兩角差的余弦公式教案(示范課)

1、3.1.1 兩角差的余弦公式教案玉林高中數(shù)學科 授課人：饒?zhí)@一 . 教材分析本節(jié)課選自人教A版高中數(shù)學必修4第三章三角恒等變換第一節(jié)課“3.1.1 兩角差的余弦公式”。變換是數(shù)學的重要工具，而三角恒等變換處于三角函數(shù)知識 與數(shù)學變換的結合點和交匯點，是前面所學三角函數(shù)知識的繼續(xù)與發(fā)展，是培養(yǎng) 學生推理能力和運算能力的重要素材。兩角差的余弦公式是“三角恒等變換”這 一章的基礎和出發(fā)點，公式的發(fā)現(xiàn)和證明是本節(jié)課的重點，也是難點。教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎，其基本出發(fā)點是使公式的證明過程盡 量簡潔明了，易于學生理解和掌握，同時也有利于提高學生運用向量解決相關問 題的意識和能力。教材里面沒有直接

2、給出兩角差的余弦公式，而是分探求結果、 證明結果兩步進行，從簡單情況入手得出結果，有利于學生學會探究和思維的發(fā) 展.由于本節(jié)課可以從不同的角度提出不同的問題，并且可以用不同的途徑與方 法解決問題，因此本節(jié)課為學生的思維發(fā)展提供了很好的空間和平臺，教師要注 意引導學生用觀察、聯(lián)想、對比、化歸等方法分析問題，尋找解決問題的思路 .二 . 教學目標1. 知識與技能：通過讓學生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導“兩角差的余弦公式” ，通過 公式的簡單應用，使學生初步理解公式的結構及其功能，并為建立其他和差公 式打好基礎 .2. 過程與方法：在探究公式的過程中，逐步培養(yǎng)學生學會分析問題、解決問題、 合作交流的能力；

3、通過兩角差的余弦公式的簡單運用 ,掌握不同方法求值 .3. 情感態(tài)度：通過課題背景的設計，增強學生的探究、應用意識，認識到數(shù)學來 源于生活，激發(fā)學生的學習積極性 .三教學重、難點1. 重點：兩角差余弦公式的探究、證明過程和公式的初步應用 .2. 難點：探究過程的組織和適當引導 .四學情分析學生已經掌握了利用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數(shù)，也學習了同 角三角函數(shù)式的變換；理解了平面向量及其運算的意義，并能用數(shù)量積表示兩個 向量的夾角，經歷了用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他 一些實際問題的過程，具有一定的推理能力、運算能力和解決實際問題的能力， 但利用向量的數(shù)量積公式證明

4、兩角差的余弦公式時，學生容易犯思維不嚴謹、不 嚴密的錯誤，教學時需要引導學生搞清楚兩角差與相應向量夾角的聯(lián)系與區(qū)別 .五 . 教法、學法1. 教法：問題驅動、引導發(fā)現(xiàn)、合作探究相結合的教學方法展開教學 .2. 學法：課前預習、小組探究、反思小結等 .六.教學過程(一) 創(chuàng)設情境，弓I入課題金城超市電梯長度約為8米，坡度(與地面夾角)約為30度，請問當我們上完電 梯后，在水平方向上前進了多少米？設前進量為x米，則 x 8cos30 4 3米提問：當電梯坡度為45度時，其他不變，x等于多少？答：x 8cos45 4 2 米提問：當電梯坡度為15度時，此時x又等于多少？答：x 8cos15 米問題1

5、： cos15等于多少？能否用特殊角三角函數(shù)值來表示？【設計意圖】從學生的實際生活出發(fā)，自然地引出問題，培養(yǎng)學生把實際問題抽象為 數(shù)學模型來解決的能力，讓學生感知數(shù)學來源于生活，并應用于生活，激發(fā)學生的學 習興趣;(二) 探究歸納，提出猜想問題2：對任意的，cos( ) cos cos是否成立？1.思考：15能否用特殊角表示？預案 1: cos 15 cos(45 30 )問：cos15 cos45 cos30是否成立？為什么？預案 2： cos 15 cos(60 45 )問：cos15 cos60 cos45是否成立？為什么？【設計意圖】讓學生經歷提出假設證明假設的過程，知道要證明一個假設

