第五章數(shù)列第四節(jié)

1、第 1 頁共21頁第五章數(shù)列第四節(jié)數(shù)列求和1公式法(1) 等差數(shù)列 an的前 n 項和 Snn a1 an na1n n 1 d22.推導方法：倒序相加法na1， q 1，(2) 等比數(shù)列 an的前 n 項和 Snn.a11 q， q 11 q推導方法：乘公比，錯位相減法(3) 一些常見的數(shù)列的前 n 項和： 1 2 3, n n n 1 ；2 2 4 6, 2n n(n 1)；2 1 3 5, 2n 1 n .2幾種數(shù)列求和的常用方法(1) 分組轉(zhuǎn)化求和法： 一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減(2) 裂項相消法： 把數(shù)列的通

2、項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前 n 項和(3) 錯位相減法： 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前n 項和即可用錯位相減法求解(4) 倒序相加法： 如果一個數(shù)列 an與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n 項和即可用倒序相加法求解1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“” )1，則其前 n 項和 Sna1 an1(1)如果數(shù)列 an為等比數(shù)列，且公比不等于1 q .()1111(2)當 n2 時， n2 12n 1 .()n 1第2頁 共21頁(3) 求 Sn a 2a2 3a

3、2, nan 之和時， 只要把上式等號兩邊同時乘以a 即可根據(jù)錯位相減法求得()(4) 推導等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21 sin22sin23 , sin288 sin289 44.5.()答案 ： (1)(2) (3)(4)1，若 an的前 n 項和為2 017，則項數(shù) n 為 ()2在數(shù)列 an中， ann n 12 018A 2 014B 2 015C 2 016D 2 017解析：選D因為 a 1 11 ，nn n1n1n所以 S 11 11,1 111n 2 017，所以 n 2 017.n2 2 3n n1n1n 1 2 0183數(shù)列n1的前 n項

4、和為 ()1 2A 1 2nB 2 2nC n2n 1D n 2 2n解析：選C由題意得 an 1 2n 1，n1 2n所以 Sn n n 2 1.4數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn，已知 Sn 1 2 3 4, (1) n 1n，則 S17 _.解析： S17 1 2 3 4 5 6 , 15 16 17 1 ( 2 3) ( 4 5) ( 6 7) , ( 14 15) ( 16 17) 1 1 1 , 1 9.答案：9考點一公式法、分組轉(zhuǎn)化法求和基礎送分型考點 自主練透 考什么 怎么考 利用公式進行數(shù)列求和是高考的?？純?nèi)容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，屬于基礎題 .方法

5、 (一)公式法求和1 (2017 北京高考 )已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列 bn滿足a1 b1 1， a2 a4 10， b2b4 a5.(1) 求 an的通項公式；(2) 求和： b1 b3 b5, b2n 1.解： (1) 設等差數(shù)列 an的公差為d.第 3 頁共21頁a1 1，因為a2 a4 10，所以 2a1 4d 10，解得 d 2，所以 an 2n 1.(2) 設等比數(shù)列 bn的公比為q.3因為 b1 1， b2b4 a5，所以 b1qb1q 9.2解得 q 3.所以 b2n 1 b1q2n2 3n 1.從而 b1 b3 b5 , b2n 1 1 3 32 ,方法點撥 幾類可以使用公

6、式法求和的數(shù)列n 13n 132.(1) 等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減構(gòu)成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解(2) 奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的，可以分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時，分別使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式(3) 等差數(shù)列各項加上絕對值，等差數(shù)列乘( 1)n 等方法 (二 )分組轉(zhuǎn)化法求和2在數(shù)列 an中， a1 1， a2 2， an 2 an1 ( 1)n，那么 S100 的值為 ()A 2 500B 2 600C 2 700D 2 800解析：選B當 n 為奇數(shù)時， an 2 an 0，所以 an 1，當 n 為偶數(shù)時， an 2

