線性代數(shù)教案

1、線性代數(shù)線性代數(shù) 授 課 教 案 劉思圓 第一章第一章 行列式行列式 本章說明與要求本章說明與要求: 行列式的理論是人們從解線性方程組的需要中建立和發(fā)展起來的，它在線性代數(shù)以及其他數(shù)學(xué)分支上都有著廣泛 的應(yīng)用在本章里我們主要討論下面幾個問題： (1) 行列式的定義； (2) 行列式的基本性質(zhì)及計算方法； (3) 利用行列式求解線性方程組(克萊姆法則) 本章的重點是行列式的計算，要求在理解 n 階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，熟練正確地計算三階、 四階及簡單的 n 階行列式 計算行列式的基本思路是：按行(列)展開公式，通過降階來計算但在展開之前往往先利用行列式性質(zhì)通過對行 列式的恒等變形

2、，使行列式中出現(xiàn)較多的零和公因式，從而簡化計算常用的行列式計算方法和技巧有：直接利用定 義法，化三角形法，降階法，遞推法，數(shù)學(xué)歸納法，利用已知行列式法 行列式在本章的應(yīng)用是求解線性方程組(克萊姆法則)要掌握克萊姆法則并注意克萊姆法則應(yīng)用的條件 。本章的重點。本章的重點：行列式性質(zhì)；行列式的計算。 。本章的難點。本章的難點：行列式性質(zhì)；高階行列式的計算；克萊姆法則。 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式 行列式的概念起源于解線性方程組，它是從二元與三元線性方程組的解的公式引出來的因此我們首先討論解方 程組的問題 設(shè)有二元線性方程組 (1) 2222121 1112111 bxaxa bxax

3、a 用加減消元法容易求出未知量 x1，x2的值，當(dāng) a11a22 a12a210 時，有 (2) 21122211 211211 2 21122211 212221 1 aaaa abba x aaaa baab x 這就是一般二元線性方程組的公式解但這個公式很不好記憶，應(yīng)用時不方便，因此，我們引進(jìn)新的符號來表示 (2)這個結(jié)果，這就是行列式的起源我們稱 4 個數(shù)組成的符號 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 為二階行列式它含有兩行，兩列橫的叫行，縱的叫列行列式中的數(shù)叫做行列式的元素從上式知，二階行列式 是這樣兩項的代數(shù)和：一個是從左上角到右下角的對角線(又叫行列式的主

4、對角線)上兩個元素的乘積，取正號；另一 個是從右上角到左下角的對角線(又叫次對角線)上兩個元素的乘積，取負(fù)號 根據(jù)定義，容易得知(2) 中的兩個分子可分別寫成 ， 222 121 212221 ab ab baab 221 111 211211 ba ba abba 如果記， 2221 1211 aa aa d 222 121 1 ab ab d 221 111 2 ba ba d 則當(dāng) d0 時，方程組(1) 的解(2)可以表示成 ， ， (3) 2221 1211 222 121 1 1 aa aa ab ab d d x 2221 1211 221 111 2 2 aa aa ba ba

5、 d d x 象這樣用行列式來表示解，形式簡便整齊，便于記憶 首先(3) 中分母的行列式是從(1) 式中的系數(shù)按其原有的相對位置而排成的分子中的行列式，x1的分子是把系數(shù) 行列式中的第 1 列換成(1)的常數(shù)項得到的，而 x2的分子則是把系數(shù)行列式的第 2 列換成常數(shù)項而得到的 例例 1 用二階行列式解線性方程組 23 142 21 21 xx xx 解解：這時 ， 021432 31 42 d ， ，52431 32 41 1 d31122 21 12 2 d 因此，方程組的解是 ， 2 5 1 1 d d x 2 3 2 2 d d x 對于三元一次線性方程組 (4) 3333232131

6、 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 作類似的討論，我們引入三階行列式的概念我們稱符號 (5) 312213332112322311 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa 為三階行列式，它有三行三列，是六項的代數(shù)和這六項的和也可用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素 的乘積取正號，從右上角到左下角三個元素的乘積取負(fù)號 例例 2 532 134 212 106201224230 1325)4(123223)4(211532 令 3

