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文檔簡介
1、數(shù)學(xué)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)分?jǐn)?shù)真分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)帶分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)數(shù)詞的多重意義分?jǐn)?shù)的教學(xué)策略分?jǐn)?shù)問題范圍的分類教學(xué)應(yīng)注意事項具體物的使用最簡分?jǐn)?shù)國小學(xué)童學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念時常見的迷思概念補(bǔ)充說明運(yùn)思方式的發(fā)展測量運(yùn)思對分?jǐn)?shù)問題的影響等價分量學(xué)生的先備知識l 何謂分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)概念起源于“分”,是用來解決不滿一個單位量的量的數(shù)值的問題。透過將原單位量(例如:一個圓)加以等分割(例如:分成五等份),得到單位分量(五分之一),再重復(fù)數(shù)個單位分量(例如:兩個五分之一)加以合成,而得到被測量的量為五分之二公尺的圓。例如: 是“分得的量” 是“總單位量”同樣地,分?jǐn)?shù)的原始意義等分割及再合成其數(shù)份的活動是分?jǐn)?shù)概念發(fā)展的基石。對于所有分?jǐn)?shù)問題,
2、學(xué)童唯有能實際操作或在心理操作等分割及再合成其數(shù)份的活動,才能理解如何解決這些問題。簡單的說:分?jǐn)?shù)就是分開的意思。用來描寫一個被分開的全體之各部份。也可用來表示將對象等分成若干份后,取其幾份的結(jié)果??蓺w納其原始意義為:把一個或多個基準(zhǔn)單位量,透過實作或心理的等分割活動成為n等份,再合成其m份,命名為n分之m,記為m/n。 分?jǐn)?shù)是透過等分割活動及合成活動的實施,來確定一個量(例如:4個糖果)與一個單位量(例如:12個糖果裝一包)的數(shù)值關(guān)系的指標(biāo)。由于確定同一個量與其單位量間的數(shù)值關(guān)系的等分割活動與合成活動并非唯一,以上述數(shù)據(jù)為例,12個糖果中的4個,可以透過將12個糖果等分割成12份,再合成其中
3、的4份而獲得,也可以透過將12個糖果等分割成6份,再合成其中的2份而獲得。因此,在單位量確定的情況下,把測量同一量的不同數(shù)值指標(biāo)(如上例的4/12與2/6)視為相等,忽略不同數(shù)值指標(biāo)的等分割份數(shù)與合成份數(shù),而注重等分割份數(shù)與合成份數(shù)間的比值關(guān)系,并把比值當(dāng)作數(shù)值指標(biāo)的數(shù),稱之為有理數(shù)。學(xué)童的認(rèn)知需達(dá)到測量運(yùn)思,才能討論不同的等分割與合成活動結(jié)果的等價關(guān)系,作為發(fā)展有理數(shù)概念的基礎(chǔ)并以之作為發(fā)展。分?jǐn)?shù)的初步概念是包涵單位分量真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)。教學(xué)的過程中是,由單位分量真分?jǐn)?shù)概念帶入假分?jǐn)?shù)及帶分?jǐn)?shù)。l 何謂真分?jǐn)?shù)將壹單位(例如一條繩子,或一塊蛋糕)等分成數(shù)份(例如8份),來討論單位分?jǐn)?shù)的意義