7、 an 2，所以 an n，1，n為奇數(shù)，故 ann， n為偶數(shù)，于是 S 50 2 100 50 2 600.10023已知數(shù)列 an的前 n 項和 Snn2 n，n N* .2(1) 求數(shù)列 an的通項公式；(2) 設 bn 2an ( 1)nan，求數(shù)列 bn的前 2n 項和解： (1) 當 n 1 時， a1 S1 1；當 n 2 時， an SnSn 1n2 n n 1 2 n 1 n.22a1 1 也滿足 an n，故數(shù)列 an的通項公式為an n.(2) 由 (1)知 ann，故 bn 2n ( 1)nn.第 4 頁共21頁記數(shù)列 bn的前 2n 項和為 T2 n，則 T2n (

8、21 22 , 22n) ( 1 2 3 4 , 2n)記 A 21 22 , 22n， B 1 2 3 4 , 2n，則 A 2 1 22n 22n 1 2，1 2B ( 1 2) ( 3 4), (2n 1)2n n.故數(shù)列 bn的前 2n 項和 T 2n A B 22n 1 n 2.方法點撥 1分組轉(zhuǎn)化求和的通法數(shù)列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求數(shù)列的前 n 項和的數(shù)列求和2分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型考點二錯位相減法求和重點保分型考點 師生共研錯位相減法求和在高考中幾乎年年考查，多在解答題的第2 問中出現(xiàn)，難度中檔 . 典題領悟

9、(2017 山東高考 )已知 an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1 a2 6， a1a2 a3.(1) 求數(shù)列 an的通項公式；bn(2)bn為各項非零的等差數(shù)列，其前n 項和為 Sn.已知 S2n 1 bnbn 1，求數(shù)列an 的前 n項和 Tn.思維路徑 (1) 可利用已知條件a1 a2 6， a1a2 a3 列出關(guān)于首項a1 和公比q 的兩個方程，解方程可得 a1 ， q，從而求得通項公式(2) 由 S2n1 bnbn 1，利用求和公式及性質(zhì)，推出數(shù)列bn的通項公式，結(jié)合(1)進而求出bn的通項公式，觀察其特點用錯位相減法求和即可解： (1) 設 an的公比為q，由題意知a1(1 q)

10、6， a21q a1 q2.又 an 0，解得 a1 2， q 2，所以 an 2n.(2) 由題意知，第5頁 共21頁S2n 1 2n 1 b1 b2n1 (2n 1)bn1 ，2又 S2n 1 bnbn 1，bn 1 0，所以 bn 2n 1.n，則 c 2n 1令 c bn，nann23572n 1 2n 1因此 T c c , c 23n，n12n2 22 ,2n 1213572n 1 2n 1，又T n2 3 4,nn 1222222兩式相減得1 31112n 12 , n 1n12T n22 2223 11 n 1 2n 12n 1225 2n 5 2 2n 1 ，2n 5所以 T

11、 n 52n . 解題師說 1掌握解題 “ 3 步驟 ”2注意解題 “ 3 關(guān)鍵 ”(1) 要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2) 在寫出 “Sn”與 “qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出 “ Sn qSn”的表達式；(3) 在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比q 1 和 q 1 兩種情況求解3謹防解題 “ 2 失誤 ”(1) 兩式相減時最后一項因為沒有對應項而忘記變號(2) 對相減后的和式的結(jié)構(gòu)認識模糊，錯把中間的n 1 項和當作n 項和 沖關(guān)演練 第6頁 共21頁已知數(shù)列 an的前 n 項和 Sn 3n2 8n， bn是

12、等差數(shù)列，且an bnbn 1.(1) 求數(shù)列 bn的通項公式；an 1 n 1(2) 令 cn bn 2 n ，求數(shù)列 cn的前 n 項和 Tn.解： (1) 由題意知，當n 2 時， an Sn Sn 16n 5，當 n 1 時， a1 S1 11，滿足上式，所以 an 6n 5.設數(shù)列 bn的公差為d.a1 b1 b2，11 2b1 d，由即a2 b2 b3，17 2b1 3d，b1 4，所以 bn 3n 1.可解得d3.n 16n6n 1(2) 由 (1)知 cn3n 3 n 3(n 1) 2 ，又 Tn c1 c2 , cn，得 Tn 3 222 323 (n 1)2n 1，2Tn