7、33231 232221 131211 aaa aaa aaa d ， 33323 23222 13121 1 aab aab aab d 33331 23221 13111 2 aba aba aba d 33231 22221 11211 3 baa baa baa d 當(dāng) d0 時，(4)的解可簡單地表示成 ， (6) d d x 1 1 d d x 2 2 d d x 3 3 它的結(jié)構(gòu)與前面二元一次方程組的解類似 例例 3 解線性方程組 423 1523 02 321 321 321 xxx xxx xxx 解解：， ， 28 231 523 112 d13 234 521 110 1

8、 d ， 47 241 513 102 2 d21 431 123 012 3 d 所以， 28 13 1 1 d d x 28 47 2 2 d d x 4 3 28 21 3 3 d d x 例例 4 已知，問 a，b 應(yīng)滿足什么條件？(其中 a，b 均為實數(shù))0 101 0 0 ab ba 解解：，若要 a2+b2=0，則 a 與 b 須同時等于零因此，當(dāng) a=0 且 b=0 時給定行列式等于零 22 101 0 0 baab ba 為了得到更為一般的線性方程組的求解公式，我們需要引入 n 階行列式的概念，為此，先介紹排列的有關(guān)知識 思考題：思考題： 當(dāng) a、b 為何值時，行列式 0 2

9、2 ba ba d 1.2 排列排列 在 n 階行列式的定義中，要用到排列的某些知識，為此先介紹排列的一些基本知識 定義定義 1 由數(shù)碼 1，2，n 組成一個有序數(shù)組稱為一個 n 級排列 例如，1234 是一個 4 級排列，3412 也是一個 4 級排列，而 52341 是一個 5 級排列由數(shù)碼 1，2，3 組成的所有 3 級排列為：123，132，213，231，312，321 共有 3!=6 個 數(shù)字由小到大的 n 級排列 1234n 稱為自然序排列 定義定義 2 在一個 n 級排列 i1i2in中，如果有較大的數(shù) it 排在較小的數(shù) is 的前面(isit)， 則稱 it與 is構(gòu)成一個

10、逆序， 一個 n 級排列中逆序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，記作 n (i1i2in) 例如， 在 4 級排列 3412 中， 31，32，41，42，各構(gòu)成一個逆序數(shù)，所以，排列 3412 的逆序數(shù)為 n(3412) =4同樣可計算排列 52341 的逆序數(shù)為 n(52341)=7 容易看出， 自然序排列的逆序數(shù)為 0 定義定義 3 如果排列 i1i2in 的逆序數(shù) n(i1i2in )是奇數(shù)，則稱此排列為奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列則稱為偶排 列 例如，排列 3412 是偶排列排列 52341 是奇排列 自然排列 123n 是偶排列 定義定義 4 在一個 n 級排列 i1isitin中， 如

11、果其中某兩個數(shù) is與 it對調(diào)位置，其余各數(shù)位置不變，就得到另一個 新的 n 級排列 i1itisin，這樣的變換稱為一個對換，記作(is，it) 如在排列 3412 中，將 4 與 2 對換， 得到新的排列 3214 并且我們看到：偶排列 3412 經(jīng)過 4 與 2 的對換后，變 成了奇排列 3214 反之，也可以說奇排列 3214 經(jīng)過 2 與 4 的對換后，變成了偶排列 3412 一般地，有以下定理： 定理定理 1 任一排列經(jīng)過一次對換后，其奇偶性改變 證明證明：首先討論對換相鄰兩個數(shù)的情況，該排列為： a1a2al i j b1b2bmc1c2cn 將相鄰兩個數(shù) i 與 j 作一次對

