導數(shù)題型分析及解題方法

1、導數(shù)題型分析及解題方法一、考試內(nèi)容導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導數(shù)；函數(shù)的最大值和最小值。兩個函數(shù)的和、差、基本導數(shù)公式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,二、熱點題型分析題型一：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。1. f (x) =x3-3x2 2在區(qū)間-1,1】上的最大值是222 已知函數(shù)y =f (x) rx(x C)在x =2處有極大值，則常數(shù) c=633 函數(shù)y二1 S-x有極小值1 ,極大值 3題型二：利用導數(shù)幾何意義求切線方程1.曲線y=4x_x3在點-1，-3處的切線方程是y=x_22 若曲線f(x) =x4 _x在P點處的切線平行于直線3x_y =0，則p點的坐標為(

2、1, 0)43若曲線y =x的一條切線丨與直線x 4y-8 = 0垂直，則l的方程為4x- y-3 =04 .求下列直線的方程：322(1) 曲線y二x x1在P(-1,1)處的切線；(2)曲線y二X過點p(3,5)的切線;解:(1)；點 p( _1,1)在曲線 y =x3 x2 -1上, y/ =3x2 2x ,y/ x =3 2 =1所以切線方程為y -1 =x 1，即x _y，2 =0(2)顯然點P(3,5)不在曲線上，所以可設(shè)切點為 A(x0，y0)，則yo =x。2又函數(shù)的導數(shù)為y2x ,所以過A(x0,y0)點的切線的斜率為k lxf =2x。,又切線過A(x0,y0)、P(3,5

3、)點，所以有2X0x。3，由聯(lián)立方程組得,jXo 二1 或 x0 二5日 兇=25，即切點為(1, 1)時，切線斜率為k1 =2X0 =2;；當切點為(5, 25)時，切線斜率為 a =2X0 0 ；所以所求的切線有兩條，方程分 別為 y 一1 =2(x -1)或y -25 =10(x -5),即y =2x -1 或y =10x -25題型三：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值321已知函數(shù)f(x)=x +ax +bx+c,過曲線y=f(x)上的點P(1, f(1)的切線方程為y=3x+1(I)若函數(shù)f(X)在X = -當 x _1 時,f (x)0. f(x)極大二 f(-2)=13處有極

4、值，求f (x)的表達式；(n)在(I)的條件下，求函數(shù) 丫 = f (x)在3, 1上的最大值；(川)若函數(shù)丫 = f(x)在區(qū)間2, 1上單調(diào)遞增，求實數(shù) b的取值范圍解：(1 )由 f (x) = x ax bx c,求導數(shù)得 f (x) = 3x - 2ax b.過y = f (x)上點p(1,f (1)的切線方程為：y - f (1) =f (1)(x -1),即y (a b e 1(3 2a b)(x -1).而過y二f (x)上 P1, f的切線方程為y = 3x 1.3 +2a +b =3即嚴b=a e =3y = f(x)在x =-2時有極值，故f (-2) =0,. -4a

5、 b =12 由得a=2 , b= 4, c=5.f(x) =x3 2x2 -4x 5. f (x) =3x2 4x-4 = (3x -2)(x 2).2一3 乞 x：:2 時,f (x)0;當2Ex 時，f(x)：:0;當3f(1)=4,. f(x)在3, 1上最大值是 13。(3) y=f(x)在2, 1上單調(diào)遞增，又 f (x)二 3x2 2ax b,由知 2a+b=0。依題意當當詣一2時,f(x)mimin二 f (-2) =12 2b b _0, b當-2 乞6 汨時,f (x)mibmin212b 一13-0,貝V0 乞 b 乞 6.12f (x)在2, 1上恒有 f(X) 0，即

