函數(shù)的值域求法集錦

1、函數(shù)的值域題型一：二次函數(shù)的值域例1 求的值域解答：配方法： 所以值域?yàn)槔? 求在上的值域解答：函數(shù)圖像法：畫(huà)出函數(shù)的圖像可知，,在時(shí)取到最小值，而在時(shí)取到最大值8，可得值域?yàn)椤＠? 求在上的值域解答：由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的最值跟a的取值有關(guān)，所以進(jìn)行分類(lèi)討論： 當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在的左側(cè)，所以根據(jù)圖像可知，所以此時(shí)的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在與y軸之間，所以根據(jù)圖像可知，所以此時(shí)的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸與之間，所以根據(jù)圖像可知，所以此時(shí)的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在的右側(cè)，所以根據(jù)圖像可知，所以此時(shí)的值域?yàn)轭}型二：指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域例4 求的值域解答：復(fù)合形式用換元：令，則由例1可知，根據(jù)單調(diào)性，可

2、求出的值域?yàn)槔? 求的值域解答：因?yàn)椋?，采用換元法，令，則則原函數(shù)變?yōu)?，可以根?jù)二次函數(shù)值域的求法得到值域?yàn)轭}型三：分式函數(shù)的值域例6 求函數(shù)的值域解法一：分離變量法，將分式中分子部分的變量分離出去。則可以換元，令，原函數(shù)變?yōu)?，由反比例函?shù)的性質(zhì)可知，值域?yàn)榻夥ǘ悍春瘮?shù)法，利用原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域，來(lái)求值域。令，則，得到，可知解法三：解析幾何法?？紤]數(shù)形結(jié)合，聯(lián)想到分式表示兩點(diǎn)間連線(xiàn)的斜率，則講原函數(shù)寫(xiě)為，可以看成是兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，其中是動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)成直線(xiàn)軌跡，則連線(xiàn)必須與相交，所以連線(xiàn)斜率不能是2，得到值域。例7 求函數(shù)在的值域解法一：分離變量之后采用函數(shù)圖像法，令，原函數(shù)變?yōu)椋?/p>

3、可以畫(huà)出的圖像，或者根據(jù)單調(diào)性直接可以得到值域?yàn)榻夥ǘ悍春瘮?shù)法，將代入中，求解不等式，可以得到值域范圍。解法三：解析幾何法。，可以看成是兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，其中是動(dòng)點(diǎn)，不再構(gòu)成直線(xiàn)，而是構(gòu)成在區(qū)間的線(xiàn)段，畫(huà)出圖像后觀察可得斜率的范圍為例8 求函數(shù)的值域解法一：分離變量法，令，原函數(shù)變?yōu)橛删挡坏仁娇芍?dāng)，當(dāng)，可以得到原函數(shù)的值域?yàn)榻夥ǘ号袆e式法，令，則，整理得關(guān)于的一元二次方程，滿(mǎn)足方程有解，該方程的判別式可得,即函數(shù)的值域?yàn)榻夥ㄈ航馕鰩缀畏?，可以看成是兩點(diǎn)之間連線(xiàn)的斜率，而是動(dòng)點(diǎn)，恰好構(gòu)成的軌跡，由圖像可以看出，連線(xiàn)斜率的范圍從而得到函數(shù)的值域。例9 求函數(shù)在的值域解答：此題限制了定義域，

4、導(dǎo)致判別式法失效，采用分離變量法，畫(huà)出函數(shù)圖像來(lái)求函數(shù)的值域。令，原函數(shù)變?yōu)楫?huà)出對(duì)勾函數(shù)的圖像，可以得到的值域范圍是，則最后函數(shù)的值域?yàn)轭}型四：三角函數(shù)的值域例10 求函數(shù)的值域解答：使用輔助角公式，可知函數(shù)的值域?yàn)槔?1 求函數(shù)的值域解答：先化簡(jiǎn)，再轉(zhuǎn)為一次三角函數(shù)后使用輔助角公式，可知函數(shù)的值域?yàn)槔?2 求函數(shù)的值域解答：先化為同角的三角函數(shù)，再換元為二次函數(shù)求解值域。令，則原函數(shù)化為，則按前面的例題可得函數(shù)的值域?yàn)?，?3 求函數(shù)的值域解答：利用來(lái)?yè)Q元。令，則原函數(shù)化為，同理，按二次函數(shù)的值域求法，可得結(jié)果。例14 求函數(shù)的值域解法一：輔助角公式法。類(lèi)似于二次分式的判別式法，令，則可得，

5、利用輔助角公式后，則要求，可解出值域范圍解法二：解析幾何法。三角分式也可以看為，即兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，其中是動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)成的軌跡是圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓，根據(jù)圖像可知，連線(xiàn)與圓相切時(shí)分別取到最大值和最小值，可得函數(shù)的值域例15 求函數(shù)在上的值域解答：此時(shí)無(wú)法使用輔助角公式法，只能用解析幾何法，動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的軌跡為右半圓，這樣，可得結(jié)果題型五：絕對(duì)值函數(shù)的值域例16 求函數(shù)的值域解法一：零點(diǎn)分類(lèi)討論法。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以函數(shù)的值域?yàn)榻夥ǘ豪媒^對(duì)值的幾何意義，畫(huà)出數(shù)軸，分別表示到-5與1的距離，根據(jù)數(shù)軸圖像，可以直接得到值域?yàn)槔?7 求函數(shù)的值域解答：零點(diǎn)分類(lèi)法將十分麻煩，利用換元法，令，則原

6、函數(shù)化為，則根據(jù)數(shù)軸法，可以得到函數(shù)的值域?yàn)轭}型六：根式函數(shù)的值域例18 求函數(shù)的值域解法一：換元法，令，則原函數(shù)化為，根據(jù)二次函數(shù)值域的求法，可得原函數(shù)值域?yàn)?。解法二：解析幾何法，令，可得，即函?shù)的值可以看成是直線(xiàn)的截距，而直線(xiàn)必須通過(guò)上的點(diǎn)，畫(huà)出圖像可知相切時(shí)截距最小，可得函數(shù)的值域例19 求函數(shù)的值域解法一解法二同上一例題，注意換元時(shí)的等價(jià)性，結(jié)果解法三：?jiǎn)握{(diào)性法，題目中函數(shù)為單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的定義域，代入可得函數(shù)的值域。例20 求函數(shù)的值域解法一：三角換元法，令，這樣換元既可以保證換元的等價(jià)性，同時(shí)可以使得開(kāi)方后的表達(dá)式去掉絕對(duì)值符號(hào)，注意，畫(huà)出三角函數(shù)圖像可得值域?yàn)椤＝夥ǘ航馕鰩缀畏?，令，可得，即函?shù)的值可以看成是直線(xiàn)的截距，而直線(xiàn)必須通過(guò)，通過(guò)作圖可以得到截距的范圍，也就是函數(shù)的值域例21 求函數(shù)的值域解法一：三角換元，類(lèi)似于上一道題，令，這樣可以得到，化為三角分式，在利用解析幾何法將其轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的斜率可以做出圖像得到值域?yàn)榻夥ǘ航馕鰩缀畏?，?lèi)似于上一道題，令，可得，即函數(shù)的值可以看成是直線(xiàn)的截距的2倍，而直線(xiàn)必須通過(guò)即雙曲線(xiàn)的上半支，通過(guò)作圖可知相切時(shí)取得截距的最小值，得到值域。解法三：對(duì)勾換元法，利用進(jìn)行換元，令，則原函數(shù)化為，根據(jù)均值不等式可得值域例22 求函數(shù)的值域解答：先配方