12、換，則排列變?yōu)?a1a2al j i b1 b2bmc1c2cn 顯然對數(shù) a1，a2，al，b1，b2，bm和 c1c2cn來說，并不改變它們的逆序數(shù)但當(dāng) ij 時，經(jīng)過 i 與 j 的對換后，排列的逆序數(shù)減少 1 個所以對換相鄰兩數(shù)后，排列改變了 奇偶性 再討論一般情況，設(shè)排列為 a1a2al i b1b2bmjc1c2cn 將 i 與 j 作一次對換，則排列變?yōu)?a1a2al j b1b2bmi c1 c2cn 這就是對換不相鄰的兩個數(shù)的情況但它可以看成是先將 i 與 b1對換，再與 b2對換，最后與 bm的對換，即 i 與 它后面的數(shù)作 m 次相鄰兩數(shù)的對換變成排列 a1a2alb1b

13、2bmi j c1cn 然后將數(shù) j 與它前面的數(shù) i，bm，b1作 m+1 次相鄰兩數(shù)的對換而成而對換不相鄰的數(shù) i 與 j(中間有 m 個數(shù))，相當(dāng) 于作 2m+1 次相鄰兩數(shù)的對換由前面的證明知，排列的奇偶性改變了 2m+1 次，而 2m+1 為奇數(shù)，因此，不相鄰的 兩數(shù) i，j 經(jīng)過對換后的排列與原排列的奇偶性不同 定理定理 2 在所有的 n 級排列中(n2)，奇排列與偶排列的個數(shù)相等，各為個 2 ! n 證明證明：設(shè)在 n!個 n 級排列中，奇排列共有 p 個，偶排列共有 q 個對這 p 個奇排列施以同一個對換，如都對換 (1，2)，則由定理 1 知 p 個奇排列全部變?yōu)榕寂帕?，由?/p>

14、偶排列一共只有 q 個，所以 pq；同理將全部的偶排列施以 同一對換(1，2)，則 q 個偶排列全部變?yōu)槠媾帕校谑怯钟?qp，所以 q = p，即奇排列與偶排列的個數(shù)相等 又由于 n 級排列共有 n!個，所以 q + p = n!， 2 ! n pq 定理定理 3 任一 n 級排列 i1i2in都可通過一系列對換與 n 級自然序排列 12n 互變，且所作對換的次數(shù)與這個 n 級 排列有相同的奇偶性 證明證明：對排列的級數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證之 對于 2 級排列，結(jié)論顯然成立 假設(shè)對 n1 級排列，結(jié)論成立，現(xiàn)在證明對于 n 級排列，結(jié)論也成立 若 in=n，則根據(jù)歸納假設(shè) i1i2in1是 n1

15、級排列，可經(jīng)過一系列對換變成 12(n1)，于是這一系列對換就把 i1i2in變成 12n若 inn，則先施行 in與 n 的對換，使之變成 i1i2in1n，這就歸結(jié)成上面的情形相仿地， 12n 也可經(jīng)過一系列對換變成 i1i2in，因此結(jié)論成立 因為 12n 是偶排列，由定理 1 可知，當(dāng) i1i2in是奇(偶)排列時，必須施行奇(偶)數(shù)次對換方能變成偶排列，所 以，所施行對換的次數(shù)與排列 i1i2in具有相同的奇偶性 思考題：思考題： 1決定 i、j 的值，使 (1) 1245i6j97 為奇排列； (2) 3972i15j4 為偶排列 2排列 n (n1)(n2)321 經(jīng)過多少次相鄰

16、兩數(shù)對換變成自然順序排列？ 1.3 n階行列式階行列式 本節(jié)我們從觀察二階、三階行列式的特征入手引出 n 階行列式的定義 已知二階與三階行列式分別為 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 312213332112322311 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa 其中元素 aij的第一個下標(biāo) i 表示這個元素位于第 i 行，稱為行標(biāo)，第二個下標(biāo) j 表示此元素位于第 j 列，稱為列標(biāo) 我們可以從中發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律： (1) 二階行列式是 2！項的代數(shù)和，三階行列式是 3！