4、(例如1單位8等分后,一份為1/8);在逐次累加一個單位分量的情境中,建立同分母分?jǐn)?shù)數(shù)詞序列,討論真分?jǐn)?shù)數(shù)詞的意義,進(jìn)而能掌握用分?jǐn)?shù)數(shù)詞溝通分量的獲得過程,例如八分之三個圓,是表示將一個圓等分成8份,形成八分之一個圓的單位分量,再將3個八分之一個圓合起來的結(jié)果。分子異于1,且其總量不超過1個的分量,我們稱之真分量。真分量是由1個子分割成數(shù)分,但與單位分量不同,是取出其中數(shù)分合成的量,單位分量是祇取出其中的1分。因此,在真分量命名時,仍宜強(qiáng)調(diào)名字中應(yīng)表現(xiàn)出(1)等分的活動;(2)分成幾分;(3)取出幾分合起來等要素。l 真分?jǐn)?shù)的教學(xué)策略真分量的命名活動在進(jìn)行真分量的命名時,我們?nèi)韵仁褂美K子的長度
5、性質(zhì),進(jìn)行五或七等分的活動。使用五等分做為開始,五等分后,可以同時討論數(shù)個真分量的命名(例如五分之二、五分之三、或五分之四)。我們刻意地避開四等分和六等分,原因是避免二分之一與四分之二的混淆。在命名的初期,我們希望建立命名活動的系統(tǒng)化,對于二分之一與四分之二為等價分量,可以有兩個名字的問題,留待第六冊,學(xué)童對分?jǐn)?shù)數(shù)詞有較多的認(rèn)識后,再進(jìn)一步地做討論。依照活動重點,教師宜準(zhǔn)備已等分好的材料,在等分處做上記號,以方便在視覺上同時掌握整體與部分。在要求命名時,宜用手勢來指明要命名的部分。在命名過程中,宜先復(fù)習(xí)單位分量的命名,協(xié)助學(xué)童可以仿照單位分量的命名方式來對真分量命名。但教師宜注意,此時尚不宜用
6、單位分量的合成來討論真分量的命名,換言之,真分量的命名,注重其獲得的方式,以五分之二為例,五分之二是將一個東西分成五分,取出來二分合起來的量,而并非兩個五分之一的量合起來的量。學(xué)童此時可能尚不能將五分之一視為可被計數(shù)的單位,有關(guān)合成問題,留待三年級下學(xué)期再討論。在命名活動中,我們先要求系統(tǒng)化,而在系統(tǒng)化中,可以先接受非格式化的名字,但要求此名字已能較清楚地表達(dá)(1)等分活動;(2)分成數(shù)分;(3)取出其中的幾分合起來。在活動示例中,我們使用的符號來表示符合上述要求而非格式化的名字,因為學(xué)童是用口語來敘述名字,教師亦可用注音的方式,記錄在黑板,以供討論與選擇。如果學(xué)童中有人自發(fā)地提出五分之二條繩
7、子的命名,教師宜先訴諸社會上的溝通的共識,討論五分之二的名字是否已清楚地表達(dá)此分量形成的過程。在形成共識后,要求仿照同樣的方式來進(jìn)行五分之三、五分之四的命名。如果全班學(xué)童都無五分之二的命名,亦可先選出最符合表達(dá)要求的名字,例如,要求先仿照此種命名方式,對于五分之三及五分之四的分量進(jìn)行命名,而產(chǎn)生及的名字。在此階段,我們先要求學(xué)童能注意到各分量獲得過程的異同,而系統(tǒng)化的展現(xiàn)在命名過程中,可以在命名活動之后,探討社會上的溝通共識,討論五分之二的名字,是否也可表達(dá)分量獲得的過程,再形成共識,使用此種方式重新賦予約定成俗的命名。在此種討論流程中,我們強(qiáng)調(diào)宜先注重活動意義的掌握,在溝通方面,培養(yǎng)學(xué)童勇于
8、自行命名的態(tài)度,教師亦宜先尊重學(xué)童的選擇,再以社會的溝通共識做規(guī)范,要求使用正式的數(shù)學(xué)語言。進(jìn)行使用離散量來討論分量的命名。在離散量的情境中,我們是以總量為基準(zhǔn)單位量,來進(jìn)行等分割及命名活動,在此類問題中,我們建議先將問題限制在總量與等分分?jǐn)?shù)相同的范圍內(nèi),例如10個饅頭裝成 1包,把1包饅頭分給10個人,1個人可得多少包。在命名的過程中,許多學(xué)童可能會混淆個和包的兩階單位,教師宜強(qiáng)調(diào)題目中的問題,提醒學(xué)童現(xiàn)在是問多少包,亦宜隨時提醒等分繩子時的命名方式,以協(xié)助學(xué)童學(xué)習(xí)正式的名稱。同樣地,在離散量情況下進(jìn)行真分量的命名時,我們只采用三、五或七等分,以避免命名時的混淆。l 何謂假分?jǐn)?shù)單位分量的累積