13、3223 324 (n 1)2n 2，兩式作差，得T n 3222 23 24 2n 1 (n 1)2n 2n 34 12 n 1 2n 241 2 3n2n 2，n2.所以 T n 3n2考點三裂項相消法求和題點多變型考點 追根溯源裂項相消法求和是歷年高考的重點，命題角度凸顯靈活多變，在解題中要善于利用裂項相消的基本思想，變換數(shù)列an 的通項公式，達到求解目的.,常見的命題角度有：, 1 形如 an f(1 ,n n k )型； , 2形如 an f(1,r( n k) r( n) 型； , 3 形如 an f(n 1,n2n2 2)型 . 題點全練 1角度 (一 )形如 an型n n k1

14、(2017 國卷全 )等差數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn，a3 3，S4 10，則 n1 _.k1 Sk解析： 設等差數(shù)列 an的首項為a1，公差為d，a1 2d 3，a1 1，依題意有解得4a1 6d 10，d 1，第7頁 共21頁所以 S n n1， 1 2 21 1，n2Sn1nn 1n nn1111112n因此 ,.212 2 3nn1k 1 Skn1答案： 2nn 1角度 (二)形如 an1型n k n2 (2018 江南十校聯(lián)考 )已知函數(shù)f (x) x的圖象過點 (4,2)，令 an1， nf n 1 f nN* .記數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn，則 S2 018 ()A.

15、2 0171B.2 018 1C.2 0191D.2 019 1解析： 選 C 由 f(4) 2 可得1，4 2，解得 21則 f(x) x2. an11 n 1 n，f n 1 f nn1 nS2018 a1 a2 a3 , a2 018 ( 21) ( 32)( 43),( 20182 017) (2 019 2 018) 2 019 1.n 1角度 (三 )形如 ann2 n2 2型3正項數(shù)列 an的前 n 項和 Sn 滿足： S2n (n2 n 1)Sn (n2 n) 0.(1) 求數(shù)列 an的通項公式 an；(2) 令 bnn 12 ，數(shù)列 bn的前 n 項和為 Tn.證明：對于任意

16、的n N* ，都有 T n0， Sn n2 n.于是 a1 S1 2，當 n 2 時， an SnSn 1 n2 n (n 1)2 (n 1) 2n.綜上，數(shù)列 an的通項公式為an 2n.(2) 證明：由于 an 2n，故 bnn1n121112 .22 2216nn2n2an4nn 2第8頁 共21頁Tn 1111111121222222 ,n 1n 1163 2435111111115n22 122 122 0， a 1)loga 1 n 沖關(guān)演練 (2018 天一大聯(lián)考 )設等差數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn，首項 a1 1，且 S2 018 S2 017 1.2 0182 017(

17、1) 求 Sn；(2) 求數(shù)列1的前 n 項和 T n.SnSn1解： (1) 設數(shù)列 an的公差為 d，Snna1 n n 1d2d因為 n n a1 (n 1)2，所以 Snn 為一個等差數(shù)列，所以 S2 018 S2 017 d 1，所以 d 2，201820172Sn2故 n，所以 Sn n .(2) 因為1 1 11，SnSn 1 n n1 n n1第9頁 共21頁所以 T n 111 1 ,11 1 1 n . n22 3n 1n 1 n 1(一 )普通高中適用作業(yè)A 級 基礎小題練熟練快1已知等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，若 S3 9， S5 25，則 S7 ()A 41B

18、 48C 49D 56解析：選C設 Sn An2 Bn，S3 9A 3B 9，由題知解得 A 1， B 0，S525A 5B 25， S7 49.2已知數(shù)列 an的通項公式是an 2n 31 n，則其前20 項和為 ()5A 380311B 40021119205555C420311D41142044055205解析：選C令數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn，則 S20 a1 a2 , a20 2(1 2, 20)1111111 520120205420 3 3 2, 20 2 3 20.55521415153已知數(shù)列 an滿足 a1 1， an 12an， n為正奇數(shù)，則其前6 項之和是 ()