17、項的代數(shù)和； (2) 二階行列式中每一項是兩個元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項是三個 元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列； (3) 每一項的符號是：當(dāng)這一項中元素的行標(biāo)是按自然序排列時，如果元素的列標(biāo)為偶排列，則取正號；為奇排 列，則取負(fù)號 作為二、三階行列式的推廣我們給出 n 階行列式的定義 定義定義 1 由排成 n 行 n 列的 n2個元素 aij (i，j=1，2，n)組成的符號 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 稱為 n 階行列式它是 n!項的代數(shù)和，每一項是取自不同行和不同列的 n 個元素的乘積，各項的符號

18、是：每一項 中各元素的行標(biāo)排成自然序排列，如果列標(biāo)的排列為偶排列時，則取正號；為奇排列，則取負(fù)號于是得 (1) nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 n jjj 21 n n njjj jjjn aaa 21 21 21 )( ) 1( 其中表示對所有的 n 級排列 j1j2jn求和 n jjj 21 (1)式稱為 n 階行列式按行標(biāo)自然順序排列的展開式稱為行列式的一般項 )( 21 ) 1( n jjjn n njjj aaa 21 21 當(dāng) n=2、3 時，這樣定義的二階、三階行列式與上面1.1 中用對角線法則定義的是一致的當(dāng) n=1 時，一階行列 為|a

19、11|= a11如 當(dāng) n=4 時，4 階行列式 44 34 24 14 434241 333231 232221 131211 a a a a aaa aaa aaa aaa 表示 4！=24 項的代數(shù)和，因為取自不同行、不同列 4 個元素的乘積恰為 4！項根據(jù) n 階行列式的定義，4 階行列式 為 44 34 24 14 434241 333231 232221 131211 a a a a aaa aaa aaa aaa jjj jjjj jjjjn aaaa 21 321 4321 321 )( ) 1( 例如 a14a23a31a42行標(biāo)排列為 1234，元素取自不同的行；列標(biāo)排列為

20、 4312，元素取自不同的列，因為 n(4312)=5， 所以該項取負(fù)號，即a14a23a31a42是上述行列式中的一項 為了熟悉 n 階行列式的定義，我們來看下面幾個問題 例例 1 在 5 階行列式中，a12a23a35a41a54這一項應(yīng)取什么符號？ 解解：這一項各元素的行標(biāo)是按自然順序排列的，而列標(biāo)的排列為 23514 因 n(23514)=4，故這一項應(yīng)取正號 例例 2 寫出 4 階行列式中，帶負(fù)號且包含因子 a11a23的項 解解：包含因子 a11a23項的一般形式為 jj jjn aaaa 3 43 32311 )13( ) 1( 按定義，j3可取 2 或 4，j4可取 4 或 2

21、，因此包含因子 a11a23的項只能是 a11a23a32a44或 a11a23a34a42 但因 n(1324)=1 為奇數(shù) n(1342)=2 為偶數(shù) 所以此項只能是 a11a23a32a44 例例 3 計算行列式 hgvu feyx dc ba 00 00 解解 這是一個四階行列式，按行列式的定義，它應(yīng)有 4!=24 項但只有以下四項 adeh，adfg，bceh，bcfg 不為零與這四項相對應(yīng)得列標(biāo)的 4 級排列分別為 1234，1243，2134 和 2143，而 n(1234)=0，n(1243)=1，n(2134)=1 和 n(2143)=2，所以第一項和第四項應(yīng)取正號，第二項和

22、第三項應(yīng)取負(fù)號，即 = adehadfgbceh+bcfg hgvu feyx dc ba 00 00 例例 4 計算上三角形行列式 nn n n a a a a aa d 2 1 22 1211 00 0 其中 aii (i=1， 2， n) 解解：由 n 階行列式的定義，應(yīng)有 n!項，其一般項為 n njjj aaa 21 21 但由于 d 中有許多元素為零，只需求出上述一切項中不為零的項即可在 d 中，第 n 行元素除 ann外，其余均為 所以 jn=n；在第 n1 行中，除 an1n1和 an1n外，其余元素都是零，因而 jn1只取 n1、n 這兩個可能，又由于 ann、an1n位于同