9、與數(shù)詞序列,其分?jǐn)?shù)數(shù)詞所描述的數(shù)量,幾乎都是不超過1單位所描述的數(shù)量。而在此處,即以分?jǐn)?shù)數(shù)詞來描述不小于1單位的數(shù)量。例如當(dāng)5個1/4個圓合起來時,稱之五分之四個圓;此類分?jǐn)?shù)數(shù)詞,則通稱為假分?jǐn)?shù)。即分?jǐn)?shù)數(shù)詞所描述的數(shù)量大于1單位所描述的數(shù)量,通常分子會大于分母。5個1/4的圓5/4在合成或分解活動中,建議下列的流程:(1)先澄清單位分?jǐn)?shù)數(shù)詞的意義;(2)用真分?jǐn)?shù)布合成問題,或用小于2的假分?jǐn)?shù)與真分?jǐn)?shù)布分解問題;(3)學(xué)童嘗試解題;(4)要求學(xué)童以分?jǐn)?shù)算式摘要記錄解題活動與結(jié)果,而不要求學(xué)生記錄解題過程。l 假分?jǐn)?shù)的教學(xué)策略假分?jǐn)?shù)的命名活動教師宜注意到,假分?jǐn)?shù)數(shù)詞是描述不小于1單位的數(shù)量,故而在
10、量的情境布置時,必須使用多個1單位。同時將它們做同份數(shù)的等分活動,例如,以綠色積木(其長度相當(dāng)于6個白色積木)為1單位,將三條綠色積木同時進(jìn)行6等分的活動,溝通其等分結(jié)果皆為六分之一條綠色積木,如此才能有18個單位分量(六分之一條)來布置命名活動的情境。當(dāng)然,在累加單位分量時,實際上是使用白色積木,教師必須先與學(xué)童溝通,在此情境中,白色積木是代表六分之一條綠色積木。在假分?jǐn)?shù)命名活動中,教師宜強(qiáng)調(diào)如何選擇分?jǐn)?shù)數(shù)詞,使別人一聽就知道是幾個單位分量的合成結(jié)果?;顒邮纠ㄗh由真分?jǐn)?shù)數(shù)詞為起點(例如:5個六分之一條綠色積木合起來是多少條綠色積木?)。再逐次累加一個單位分量,先確定單位分量的個數(shù)(例如:再
11、一個六分之一條,合起來是幾個六分之一條?。再協(xié)商此數(shù)量如何命名(例如:6個六分之一條綠色積木,合起來是多少條綠色積木?。以真分?jǐn)?shù)數(shù)詞為起點,可以協(xié)助學(xué)童使用真分?jǐn)?shù)數(shù)詞的命名規(guī)律,來形成假分?jǐn)?shù)數(shù)詞。l 何謂帶分?jǐn)?shù)在強(qiáng)調(diào)混用1單位與單位分?jǐn)?shù)兩種被計數(shù)單位的情境下,形成使用帶分?jǐn)?shù)數(shù)詞(字)描述數(shù)量的共識。例如一又六分之二條繩子,是描述一條繩子和2個六分之一條繩子的合成結(jié)果,記作12/6。依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn),選擇12/6做為帶分?jǐn)?shù)數(shù)字的書寫形式,以強(qiáng)調(diào)帶分?jǐn)?shù)是自然數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的結(jié)果。待學(xué)童掌握其合成的意義后,再考慮1的省略記法。由于在此階段,多數(shù)學(xué)童尚無法尚掌握乘除互逆的概念,不能用倍的活動來抵消等分活動
12、,故而延伸活動經(jīng)驗,在量的情境中,繼續(xù)進(jìn)行n/n與1的比較活動。例如:100/100張百格板和1張百格板,誰比誰大?,希望累積比較經(jīng)驗,進(jìn)而察覺n/n與1間的等價關(guān)系,可以用一個n/n來交換一個1。以一個n/n可以交換一個1為基礎(chǔ),教師可以協(xié)助學(xué)童探討假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)間的關(guān)系。假分?jǐn)?shù)數(shù)詞的選擇,著重于別人一聽就知道是幾個單位分量的合成結(jié)果;相對地,帶分?jǐn)?shù)數(shù)詞的選擇,著重于別人一聽就知道是幾個基準(zhǔn)單位量(1單位)和幾個單位分量的合成結(jié)果。假分?jǐn)?shù)數(shù)詞的命名,是以數(shù)個單位分量的合成為活動背景;相對地,帶分?jǐn)?shù)數(shù)詞的命名活動,是以數(shù)個基準(zhǔn)單位量與數(shù)個單位分量的合成為活動背景。例如活動示例中,確定1/4張色