6、 3x又 - bx b 一 0.1 時，f (x)min = f (1) =3 -b b 0, b 一 6 6綜上所述，參數(shù)f b的取值范圍是0,)322 .已知三次函數(shù)f(x)=x ax bx c在x=1和x=-1時取極值，且f(-2)=-4 .(1) 求函數(shù)y=f(x)的表達式； 求函數(shù)y =f )的單調(diào)區(qū)間和極值； 若函數(shù)g (x) = f (x _m) 4m (m .0)在區(qū)間m-3, n上的值域為 U6】，試求m、n應(yīng)滿足 的條件.2解.(i) f (x) =3x 2ax b由題意得，仁一1是3x2 .2axb=0的兩個根，解得，a=0, b=3 .3再由 f ( f) = 4 可得

7、 c = -2f (x) =x -3x 2 .2(2) f (x) =3x -3 =3(x 1)(x -1),當 xc1 時，f(x)0 ；當 x=L 時，f(x)=0 ；當1 x 0；當 Xi : X ：: X2 時，f(x) V0；當 x - X2 時，f(x) 0因此Xi是極大值點，x2是極小值點.，當b=i時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點。題型四：利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象y =X3 _4x +i的圖像為2 .函數(shù) 3( A )42-4-2y642oo-2-2-4-43 方程2x3 -6x2 7 =0在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為A、0 B 、iC、2題型五：利用單調(diào)性、極值

8、、最值情況，求參數(shù)取值范圍1322f(x) x 2ax -3a x b,0 叮 a : 1.1 設(shè)函數(shù)3(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值(2)若當a 1, a 2時，恒有1 f(X)匡a，試確定a的取值范圍解.(1) f (X)=x +4ax3a =(x3a)(xa)令 f(x)=0 得 X1 = a, x=3a列表如下：f (x) 極小極大 |f(x)在a，3a)上單調(diào)遞增，在(-玄)和(3a, +8)上單調(diào)遞減x(-8, a) a(a, 3a)3a(3a, +8)f (x)- 0+ 0-4 3x = a 時,f極小(x)二bf 極小(x)=bEa , x=3a 時,(2) f (x)-

9、x? 4ax -0 : a ： 1 對稱軸 x = 2a ： a 1, f (x)在a+1 , a+2上單調(diào)遞減2 2 2 2fMax = (a +1) +4a( a * 1) 3a 2a 1f m (a + 2) *4a(a*2) 3a = 4a 4依題1 f(X) - a二I fMax - a , |fmin|-a 即宓玄-卅-比沁玄-糾-玄4乞a叮解得5，又0 ”： a ”： 1 a的取值范圍是5,1)21 )求a、b的值與函2 .已知函數(shù)f (x) = x3+ ax2 + bx+ c在x= 3與x= 1時都取得極值數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對 1 , 2，不等式f (x) c2恒成

10、立，求c的取值范圍。 解：(1) f (x) = x3 + ax2 + bx+ c, f (x)= 3x2 + 2ax + b遼-篤+ b = 03)= 93f (1) = 3 + 2a+ b = 0 得 a =2 ,f (x)= 3x2 x 2=( 3x + 2) (x 1),函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間如下表:x2(oO, 3 )232(3 , 1)1(1 ,+ 0)f (x)+00+f (x)極大值極小值2 2所以函數(shù)f (x)的遞增區(qū)間是(一叫一3)與(1 ,+辺)，遞減區(qū)間是(一 3 , 1)1 2 22(2) f (x)= x3 2 x2-2x + c, x 1, 2，當 x=- 3

11、時，f (x) = 27 + c為極大值，而f (2)= 2+ c,貝U f ( 2)= 2 + c為最大值。要使 f (x) f (2) = 2 + c,解得 cc 1 或 c2題型六：利用導數(shù)研究方程的根1.已知平面向量 a =( 3, 1). b=(2, 2 ).(1)若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x = a+(t2 3)b , y=-ka+tb , x丄y ,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t); 據(jù)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t) k=0的解的情況.解：(1) X 丄 yX y=0 即a+(t2-3) b ( -k a +t b )=0.2-一 2整理后得-ka +t-k(t2-3)a b+