23、一列，而 jn=n所以只有 jn1 = n1這樣逐步往上推，不難看出，在展開式中只有 a11a22ann一項不 等于零而這項的列標(biāo)所組成的排列的逆序數(shù)是 n(12n)=0 故取正號因此，由行列式的定義有 =a11a22ann nn n n a a a a aa d 2 1 22 1211 00 0 即上三角形行列式的值等于主對角線上各元素的乘積 同理可求得下三角形行列式 =a11a22ann nnnn aaa aa a 0 0 0 21 2221 11 特別地，對角形行列式 =a11a22ann nn a a a 0 0 00 0 0 22 11 上(下)三角形行列式及對角形行列式的值，均等于

24、主對角線上元素的乘積 例例 5 計算行列式 000 000 000 1 12 1 n n n a a a 解解 這個行列式除了 a1na2n1an1這一項外，其余項均為零，現(xiàn)在來看這一項的符號，列標(biāo)的 n 級排列為 n(n 1)21，n(n(n1)21)= (n1)+ (n2)+2+1=，所以 2 ) 1( nn = 000 000 000 1 12 1 n n n a a a 1121 2 )1( ) 1( nnn nn aaa 同理可計算出 = 000 0 1 122221 11211 n n n a aaa aaa nnnnn nn n aaa aa a 11 212 1 0 00 11

25、21 2 )1( ) 1( nnn nn aaa 由行列式的定義，行列式中的每一項都是取自不同的行不同的列的 n 個元素的乘積，所以可得出：如果行列式有 一行(列)的元素全為 0，則該行列式等于 0 在 n 階行列式中，為了決定每一項的正負(fù)號，我們把 n 個元素的行標(biāo)排成自然序排列，即事實 n njjj aaa 21 21 上，數(shù)的乘法是滿足交換律的，因而這 n 個元素的次序是可以任意寫的，一般地，n 階行列式的項可以寫成 (2) nnj ijiji aaa 2211 其中 i1i2in，j1 j2jn是兩個 n 階排列，它的符號由下面的定理來決定 定理定理 1 n 階行列式的一般項可以寫成

26、(3) nn nn jijiji jjjnii in aaa 2211 2121 )()( ) 1( 其中 i1i2in，j1j2jn都是 n 級排列 證明證明：若根據(jù) n 階行列式的定義來決定(2)的符號，就要把這 n 個元素重新排一下，使得它們的行標(biāo)成自然順序， 也就是排成 (4) 21 21n njjj aaa 于是它的符號是 ) ( 21 )1( n jjjn 現(xiàn)在來證明(1)與(3)是一致的我們知道從(2)變到(4)可經(jīng)過一系列元素的對換來實現(xiàn)每作一次對換，元素的行 標(biāo)與列標(biāo)所組成的排列 i1i2in，j1j2jn就同時作一次對換，也就是 n(i1i2in)與 n(j1j2jn)同時

27、改變奇偶性，因而它的 和 n(i1i2in)+n(j1j2jn) 的奇偶性不改變這就是說，對(2)作一次元素的對換不改變(3)的值，因此在一系列對換之后有 ) () ()12()()( 21212121 ) 1() 1() 1( nnnn jjjnjjjnnnjjjniiin 這就證明了(1)與(3)是一致的 例如，a21a32a14a43是 4 階行列式中一項，它和符號應(yīng)為(1)n(2314)+n(1243)= (1)2+1= 1如按行標(biāo)排成自然順序，就 是 a14a21a32a43，因而它的符號是(1)n(4123)=(1)3= 1 同樣，由數(shù)的乘法的交換律，我們也可以把行列式的一般項中元

28、素的列標(biāo)排成自然順序 123n，而此 n njjj aaa 21 21 時相應(yīng)的行標(biāo)的 n 級排列為 i1i2in，則行列式定義又可敘述為 n n n iii niii iiin nnnn n n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 21 )( 21 22221 11211 ) 1( 思考題：思考題： 1如果 n 階行列式所有元素變號，問行列式的值如何變化？ 2由行列式的定義計算 f(x)= x x x xx 111 123 111 212 中 x4與 x3的系數(shù)，并說明理由 1.4 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 當(dāng)行列式的階數(shù)較高時，直接根據(jù)定義計算 n 階行列式的值是困難的，本節(jié)