13、紙的意義后,詢問3張色紙和一個1/4張色紙合起來要如何描述,在逐次累加一個1/4張色紙的情況下,詢問3張色紙和數(shù)個1/4張色紙合起來要如何描述。l 帶分?jǐn)?shù)的教學(xué)策略帶分?jǐn)?shù)的命名活動學(xué)童在進(jìn)行帶分?jǐn)?shù)的做數(shù)活動時,可能以口述、畫圖象或操作具體物等方式來表現(xiàn)其數(shù)量。如果學(xué)生無法完成做數(shù)活動,教師宜詢問帶分?jǐn)?shù)數(shù)詞(字)的意義,來協(xié)助學(xué)生解題。例如:提示學(xué)童 四又十分之六條橘色積木是告訴我們幾條橘色積木和幾個十分之一條橘色積木合起來?”在此階段,教師在黑板上記錄學(xué)童的說法時,宜采用文字符號(例如三又四分之一),在下個活動中,再討論帶分?jǐn)?shù)數(shù)字的寫法。命名活動可以分為兩個階段進(jìn)行。在第一階段時,先著重學(xué)童的
14、描述(命名)是否已溝通重要的元素:是數(shù)個基準(zhǔn)單位量和數(shù)個單位分量的合成,著重形成命名方式的類型(規(guī)律);在第二階段再強(qiáng)調(diào)社會上約定成俗的說法。換言之,在命名活動開始時,班級中若無人提出約定成俗的說法(例如三又四分之一)時,教師可以協(xié)助選擇一種已溝通重要元素的學(xué)童自創(chuàng)說法,做為暫時的班級的溝通格式,繼續(xù)進(jìn)行命名活動,以強(qiáng)調(diào)此時溝通的要素。而在下一階段的命名活動中,再引入約定成俗的數(shù)詞。當(dāng)然,若學(xué)童在第一階段中,已提出約定成俗的數(shù)詞時,教師宜透過便于與社會大眾溝通為理由,協(xié)助學(xué)童注意到數(shù)詞如何溝通重要元素,再協(xié)助學(xué)童使用此種方式,來描述其它的數(shù)量。由于帶分?jǐn)?shù)數(shù)詞是首次引入,為了將情境單純化,活動示
15、例中,限制單位分?jǐn)?shù)的內(nèi)容為單一個物,而且分母不大于十二或等于一百。在命名活動中,若學(xué)童以等值分?jǐn)?shù)描述數(shù)量時,例如用三又二分之一來描述3張和2個1/4張的合成結(jié)果,教師宜采淡化原則,請學(xué)童說明他(她)的觀點,在接受此種說法的情況下,要求學(xué)童再選擇一種方式,讓別人一聽就知道是描述3張和2個1/4張的合成結(jié)果。帶分?jǐn)?shù)的說、讀、聽、寫、做活動依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn),選擇2的書寫形式,來記錄二又三分之一,以強(qiáng)調(diào)帶分?jǐn)?shù)是自然數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的結(jié)果。當(dāng)帶分?jǐn)?shù)的寫法由2 改為2時,教學(xué)上應(yīng)注意:(1)如果學(xué)生以傳統(tǒng)方法來書寫帶分?jǐn)?shù)符號,如2,教師宜接受;但是教師的教學(xué)都要以2的方式來書寫;(2)如果學(xué)生將帶分?jǐn)?shù)的符號,如
16、2,讀成二加三分之一,教師宜接受;但是教師的讀法一定要是二又三分之一。(3)為了避免造成和與和數(shù)的混用,請教師不要出像2公尺的繩子和1/3公尺的繩子合起來是多少公尺,寫出算式【2+1/3=2】這一類的問題。在帶分?jǐn)?shù)的合成、分解活動中,曾引導(dǎo)學(xué)童區(qū)分壹與單位分?jǐn)?shù)兩種被計數(shù)單位。并用 整數(shù)的合成、分解與以單位分?jǐn)?shù)為被計數(shù)單位的合成、分解 等方式來解題。希望學(xué)童在復(fù)習(xí)舊有活動經(jīng)驗時延續(xù)上述解法來解決帶分?jǐn)?shù)的合成、分解問題。若學(xué)童碰到帶分?jǐn)?shù)的分解問題需要退位時,希望學(xué)童能利用1、是n個等經(jīng)驗進(jìn)行解題。由于學(xué)童并式的經(jīng)驗還不夠豐富,而帶分?jǐn)?shù)的書寫符號又如2,而非2。l 分?jǐn)?shù)數(shù)詞的多重意義當(dāng)分?jǐn)?shù)數(shù)詞(字)