19、an 1， n為正偶數(shù)，A 16B 20C 33D 120解析：選C由已知得 a2 2a1 2， a3 a2 1 3，a4 2a3 6， a5 a4 1 7，a6 2a5 14，所以 S6 1 2 3 6 7 14 33.4 (2018 淮北模擬 )5 個數(shù)依次組成等比數(shù)列，且公比為2，則其中奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的比值為 ()A21B 2202121C10D 5解析：選C由題意可設這5 個數(shù)分別為 a， 2a,4a， 8a,16a，故奇數(shù)項和與偶數(shù)項第10頁共21頁a4a 16a21和的比值為2a 8a10，故選 C.5已知 an是首項為 1的等比數(shù)列， Sn 是 an的前 n 項和，且 9S3

20、 S6，則數(shù)列1 的前an5項和為()15 31A.8或5 B.16或53115C.16D. 836解析：選C設 an的公比為 q，顯然 q 1，由題意得9 1 q1 q ，所以 1 q3 9，1q1 q11 511231得 q2，所以 an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，前5項和為11 16.26化簡 Sn n (n 1) 2 (n 2) 22, 2 2n 2 2n 1 的結(jié)果是 ()A 2n 1 n 2B 2n1 n 2nn1 n 2C 2 n 2D 2解析：選D因為 Sn n (n 1) 2 (n 2) 22 , 2 2n 2 2n 1，2Sn n 2 (n 1) 22 (n 2) 23

21、 , 2 2n 1 2n，所以得，Sn n (2 22 23 , 2n) n 2 2n 1，所以 Sn 2n 1 n 2.11117已知數(shù)列：12，2，3 ，,，n n，則其前n項和關(guān)于n的表達式為_482,解析： 設所求的前 n 項和為 Sn，則1111 112nn n 11n n 1 2Sn (1 2 3, , n212 2n 1. n) 2 421 2n n 11答案： n 1228在數(shù)列 an中，若 a1 2，且對任意正整數(shù)m， k，總有 am k am ak，則 an的前 n項和 Sn _.解析： 依題意得an 1 an a1，即有 an 1 an a1 2，所以數(shù)列 an是以 2為

22、首項、 2為公差的等差數(shù)列，an 2 2(n 1) 2n， Sn n 2 2n n(n 1)2答案： n(n 1)9已知正項數(shù)列an滿足22，則數(shù)列 an 的前 n 項和 Snan 1 6an an 1an.若 a1 2_.解析： a2n 1 6a2nan 1an，第11頁共21頁 (an 1 3an)(an 1 2an) 0， an0 ， an 1 3an，又 a12，數(shù)列 an是首項為2，公比為3 的等比數(shù)列， Sn 2 1 3n 3n 1. 1 3答案： 3n 110已知數(shù)列 an滿足 a1 1， an 1an 2n(n N * )，則 S2 018 _.解析： 數(shù)列 an滿足 a1 1

23、， an1an 2n，n1 n 1 時， a2 2， n 2 時， anan1 2，an1數(shù)列 an的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等比數(shù)列， S2 018 121 009 21 21 009 321 009 3.1 212答案： 321 009 3B 級 中檔題目練通抓牢1已知數(shù)列 an中， an 4n 5，等比數(shù)列 bn的公比q 滿足 q an an 1( n 2)且 b1 a2，則 |b1|b2| |b3| , |bn| ()A 1 4nB 4n 1C.1 4nD.4n 133解析：選B由已知得 b1 a2 3， q 4， bn ( 3) ( 4)n 1， |bn| 3 4n 1，即|bn|是以