29、將介紹行列式的性質(zhì)，以便用這些性 質(zhì)把復(fù)雜的行列式轉(zhuǎn)化為較簡單的行列式(如上三角形行列式等)來計算 將行列式 d 的行列互換后得到的行列式稱為行列式 d 的轉(zhuǎn)置行列式，記作 dt，即若 ， 則 nnnn n n aaa aaa aaa d 21 22221 11211 nnnn n n t aaa aaa aaa d 21 22212 12111 反之，行列式 d 也是行列式 dt的轉(zhuǎn)置行列式，即行列式 d 與行列式 dt互為轉(zhuǎn)置行列式 性質(zhì)性質(zhì) 行列式 d 與它的轉(zhuǎn)置行列式 dt的值相等 證：證：行列式 d 中的元素 aij(i， j=1， 2， ，n)在 dt中位于第 j 行第 i 列上，

30、也就是說它的行標(biāo)是 j， 列標(biāo)是 i，因此，將行列式 dt按列自然序排列展開，得 n n n jjj njjj jjjnt aaad 21 21 21 21 )( ) 1( 這正是行列式 d 按行自然序排列的展開式所以 d=dt 這一性質(zhì)表明，行列式中的行、列的地位是對稱的，即對于“行”成立的性質(zhì)，對“列”也同樣成立，反之亦 然 性質(zhì)性質(zhì) 交換行列式的兩行(列)，行列式變號 證：證：設(shè)行列式 )( )( 21 21 21 11211 行 行 s i aaa aaa aaa aaa d nnnn snss inii n 將第 i 行與第 s 行(1isn)互換后，得到行列式 )( )( 21 2

31、1 21 11211 1 行 行 s i aaa aaa aaa aaa d nnnn inii snss n 顯然，乘積在行列式 d 和 d1中，都是取自不同行、不同列的 n 個元素的乘積，根據(jù)3 定理 nsi njsjijj aaaa 1 1 ，對于行列式 d，這一項的符號由 )()1( 1 ) 1( nsi jjjjnnsin 決定；而對行列式 d1，這一項的符號由 )()1( 1 ) 1( nsi jjjjnnisn 決定而排列 1isn 與排列 1sin 的奇偶性相反，所以 = )()1( 1 ) 1( nsi jjjjnnsin )()1( 1 ) 1( nsi jjjjnnisn

32、 即 d1中的每一項都是 d 中的對應(yīng)項的相反數(shù)，所以 d= d1 例例 計算行列式 05307 04008 00005 17536 03924 d 解解：將第一、二行互換，第三、五行互換，得 00005 04008 05307 03924 17536 ) 1( 2 d 將第一、五列互換，得 120! 554321 50000 84000 75300 43920 67531 ) 1( 3 d 推論推論 若行列式有兩行(列)的對應(yīng)元素相同，則此行列式的值等于零 證證：將行列式 d 中對應(yīng)元素相同的兩行互換，結(jié)果仍是 d，但由性質(zhì)有 d= d， 所以 d=0 性質(zhì)性質(zhì) 行列式某一行(列)所有元素的

33、公因子可以提到行列式符號的外面即 nnnn inii n nnnn inii n aaa aaa aaa k aaa kakaka aaa 21 11 11211 21 11 11211 證證：由行列式的定義有 左端 n ni n jjj njijj jjjn akaa 21 1 21 )() 1( 1 )( n ni n jjj njijj jjjn aaak 21 1 21 1 )( ) 1( 右端 此性質(zhì)也可表述為：用數(shù) k 乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用數(shù) k 乘此行列式 推論：推論：如果行列式中有兩行(列)的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零 證證：由性質(zhì)和性質(zhì)的推論即可