17、用來描述有理數(shù)時,a/b為例,至少可以從下列六種角度,來討論分?jǐn)?shù)數(shù)詞(字)的意義:1.部分與全體的比較:全體為b時,a是b的部分;例如:一塊蛋糕的一半或三個蘋果中的兩個2.除法的活動:a除以b活動的另一種寫法;例如:五除以三可以寫作5/3。3.算子:對于對象1,進(jìn)行一個運(yùn)作,將1等分割成b份再取出a份;例如:將一個蛋糕切成五等份,取出其中的三等份。4.小數(shù)的另一種記法; 例如:0.63/55.比的意義:表示兩數(shù)量的相對關(guān)系(a:b);例如一根10公分的竿子和一根5公分的竿子的長度比例為1/2。6.測量:用來測量一個不滿一個單位量的量的數(shù)值問題,或是對兩量的對等關(guān)系進(jìn)行數(shù)值化(比值)。分?jǐn)?shù)的教學(xué)
18、策略l 分?jǐn)?shù)問題范圍的分類依據(jù)分?jǐn)?shù)數(shù)詞(字)所描述的量的性質(zhì),將分?jǐn)?shù)問題情境分為三類:(一)連續(xù)量:例如條繩子;我們可選用具體物(如繩子)的長度性質(zhì),來討論分的活動與單位分量的意義。例如使用白色積木代表十分之一條橘色積木,或紅色積木代表五分之一條橘色積木,或分成五段后的一段繩子是五分之一條繩子。至于采用繩子的原因,是因為它的長度性質(zhì)。例題1:這是一條繩子。4/7條繩子和2/7條繩子,合起來和多少條繩子一樣長?(82年部編本活動編號:6-4-6)例題2:冰箱有一瓶鮮乳。淑敏喝了5/12瓶鮮乳,曉玉喝了3/8瓶鮮乳,兩人共喝了多少瓶鮮?(82年部編本活動編號:11-3-3)(二)離散量:一打鉛筆有
19、12枝的情境下,討論打鉛筆;可選擇基準(zhǔn)單位內(nèi)元素(具體物)可被計數(shù)的性質(zhì),來討論分的活動與單位分量的意義,例如以一打鉛筆為基準(zhǔn)單位,內(nèi)有12枝鉛筆,分成12分后,一分是十二分之一打鉛筆。重點在于,將問題限制為等分的分?jǐn)?shù)必須與元素的個數(shù)相同,如此一分中恰好有一個元素,以免學(xué)生對于分、枝二階單位產(chǎn)生混淆。例題1:10個蛋糕裝1盒。哥哥有5/10盒蛋糕,媽媽再給他2/10盒,合起來有多少盒?(82年部編本活動編號:6-6-1)例題2:一盒巧克力有35顆。3/7盒巧克力和盒2/5盒巧克力,合起來是多少盒?(82年部編本活動編號:11-3-2)(三)全部為單位量:在全部有12枝鉛筆的情境下,或在全部有6
20、公斤汽油情境下,由解題者視12枝或6公斤為一高階單位1,討論全部的。例題1:家里冰箱有40個巧克力。妹妹自己拿了全部3/10的,媽媽再給妹妹全部的4/10,合起來妹妹的巧克力是全部的多少?例題2:家里冰箱有40個巧克力。妹妹自己拿了全部3/10的,媽媽再給妹妹全部的7/20,合起來妹妹的巧克力是全部的多少? 由于測量運(yùn)思階段的學(xué)童,尚需要透過等分割活動,才能掌握分?jǐn)?shù)的意義,如果要被等分割的量不確定時,則無法進(jìn)行等分割活動,因此,在布置連續(xù)量分?jǐn)?shù)問題時,或提供實際的對象(例如:一條繩子),或使用學(xué)童已熟悉的對象描述(例如:一個蛋糕,一公升的水),讓學(xué)童在心像上能產(chǎn)生一個確定的量(其數(shù)值可以未定)
