與甲(1+x)小時(shí)的工作量的和等于總工作量“1”；方程表示總工作量“1”與甲(1+x)小時(shí)工作量的差等于乙(4+x)小時(shí)的工作量；方程表示甲1小時(shí)的工作量、乙4小時(shí)的工作量及甲乙合作x小時(shí)的工作量的和等于總工作量“1”。x-2.5（5）c一方面，用隊(duì)伍的速度計(jì)算，從出發(fā)到這名學(xué)生追上隊(duì)伍所用時(shí)間為5小時(shí)；另一方面，用這名學(xué)生的速度計(jì)算，這段時(shí)間還等于剛開始的1小時(shí)+返回用的x-2.5小時(shí)