34、得到 性質(zhì)性質(zhì) 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是兩個數(shù)的和，則此行列式等于兩個相應(yīng)的行列式的和，即 nnnn inii n nnnn inii n nnnn ininiiii n aaa ccc aaa aaa bbb aaa aaa cbcbcb aaa 21 21 11211 21 21 11211 21 2211 11211 證證：左端 n nii n jjj njijijjj jjjn acbaa 21 21 21 )() 1( 21 )( n ni n jjj njijjj jjjn abaa 21 21 21 21 )( ) 1( n ni n jjj njijjj jjjn

35、 acaa 21 21 21 21 )( ) 1( nnnn inii n nnnn inii n aaa ccc aaa aaa bbb aaa 21 21 11211 21 21 11211 右端 性質(zhì)性質(zhì) 5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以數(shù) k 加到另一行(列)的相應(yīng)元素上，行列式的值不變即 nnnn snss inii n aaa aaa aaa aaa d 21 21 21 11211 nnnn sninsisi inii n aaa akaakaaka aaa aaa 21 2211 21 11211 證證：由性質(zhì) 右端=+=k nnnn inii inii n aaa

36、kakaka aaa aaa 21 21 21 11211 nnnn snss inii n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 +=左端 nnnn snss inii n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 作為行列式性質(zhì)的應(yīng)用，我們來看下面幾個例子 例例 2 計算行列式 3111 1311 1131 1113 d 解解：這個行列式的特點是各行個數(shù)的和都是，我們把第、各列同時加到第列，把公因子提出，然 后把第行(1)加到第、行上就成為三角形行列式具體計算如下： 4826 2000 0200 0020 1111 6 3111 1311 113

37、1 1111 6 3116 1316 1136 1116 3 d 例例 3 計算行列式 0112 0121 2011 2110 d i 行k 加 到第 s 行 解解： 31 4130 2110 2110 2011)2(1 0112 0121 2110 2011 0112 0121 2011 2110 d 4)2()2() 1(1 2000 4200 2110 2011 ) 1( 2200 4200 2110 2011 例例 4 試證明：0 1 1 cbad badc dacb dcba d 證證：把、列同時加到第列上去，則得 0 1 11 11 1 )( 1 1 ad dc cb ba dcb

38、a dcbaad bcbadc dcbacb dcbaba d 例例 5 計算 n+1 階行列式 xaaa axaa aaxa aaax d n n n 321 21 21 21 解解：將 d 的第列、第列、第 n+1 列全加到第列上，然后從第列提取公因子得 n i i ax 1 xaa axa aax aaa axd n n n n i i 32 2 2 21 1 1 1 1 1 )( = n n i i axaaaa axaa ax ax 2312 212 1 1 1 01 001 0001 )( (a1) (a2) (an) =)()()( 21 1 n n i i axaxaxax 例

39、例 6 解方程 0 ) 1(1111 1)2(111 11211 11111 11111 xn xn x x 解法一： ) 1( ) 1(1111 1)2(111 11211 11111 11111 xn xn x x ) 2() 3()1)( ) 2(0000 0) 3(000 00100 00000 11111 xnxnxx xn xn x x 所以方程的解為 x1=0， x2=1， ， xn2=n3， xn1=n2 解法二：解法二：根據(jù)性質(zhì)的推論，若行列式有兩行的元素相同，行列式等于零而所給行列式的第行的元素全是 ，第行，第行，第 n 行的元素只有對角線上的元素不是，其余均為因此令對角線

40、上的某個元素為， 則行列式必等于零于是得到 1x=1 2x=1 (n2)x=1 (n1)x=1 有一成立時原行列式的值為零所以方程的解為 x1=0， x2，=1， xn2=n3， xn1=n2 例例 7 計算 n 階行列式), 2 , 1( 321 21 31 32 niax xaaa axaa aaxa aaax d in n n 解解：將第 1 行乘以(1)分別加到第、n 行上得 n n axxa axxa axxa aaax d 00 00 00 1 31 21 32 從第一列提出 xa1，從第二提出 xa2，從第 n 列提出 xan，便得到 1001 0101 0011 )()( 3

