(精品講義150313)數(shù)學北師大版八年級下冊等腰三角形三線合一

1、“三線合一”的妙用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)應用十分廣泛，可以利用它來巧妙地證明角相等、線段相等或直線垂直等問題一、證明角相等圖121edcba【例1】已知：如圖1，在中，于d求證：二、證明線段相等圖2ecamdb【例2】如圖2，是等邊三角形，d點是ac的中點，延長bc到e，使，過點d作，垂直為m求證：三、證明直線垂直fedcb圖3a【例3】如圖3，在正abc中，于點d，以ad為一邊向右作正ade請判斷ac、de的位置關(guān)系，并給出證明【點撥】當題設(shè)中同時具備下列兩個條件時，就可以利用“三線合一”來證明兩條直線相互垂直：（1）有一個等腰三角形；（2）兩條直線中有一條是這個等腰三角形的頂角的平分

2、線或底邊上的中線所在的直線 例4. 等腰三角形頂角為，一腰上的高與底邊所夾的角是，則與的關(guān)系式為=_。 例5. 已知：如圖，abc中，ab=ac，ceae于e，e在abc外，求證：ace=b。 例6. 已知：如圖，等邊三角形abc中，d為ac邊的中點，e為bc延長線一點，ce=cd，dmbc于m，求證：m是be的中點。 【同步練習】 1. 如圖，墻上釘了一根木條，小明想檢驗這根木條是否水平，他拿來一個如圖所示的測平儀，在這個測平儀中，ab=ac，bc邊的中點d處有一個重錘，小明將bc邊與木條重合，觀察此重錘是否通過a點，如通過a點，則是水平的，你能說明其中的道理嗎？ 2. 已知：如圖，在rta

3、bc中，acb=90，ac=bc，d是ab的中點，e、f分別在ac、bc上，且edfd，求證：s四邊形cedf。 直接應用“三線合一” 例7. 已知，如圖，ad是的角平分線，de、df分別是和的高。 求證：ad垂直平分ef 例8. 如圖，中，abac，ad為bc邊上的高，ad的中點為m，cm的延長線交ab于點k，求證：先連線，再用“三線合一” 例9. 如圖3，在中，d是bc的中點，p為bc上任一點，作，垂足分別為e、f求證：（1）dedf；（2）先構(gòu)造等腰三角形，再用“三線合一” 例10. 如圖，已知四邊形abcd中，m、n分別為ab、cd的中點，求證： 例11. 如圖，中，bc、cf分別平分

4、和，于e，于f，求證：ef/bc三線合一的逆應用學習了等腰三角形的三線合一后，補充“三線合一”的逆命題的教學，因為這種逆命題雖然不能作為定理用，但它在解題中非常常見的。掌握了它，可以為我們解題增加一種重要思路。它有以下幾種形式：一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形（線段垂直平分線的性質(zhì)）一邊上的高與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形一邊上的中線與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形.因此，三角形“一邊上的高、這邊上的中線及這邊所對角的平分線”三線中“兩線合一”就能證明它是等腰三角形簡言之：兩線合一，必等腰。利用該逆命題作為一種思路正確地添加輔助線，構(gòu)建等腰三角形且證明

5、之來解決問題。等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題的應用不斷為學生開辟了新思維，強化了學生通過添加輔助線解題的能力，而且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數(shù)學思想。一、我們先來證明“三線合一”性質(zhì)的逆命題三種情形的正確性：證明：已知:如圖1，abc中，ad是bc邊上的中線，又是bc邊上的高。求證：abc是等腰三角形。證明：已知:如圖1，abc中，ad是bac的角平分線，ad是bc邊上的高。求證：abc是等腰三角形。證明：已知:如圖2， abc中，ad是bac的角平分線，ad是bc邊上的中線。求證：abc是等腰三角形。 二、 利用“三線合一”性質(zhì)的逆命題添加輔助線，構(gòu)建且證明等腰三角形來解決問題1

6、、逆命題的應用（即線段垂直平分線的性質(zhì)的應用）例1如圖4，d、e分別是ab、ac的中點，cdab于d，beac于e，求證：ac=ab。 2、逆命題的應用例2已知：如圖5，在abc中，ad平分bac，cdad,d為垂足，abac。求證：2=1+b 例3在學習等腰三角形知識時，會遇到這個典型題目：如圖6，在abc中， bac=900，ab=ac，be平分abc，且cdbe交be的延長線于點d，求證：cd=be 3、逆命題應用：例4已知：如圖8，abc中，ad是它的角平分線，且bd=cd，deac、dfab分別與ab、ac相交于點e，f。求證：de=df 三線合一專項練習一、選擇題：1、已知的周長為

7、，且，又，d為垂足，的周長為，那么ad的長為（ ）a b. c. d. 2、如圖2，在abc中，ab=ac，bad=30，ad=ae，則edc=（ ）abdec第2題圖第4題圖a10 b. 12.5 c.15 d.20dabcef第3題圖3、如圖，在abc中，abac，d是bc的中點，deab于e，dfac于f，則圖中全等三角形共有（）a、 2對 b、3對 c、4對 d、5對4 、如圖，在等腰直角abc中，ad為斜邊上的高，以d為端點任作兩條互相垂直的射線與兩腰相交于e、f，連結(jié)ef與ad相交于g，則aed與agf的關(guān)系為( )aaedagf baedagf caedagf d不能確定二、填空

8、題：5、如圖，在abc中，ab=ac，bd平分abc，且bd=be，a=84，則dec= cabdeadcbe第7題圖baedfc第5題圖第6題圖6、如圖，ce平分acb，且cebd，da=db，又知ac=18，cdb的周長為28，那么be的長為 。7、如圖，在等腰abc中，abc=90，d為ac邊上中點，過d點作dedf，交ab于e，交bc于f，若ae=4，fc=3，則abc的面積為 8、如圖，四邊形abcd中，對角線ac與bd相交于e點，若ac平分dab，且ab=ae，ac=ad，有如下四個結(jié)論：acbd；bc=de；dbc=dab；abe是等邊三角形請寫出正確結(jié)論的序號 (把你認為正確結(jié)論的序號都填上)三、解答題：9、如圖abc中，ab=ac d為ac上任意一點，延長ba到e 使