6、不成立,只需舉出反例即可，即明白特殊與一般的辯證關系。2.探究：cos15能否用特殊角三角函數(shù)來表示？如何表示？ 提示：構造特殊三角形或利用單位圓、向量知識 預案1:構造直角三角形AAB 1 BC 2 5/3AC V61cos15預案2:OA?OBcos45 ,sin45 )cos45 cos30又 OA?OBcos(45pA ? OB coscos cos(45sin 45 sin 3030 )30 ) cos45 cos30 sin 45 sin30V Y(cos30 ,sin30 )利用單位圓、向量知識(cos 45 , sin 45 )?(cos30 ,sin30 )問題4：如何探討，

7、的任意性?得出結論：cos(45 30 ) cos45 cos30 sin 45 sin30提出猜想：對任意的，都有cos( ) cos cos sin sin .【設計意圖】通過求cos15的值，讓小組展示成果，不僅培養(yǎng)學生合作探究能力、表 達能力，還培養(yǎng)了觀察能力、歸納能力，并由此提出猜想，使學生懂得如何探究問題， 從特殊情況遷移到一般情況下的討論，為下個環(huán)節(jié)能突出重點起到鋪墊作用。(三) 小組合作，證明猜想問題3:以上探究cos15值時，都是用到特殊角來求值，對一般情況下的角是否 成立？探究：證明對任意的，都有cos( ) cos cos sin sin預案1：利用單位圓、向量知識。OA

8、 (cos ,sin ) OB (cos ,sin ) OA?OB (cos ,sin )?(cos ,sin ) cos cos sin sin又 OA?OB OA ? OB cos( AOB)cos( ) cos cos sin sin若貝U cos( ) cos cos sin sin而2kcos( ) cos(2k ) coscos cos sin sin預案2:利用三角函數(shù)線xOP此時，過P點作垂線PA丄OPi于點A,PM 丄 Ox 于點 M. cos( ) OM 過A點作垂線AB丄OM于點B, 過P點作垂線PC丄AB于點C.則PACOM OB BM OB CPOAcos APsin

9、cos cos sin sin定義:,都有cos()cos cos sin sin，稱為差角余弦公式。cos( ) cos cos sin sin記為：C() cc ss，特征：任意角、同名積、符號反【設計意圖】本環(huán)節(jié)由小組展示探究過程，讓學生根據已有的經驗(探究 cos15 證明一般情況下的結論，符合學生的思維發(fā)展規(guī)律。通過各種方法的證明和教師適當 的點評、指導，起到突出本節(jié)課重點的作用。在探究角的任意性過程中，也培養(yǎng)了學 生嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力。(四) .小試牛刀，學以致用例1：利用差角余弦公式求cos15的值？法 1: cos15 cos(45 30 ) cos45 cos30sin45

10、sin30.23216, 222224法 2： cos15 cos(60 45 ) cos60 cos45sin60 sin451 _2 3 _22 一 62 2224變式1：利用差角余弦公式求cos75的值？法 1: cos75 cos(12045 ) cos120 cos45 sin 120 sin451 23-2 一6 一22 2224法 2： cos75 cos45 ( 30 ) cos45 cos( 30 ) sin45 sin( 30 )cos45 cos30 sin45 sin30_3_21 一6 一 222224【設計意圖】通過公式的簡單應用，使學生初步理解公式的結構及其功能，并為建立 其他和差公式打好基礎；通過變式的應用，培養(yǎng)學生用多種方法解決問題的能力。（五）課堂小結，回顧反思1這堂課你學到了什么內容？如何學習的？ 學習了差角余弦公式； 假設猜想一反證否定一用向量、三角函數(shù)線探究公式 一證明結論一公式應用 2學習與應用過程中，你有什么體會？ 證明一個假設不成立，只需舉出反例即可。 探究證明公式過程中，可以通過特殊情況去討論證明一