21、;在布置離散量與全部為單位量的問題時,亦必定清楚描述1單位中內(nèi)容物的量。l 教學(xué)應(yīng)注意事項具體物的使用進(jìn)行分?jǐn)?shù)教學(xué)活動時,常常需要使用具體物,此時應(yīng)注意:(1)教師進(jìn)行第四冊分?jǐn)?shù)啟蒙教材的連續(xù)量等分割活動(例如:分割一條繩子)時,在等分割后,教師應(yīng)刻意地不讓學(xué)生將其切斷,而只是在分割處做上記號。其用意是,累進(jìn)性合成運(yùn)思的學(xué)生,在將繩子切斷后,原來的條繩子即不存在,但是在只做記號的情況下,學(xué)生能在感官知覺上,同時看到一條繩子,與分割后的一段繩子,能看到分量(一段)為單位量(一條)的一部分。在進(jìn)行將單位量等分割成、等分時,教師宜先行制作教具,不必由學(xué)生執(zhí)行分割活動,以免分割的技術(shù)問題干擾學(xué)生的學(xué)習(xí)
22、,只要學(xué)生能認(rèn)可教師教具上的記號已完成了要求的等分割活動即可。(2)在建立分?jǐn)?shù)數(shù)詞序列或進(jìn)行分?jǐn)?shù)的合成、分解等活動前,教師應(yīng)與學(xué)生建立具體物意義的共識。例如:使用白色積木代表十分之一條橘色積木,或用一枝鉛筆來代表十二之一打鉛筆。 (3)教師與學(xué)生可能操作不同的具體物,例如:教師在黑板上使用數(shù)學(xué)方瓦,而學(xué)生使用數(shù)學(xué)積木,教師宜解決溝通的問題,例如:先說明教師是用方瓦來代替積木,而維持稱方瓦為積木的溝通方式。 (4)在不同的活動中,我們使用白色積木的不同性質(zhì)來進(jìn)行活動。例如:在第六冊第二單元中,我們使用積木的長度性質(zhì)來進(jìn)行教學(xué)活動,因此,會出現(xiàn)像一個白色積木和多少條橘色積木一樣長?的問話。在第八冊
23、第二單元中,我們使用積木的面積性質(zhì)來進(jìn)行活動,因此,會出現(xiàn)像一個白色積木和多少張百格板一樣大?的問話。 (5)在進(jìn)行分子等于分母的分?jǐn)?shù)與之間的等價關(guān)系的比較活動時,我們并不希望學(xué)生實際地進(jìn)行直接比較活動,故建議在和的比較活動中,將代表的具體物(例如:條橘色積木),與代表十分之十的具體物(例如:10個白色積木),分開呈現(xiàn),而不宜作長度的直接比較;在和的比較活動中,將代表的具體物(例如:張百格板),與代表一百分之一的具體物(例如:個白色積木),分開呈現(xiàn),而不宜作面積的直接比較,希望透過如此情境的限制,促使學(xué)生能利用基準(zhǔn)單位量與單位分量的關(guān)系來預(yù)測比較的結(jié)果,注意到等分出來的分量都已再合并,而判斷等
24、價的關(guān)系。(6)在單位分?jǐn)?shù)所指示的內(nèi)容為多個獨立個物的情境下,為了讓學(xué)生在無法解題時,能方便透過操作具體物或圖示來協(xié)助解題。因此,我們的教學(xué)活動限制分母不大于十二,而且單位分?jǐn)?shù)所指示的內(nèi)容以不多于4個為原則。最簡分?jǐn)?shù)在習(xí)慣上,如果問題最后的答案為分?jǐn)?shù)時,常要求用最簡分?jǐn)?shù)做解答。此階段的學(xué)童,尚須依賴等分割活動來掌握分?jǐn)?shù)的意義,當(dāng)分割數(shù)(或分母)不同時,則具有不同的意義。學(xué)童需要透過兩分?jǐn)?shù)所指示的量的比較,才能確定兩異分母分?jǐn)?shù)是否等值。當(dāng)學(xué)童尚須透過比較活動來判斷分?jǐn)?shù)的等值問題,在概念上,亦不易了解分子、分母同除以一數(shù)來進(jìn)行約分的程序。此時要求將獲得的分?jǐn)?shù),化為最簡分?jǐn)?shù),是較困難的活動。因此,在
25、分?jǐn)?shù)的問題中,盡可能不要求用最簡分?jǐn)?shù)來呈現(xiàn)解答,等待六年級時,累積較多經(jīng)驗后,再開始討論最簡分?jǐn)?shù)的問題。在不要求用最簡分?jǐn)?shù)作答時,同一問題可能出現(xiàn)不同的答案形式(如1/2、2/4),建議教師隨時進(jìn)行不同答案的比較活動,一方面討論各種答案都可合理可以接受的,另一方面累積等值分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗。教材中并沒有系統(tǒng)地介紹各種質(zhì)因子的識別法,雖有介紹短除的紀(jì)錄格式,但礙于學(xué)童發(fā)展的限制,并未強(qiáng)調(diào)使用短除法來求取最大公因子的策略。因此,學(xué)童在此時尚無較簡便的工具來計算最大公因子(例如:短除法,輾轉(zhuǎn)相除法),在化為最簡分?jǐn)?shù)的問題中,會遭遇計算上的困難(嘗試錯誤過程的繁雜)。因應(yīng)這個問題,教材中建議可選擇分母較小的分