24、3為首項， 4 為公比的等比數(shù)列|b1| |b2| ,3 1 4nn|bn| 4 1.142 (2018 湘潭三模 )已知 Tn為數(shù)列2n 1n的前 n 項和，若 mT 10 1 013 恒成立，則整2數(shù) m 的最小值為 ()A 1 026B 1 025C 1 024D 1 023解析：選C2n 11 n2n 12，T n n 112n，第12頁共21頁T10 1 013 1111210 1 013 1 024 210，又 mT10 1 013，整數(shù) m 的最小值為 1 024.n為 n 個正數(shù) p1， p2，, ， pn 的“均倒數(shù)”若已知正項數(shù)列 an3定義 p1 p2, pn的前 n 項

25、的“均倒數(shù)”為1 11 1 ,1()，又 bn an，則14b1b2b2b3b10b112n11A.11B.121011C.11D.12解析：選C依題意有n1， a2,a1 an2n 1即前 n 項和 Sn n(2n 1) 2n2 n，當 n 1 時， a1 S1 3；當 n 2 時， an SnSn 1 4n 1， a1 3 滿足該式則 an 4n 1， bn an 1 n. 4因為11 11，bnbn11nn1n n所以11,1 1 11 1 ,1110b1 b2b2 b3b10b112 2 310 11 11.4已知數(shù)列 an中， a1 1， an1 ( 1)n(an 1)，記 Sn 為

26、 an的前 n 項和，則S2 018_.解析： 由 a1 1，an 1 ( 1)n(an 1)可得，a2 2， a3 1， a4 0， a5 1， a6 2， a7 1， , ，故該數(shù)列為周期是 4 的數(shù)列，所以 S2 018 504( a1 a2 a3 a4) a1 a2 504 ( 2) 1 2 1 009.答案 ： 1 0095已知數(shù)列 an的前 n 項和 Sn n2，則數(shù)列1的前 n 項和 Tn _.an1 11， n 1，即 an1，n 1，解析： an2n 1， n2，n2 n 1 2， n 2 an 2n 1.112 11 11 14nn 1 ，an 112n第13頁共21頁11

27、11 ,11T n12n423n 111n41 n14n 4.答案：n4n 46(2018沈陽質(zhì)檢)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且1 a4 9， a2 3 8.aa(1) 求數(shù)列 an的通項公式；(2) 設 Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項和， bn an 1 ，求數(shù)列 bn的前 n 項和 Tn.SnSn 1解： (1) 由題設知a1a4 a2a3 8，a1 1，a1 8，又 a1a4 9，可解得或(舍去 )a4 8a4 1設等比數(shù)列 an的公比為q，由 a4a1 q3，得 q 2，故 an a1qn1 2n 1， n N* .na1 1 qn(2) Sn 2 1，又 bn an 1 Sn

28、1 Sn 1 1 ，SnSn 1 SnSn 1 Sn Sn1所以 T n b1 b2, bn1 11 1,1 11223 Snn 1SSSSS 1 1S1 Sn1 11*.n 1， n N2 17已知數(shù)列 an的首項為 a1 1，前 n 項和為 Sn，且數(shù)列Sn是公差為2 的等差數(shù)列n(1) 求數(shù)列 an的通項公式；(2) 若 bn ( 1)nan，求數(shù)列 bn的前 n 項和 Tn.解： (1) 由已知得 Sn 1 (n 1) 2 2n 1，n所以 Sn 2n2 n.當 n 2 時， an SnSn 1 2n2 n 2(n 1)2 (n 1) 4n 3.而 a11 滿足上式，所以 an 4n

29、3， nN * .n(2) 由 (1)可得 bn (1) (4n 3)第14頁共21頁當 n 為偶數(shù)時， T n ( 1 5) ( 9 13) , (4n7) (4n 3) 4 n 2n；2當 n 為奇數(shù)時， n 1 為偶數(shù)， Tn T n 1 bn 1 2(n 1) (4n 1) 2n 1.2n， n為偶數(shù)，綜上， T n 2n 1， n為奇數(shù) .C 級 重難題目自主選做(2017 山東高考 )已知 xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1 x2 3， x3 x2 2.(1) 求數(shù)列 xn的通項公式；(2) 如圖，在平面直角坐標系xOy 中，依次連接點P1(x1， 1)，P2(x2,2)， , ， Pn1