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1、函數(shù)的值域題型一:二次函數(shù)的值域例1 求的值域解答:配方法: 所以值域?yàn)槔? 求在上的值域解答:函數(shù)圖像法:畫出函數(shù)的圖像可知,,在時(shí)取到最小值,而在時(shí)取到最大值8,可得值域?yàn)椤@? 求在上的值域解答:由函數(shù)的圖像可知,函數(shù)的最值跟a的取值有關(guān),所以進(jìn)行分類討論: 當(dāng)時(shí),對(duì)稱軸在的左側(cè),所以根據(jù)圖像可知,所以此時(shí)的值域?yàn)?當(dāng)時(shí),對(duì)稱軸在與y軸之間,所以根據(jù)圖像可知,所以此時(shí)的值域?yàn)?當(dāng)時(shí),對(duì)稱軸在y軸與之間,所以根據(jù)圖像可知,所以此時(shí)的值域?yàn)?當(dāng)時(shí),對(duì)稱軸在的右側(cè),所以根據(jù)圖像可知,所以此時(shí)的值域?yàn)轭}型二:指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域例4 求的值域解答:復(fù)合形式用換元:令,則由例1可知,根據(jù)單調(diào)性,可
2、求出的值域?yàn)槔? 求的值域解答:因?yàn)?,所以,采用換元法,令,則則原函數(shù)變?yōu)?,可以根?jù)二次函數(shù)值域的求法得到值域?yàn)轭}型三:分式函數(shù)的值域例6 求函數(shù)的值域解法一:分離變量法,將分式中分子部分的變量分離出去。則可以換元,令,原函數(shù)變?yōu)?,由反比例函?shù)的性質(zhì)可知,值域?yàn)榻夥ǘ悍春瘮?shù)法,利用原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域,來求值域。令,則,得到,可知解法三:解析幾何法。考慮數(shù)形結(jié)合,聯(lián)想到分式表示兩點(diǎn)間連線的斜率,則講原函數(shù)寫為,可以看成是兩點(diǎn)連線的斜率,其中是動(dòng)點(diǎn),構(gòu)成直線軌跡,則連線必須與相交,所以連線斜率不能是2,得到值域。例7 求函數(shù)在的值域解法一:分離變量之后采用函數(shù)圖像法,令,原函數(shù)變?yōu)椋?/p>
3、可以畫出的圖像,或者根據(jù)單調(diào)性直接可以得到值域?yàn)榻夥ǘ悍春瘮?shù)法,將代入中,求解不等式,可以得到值域范圍。解法三:解析幾何法。,可以看成是兩點(diǎn)連線的斜率,其中是動(dòng)點(diǎn),不再構(gòu)成直線,而是構(gòu)成在區(qū)間的線段,畫出圖像后觀察可得斜率的范圍為例8 求函數(shù)的值域解法一:分離變量法,令,原函數(shù)變?yōu)橛删挡坏仁娇芍?dāng),當(dāng),可以得到原函數(shù)的值域?yàn)榻夥ǘ号袆e式法,令,則,整理得關(guān)于的一元二次方程,滿足方程有解,該方程的判別式可得,即函數(shù)的值域?yàn)榻夥ㄈ航馕鰩缀畏ǎ梢钥闯墒莾牲c(diǎn)之間連線的斜率,而是動(dòng)點(diǎn),恰好構(gòu)成的軌跡,由圖像可以看出,連線斜率的范圍從而得到函數(shù)的值域。例9 求函數(shù)在的值域解答:此題限制了定義域,
4、導(dǎo)致判別式法失效,采用分離變量法,畫出函數(shù)圖像來求函數(shù)的值域。令,原函數(shù)變?yōu)楫嫵鰧?duì)勾函數(shù)的圖像,可以得到的值域范圍是,則最后函數(shù)的值域?yàn)轭}型四:三角函數(shù)的值域例10 求函數(shù)的值域解答:使用輔助角公式,可知函數(shù)的值域?yàn)槔?1 求函數(shù)的值域解答:先化簡(jiǎn),再轉(zhuǎn)為一次三角函數(shù)后使用輔助角公式,可知函數(shù)的值域?yàn)槔?2 求函數(shù)的值域解答:先化為同角的三角函數(shù),再換元為二次函數(shù)求解值域。令,則原函數(shù)化為,則按前面的例題可得函數(shù)的值域?yàn)椋?3 求函數(shù)的值域解答:利用來?yè)Q元。令,則原函數(shù)化為,同理,按二次函數(shù)的值域求法,可得結(jié)果。例14 求函數(shù)的值域解法一:輔助角公式法。類似于二次分式的判別式法,令,則可得,
5、利用輔助角公式后,則要求,可解出值域范圍解法二:解析幾何法。三角分式也可以看為,即兩點(diǎn)連線的斜率,其中是動(dòng)點(diǎn),構(gòu)成的軌跡是圓心在原點(diǎn),半徑為1的圓,根據(jù)圖像可知,連線與圓相切時(shí)分別取到最大值和最小值,可得函數(shù)的值域例15 求函數(shù)在上的值域解答:此時(shí)無法使用輔助角公式法,只能用解析幾何法,動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的軌跡為右半圓,這樣,可得結(jié)果題型五:絕對(duì)值函數(shù)的值域例16 求函數(shù)的值域解法一:零點(diǎn)分類討論法。當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。所以函數(shù)的值域?yàn)榻夥ǘ豪媒^對(duì)值的幾何意義,畫出數(shù)軸,分別表示到-5與1的距離,根據(jù)數(shù)軸圖像,可以直接得到值域?yàn)槔?7 求函數(shù)的值域解答:零點(diǎn)分類法將十分麻煩,利用換元法,令,則原
6、函數(shù)化為,則根據(jù)數(shù)軸法,可以得到函數(shù)的值域?yàn)轭}型六:根式函數(shù)的值域例18 求函數(shù)的值域解法一:換元法,令,則原函數(shù)化為,根據(jù)二次函數(shù)值域的求法,可得原函數(shù)值域?yàn)?。解法二:解析幾何法,令,可得,即函?shù)的值可以看成是直線的截距,而直線必須通過上的點(diǎn),畫出圖像可知相切時(shí)截距最小,可得函數(shù)的值域例19 求函數(shù)的值域解法一解法二同上一例題,注意換元時(shí)的等價(jià)性,結(jié)果解法三:?jiǎn)握{(diào)性法,題目中函數(shù)為單調(diào)遞增,根據(jù)函數(shù)的定義域,代入可得函數(shù)的值域。例20 求函數(shù)的值域解法一:三角換元法,令,這樣換元既可以保證換元的等價(jià)性,同時(shí)可以使得開方后的表達(dá)式去掉絕對(duì)值符號(hào),注意,畫出三角函數(shù)圖像可得值域?yàn)?。解法二:解析幾何法,令,可得,即函?shù)的值可以看成是直線的截距,而直線必須通過,通過作圖可以得到截距的范圍,也就是函數(shù)的值域例21 求函數(shù)的值域解法一:三角換元,類似于上一道題,令,這樣可以得到,化為三角分式,在利用解析幾何法將其轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的斜率可以做出圖像得到值域?yàn)榻夥ǘ航馕鰩缀畏ǎ愃朴谏弦坏李},令,可得,即函數(shù)的值可以看成是直線的截距的2倍,而直線必須通過即雙曲線的上半支,通過作圖可知相切時(shí)取得截距的最小值,得到值域。解法三:對(duì)勾換元法,利用進(jìn)行換元,令,則原函數(shù)化為,根據(jù)均值不等式可得值域例22 求函數(shù)的值域解答:先配方
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