26、數(shù)進(jìn)行布題,這個選擇并不妨礙概念的形成;教師宜運(yùn)用上課從嚴(yán),考試從寬的原則,在師生的互動中,可以進(jìn)一步地詢問:可不可以用最簡分?jǐn)?shù)來回答?或還能不能平分成更少的份數(shù)?,但考試時缺乏互動機(jī)會,則不做嚴(yán)格的要求。l 國小學(xué)童學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念時常見的迷思概念吳相儒 國小學(xué)童學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念時常見的迷思,翰林文教雜誌網(wǎng)路版第24期。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)的分析可以歸納出,國小學(xué)童學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念時常見的迷思概念有忽略單位量、依賴部分-整體模式及受到整數(shù)基模的影響等三大類,茲分述如下:(一)忽略單位量: 處理分?jǐn)?shù)問題最重要的一個概念是單位量的指認(rèn),但是學(xué)生在處理部分全部,子集集合或數(shù)線的分?jǐn)?shù)問題時,會有指認(rèn)單位量的困難。其常見
27、的迷思概念又可以細(xì)分為:l 忽略給定的單位量:學(xué)生在回答諸如一袋蘋果有四個,其中的一個是幾袋的問題時,會回答一個或是四分之一個。這樣的反應(yīng)顯示他們對于所給定的單位袋和單位分量個之間的關(guān)系,并不在意。l 受分子的控制,解題時只考慮到分子的因素。如果要此類學(xué)生在以十二個組成一堆的花片中取出其中的六分之五,他們的反應(yīng)是只取其中的五個。l 受分母的控制,只考慮到問題中的分母,解題過程深受分母的影響。跟上述受分子控制解題的情形類似,其中的差別只有在于,這類的學(xué)生是根據(jù)分母的大小來取花片。而不論是受分子控制或是受分母控制解題的學(xué)生,他們都忽視所給定的單位量。(二)部分整體模式:由于兒童過于依賴連續(xù)的部分-
28、整體模式,反而抑制了他們將分?jǐn)?shù)視為一個數(shù),并抑制了其它分?jǐn)?shù)解釋的發(fā)展(pitkethly et al.,1996)。引用臺中縣益民國小呂相儒老師在翰林文教雜志網(wǎng)絡(luò)版第廿四期所發(fā)表了一篇名為國小學(xué)童學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念時常見的迷思的文章中,曾經(jīng)就相似情境分別設(shè)計連續(xù)量與離散量的試題,其一為:小明的媽媽買了一個大披薩,她把披薩平分成八小塊。小明吃了三塊、媽媽吃了四塊。以分?jǐn)?shù)來說,小明吃了幾個披薩?媽媽吃了幾個披薩?其二則是:小英在慶生會的時候,帶來一桶裝有86顆軟糖的乖乖桶,她分給自己和每個同學(xué)各兩顆軟糖,桶內(nèi)還剩下14顆軟糖。以分?jǐn)?shù)來說,班上每位同學(xué)各分得幾桶乖乖桶?小英還剩下幾桶乖乖桶?并利用上述問題
29、對123位國小四年級學(xué)生施測,結(jié)果第一題答錯的學(xué)生數(shù)為9人,答錯率為7.3,第二題答錯的學(xué)生數(shù)則高達(dá)21人,答錯率為17.1,相同學(xué)生在兩題上的表現(xiàn)顯然不同,對于連續(xù)量的分?jǐn)?shù)理解優(yōu)于離散量。推論其原因跟教材及教師教學(xué)時常常舉連續(xù)量的例子,使得學(xué)生對于此類問題較為熟悉有關(guān)。此外,kerslake(1986)也指出兒童將分?jǐn)?shù)視為一個整體形狀的部分,這個整體通常是一個圓或方形,使得兒童難以發(fā)展出將三個圓分成四個相等部分的概念。(三)整數(shù)基模: 一些研究指出,學(xué)生對分?jǐn)?shù)符號表征的迷思概念與全數(shù)有關(guān)(behr, lesh, post & silver,1983;behr, wachsmuth & pos