12、 (t2- 3) b =0/ a b =0,2 2a =4, b =1，上式化為-4k+t(t2-3)=01，即 k= 4 t(t2-3)11(2)討論方程4 t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=4 t(t2-3) 與直線y=k的交點個數(shù)33于是f (t)=4 (t2-1)=4(t+1)(t-1).令 f (t)=0,解得t仁-1,t2=1.當t變化時，f 、f(t)的變化情況如下表：t(-m, -1)-1(-1,1)1(1,+ m)f+0-0+F(t)/極大值極小值/1當t= 1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=2 .1當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=2

13、1函數(shù)f(t)= 4 t(t2-3)的圖象如圖13 2 1所示，可觀察出：1 1(1)當k 2或kv 2時，方程f(t) k=0有且只有一解;1 1當k= 2或k= 2時，方程f(t) k=0有兩解；1 1 當一2 v kv 2時，方程f(t) k=0有三解.題型七：導數(shù)與不等式的綜合1設(shè)a,函數(shù)f(xrx3-ax在口，：)上是單調(diào)函數(shù).(1) 求實數(shù)a的取值范圍；(2) 設(shè) X。 1, f(X) 1,且 f (f (Xo) = Xo，求證：f(X0) = X0.解:( 1) y =f (x) =3x -a，若f(X)在H,上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須y ”： ，即a 3x，這樣的實數(shù)a不存在.故f

14、(X)在1上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若f(x)在1 7上是單調(diào)遞增函數(shù)，則 a 3x2,由于1，故3x2 -3.從而aw 3.(2)方法1、可知f(X)在1 =上只能為單調(diào)增函數(shù).若1 x f (x)，則 f(X) V f (f (X) =X 矛盾，若 1 w f (x) X,則 f (f (x) 23f(x)=(x +：)(x+a)2 已知a為實數(shù)，函數(shù)2(1) 若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求 a的取值范圍(2) 若f(-1)=0，(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間5(n)證明對任意的冷x2 (-1,0)，不等式EX X卜16恒成立323323f (x)二 x ax x a . f

15、(x)二 3x 2ax 解：22,2函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線， f(x)=0有實數(shù)解a2肯，所以a的取值范圍是(f(-1)=033 _2a 2-092af (x)二 3x4= 3(x+*)(x + 1)由 f(x) Qx，1 或 xf(x)1:0,1 ： x :2-f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一二，一1),(：);單調(diào)減區(qū)間為(記)f(*25易知f (x)的最大值為8 , f (x)的極小值為14927f(7)=6 又 f(0)盲Mf (x)在T，0上的最大值2749m8，最小值16-對任意人必* (-1,0)，恒有27495IfgfX2)卜:M-m書兀耳題型八：導數(shù)在實際中的應(yīng)用1

16、 .請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當帳篷的頂點 O到底面中心01的距離為多少時，帳篷的體積最大?解：設(shè)001為x m，則1 x 4由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：V (x) 3 3 (8 2x x2)】(x 1) 13 (16 12x x3)3帳篷的體積為：232(單位：m )故底面正六邊形的面積為:6 手 58 + 2xx2)2 = 2x-x2),(單位:V(x)求導得二三(12 3x2)2令V(x) =0，解得 2 亠(不合題意，舍去)，x= 2 ,當 1：x；：2 時，V(x) 0，V( x)為增函數(shù);當 2 ：x

17、 ： 4 時，V(x) ： 0，V (x)為減函數(shù)。.當x =2時，V (x)最大。答：當001為2 m時，帳篷的體積最大，最大體積為16 3 m3 。2 統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y (升)關(guān)于行駛速度 X (千米/1y =x3 -丄x+8(00,h(x)是增函數(shù)。.當 x =80 時，h(x)取到極小值 h(80)二11*25.因為h(x)在(0,120上只有一個極值，所以它是最小值。答：當汽車以 40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。當汽車以 80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。題型九：導數(shù)與向量的結(jié)合1.設(shè)平面向量a時，扣，12若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k，使* Q!P 、 , Fx 二a (t _k)b,y 二-sa tb且x _ y,(1) 求函數(shù)關(guān)系式 S = f (t)；(2) 若函數(shù)S = f (t)在1 :上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