30、t,1984;mack,1995)。分?jǐn)?shù)的符號為,兒童普遍的將該符號視為是由兩個整數(shù)組成的,并將之應(yīng)用至分?jǐn)?shù)的問題上。他們視分?jǐn)?shù)是兩個不相關(guān)的整數(shù)并分開個別處理(hart,1989)。因此在進(jìn)行與分?jǐn)?shù)相關(guān)問題的解題活動,如分?jǐn)?shù)大小比較、合成或分解時,便出現(xiàn)下列的情形: l 以分母的大小來做比較:如,因為85。(behr et al.,1984; hunting,1986)。又如筆者在進(jìn)行研究訪談中的經(jīng)驗顯示,學(xué)生知道一個大餅平均分成兩塊,其中的一塊就叫做二分之一()個。若把一個大餅分成相等的四塊,其中的一塊則可說成四分之一()個。因此,是切兩塊比較大,是切四塊比較小。但是若要他們在( )此類問
31、題的括號中填入大于、等于或小于的符號時,他們卻回答小于,問其源由,則答因為2比4小。l 以分子的大小來比較:例如。因為4 9。(behr et al,1984)。此一原則在同分母分?jǐn)?shù)的情境下尚可適用,但是對于分母不同或是等值分?jǐn)?shù)的狀態(tài)下,就會導(dǎo)致錯誤的結(jié)果,例如學(xué)生認(rèn)為 ,因為是涂兩塊,只有涂一塊,所以 比較大(呂玉琴,民80)。l 將分子、分母同加一數(shù)來比較:例如:3/47/8。因為3+4=7,4+4=8(behr et al.,1984)。l 分別比較兩個分?jǐn)?shù)的分母與分子例如:3/56/10。因為36,而且510(behr et al.,1984;hunting,1986)。l mack(
32、1995)發(fā)現(xiàn)學(xué)生受到全數(shù)觀念的影響過度類推至分?jǐn)?shù)的概念上:例如:學(xué)生認(rèn)為3/8即是三大塊的南瓜派,每塊切成八小塊。l 在分?jǐn)?shù)加法的問題中,采用分子相加以及分母相加的方式來求得答案:待添加的隱藏文字內(nèi)容3 例如:1/42/43/8,1/42/63/10。l 在異分母分?jǐn)?shù)相減的問題中,采用分子相減以及分母相減的方式來求得答案: 例如:5/92/73/2或是認(rèn)為5/62/7無法運(yùn)算,因為6比7小不能減。補(bǔ)充說明l 運(yùn)思方式的發(fā)展我們將國小學(xué)童運(yùn)思方式,依序分為五個發(fā)展階段:(一)合成運(yùn)思:此運(yùn)思將數(shù)個1合而為一,形成一個集聚單位(例如:10);(二)累進(jìn)性合成運(yùn)思:此運(yùn)思可以使用一個集聚單位(例如
33、:10)為基礎(chǔ),繼續(xù)合成新的1,而形成新的集聚單位,例如以10為起點,繼續(xù)合成3個1,而形成13;(三)部分全體運(yùn)思:此運(yùn)思掌握1單位與以1為單位量所合成的集聚單位(例如:10)間的部分全體關(guān)系,明顯地區(qū)分兩者的意義,故在混合使用兩種以上的被計數(shù)單位時,不混淆其計數(shù)的意義,可以將數(shù)個集聚單位和數(shù)個1單位合而為一,形成新的集聚單位,例如,區(qū)辨3 個拾與3個壹這兩個3具有不同的意義,而將33視為3個拾與3個壹的合成結(jié)果,發(fā)展由多單位的觀點,來解讀數(shù)字(詞)的意義;(四)測量運(yùn)思:此運(yùn)思以掌握1與集聚單位(例如:10)間的部分全體關(guān)系為基礎(chǔ),進(jìn)而能掌握集聚單位(例如:拾)與以其為單位量所合成的另一集聚單位(例如:10個拾)間的部分全體關(guān)系,故而是同時掌握兩個層級的部分全體關(guān)系。
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