41、3 2 2 1 21 n n n ax a ax a ax a ax x axaxaxd 由并把第、第、第 n 列都加于第 1 列，有,1 1 1 1 ax a ax x 1000 0100 0010 1 )()( 3 3 2 2 1 21 n n n i i i n ax a ax a ax a ax a axaxaxd )1)()( 1 21 n i i i n ax a axaxax 例例 8 試證明奇數(shù)階反對稱行列式0 0 0 0 21 212 112 nn n n aa aa aa d 證證：d 的轉(zhuǎn)置行列式為 0 0 0 21 212 112 nn n n t aa aa aa d

42、 從 dt中每一行提出一個公因子(1)，于是有 ，但由性質(zhì) 1 知道 dt=dd aa aa aa d n nn n n nt ) 1( 0 0 0 ) 1( 21 212 112 d=(1)nd 又由 n 為奇數(shù)，所以有 d= d， 即 2d=0， 因此 d=0 思考題：思考題： 1證明下列各題： 2 2 2 3 3 3 1 1 1 )( 1 1 1 cc bb aa cba cc bb aa 2計算下列 n 階行列式： ； 11111 000 000 000 22 11 nn aa aa aa 1.5 行列式按一行行列式按一行(列列)展開展開 本節(jié)我們要研究如何把較高階的行列式轉(zhuǎn)化為較低階

43、行列式的問題，從而得到計算行列式的另一種基本方法 降階法為此，先介紹代數(shù)余子式的概念 定義定義 在 n 階行列式中，劃去元素 aij所在的第 i 行和第 j 列后，余下的元素按原來的位置構(gòu)成一個 n1 階行列式， 稱為元素 aij的余子式，記作ij元素 aij的余子式ij前面添上符號(1)i+j稱為元素 aij的代數(shù)余子式，記作 aij即 aij(1)i+jmij 例如：在四階行列式 中 a23的余子式是 m23= 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa d 444241 343231 141211 aaa aaa aaa

44、 而 a23=(1)2+3m23= 是 a23的代數(shù)余子式 444241 343231 141211 aaa aaa aaa 定理定理 n 階行列式 d 等于它的任意一行(列)的元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即 d=ai1ai1+ai2ai2+ainain (i=1，2，n) 或 d=a1ja1j+a2ja2j+anjanj (j=1，2，n) 證明證明：只需證明按行展開的情形，按列展開的情形同理可證 1先證按第一行展開的情形根據(jù)性質(zhì)有 nnnn n n nnnn n n aaa aaa aaa aaa aaa aaa d 21 22221 11211 21 22221 11211 00

45、00000 nnnn n n nnnn n nnnn n aaa aaa a aaa aaa a aaa aaa a 21 22221 1 21 22221 12 21 22221 11 000000 按行列式的定義 n n n jjj njjj jjjn nnnn n aaa aaa aaa a 21 21 21 21 )( 21 22221 11 ) 1( 00 111111112 )( 11 21 2 21 ) 1(aamaaaa n n n jjj njj jjjn 同理 12121212 12 22122 12 21 22221 12 ) 1( 00 ) 1( 00 aama aaa

46、 aaa a aaa aaa a nnnn n nnnn n nnnn n nnnnn nn n n nnnn n n aama aaa aaa a aaa aaa a 1111 1 11 12212 1 1 21 22221 1 ) 1( 00 ) 1( 00 所以 d=a11a11+a12a12+a1na1n 2再證按第 i 行展開的情形 將第 i 行分別與第 i1 行、第 i2 行、第行進(jìn)行交換，把第 i 行換到第行，然后再按的情形，即有 2 21 2 1 1 11 1 1 21 11211 21 1 ) 1() 1() 1() 1() 1( ii i ii i nnnn n inii

47、i mama aaa aaa aaa d ininiiii in n in i aaaaaa ma 2211 11 ) 1() 1( 定理定理 n 階行列式 d 中某一行(列)的各元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即： ai1as1+ai2as2+ainasn=0 (is) 或 a1ja1t+a2ja2t+anjant =0 (jt) 證證：只證行的情形，列的情形同理可證考慮輔助行列式 )( )( 21 21 21 11211 1 行 行 s i aaa aaa aaa aaa d nnnn inii inii n 這個行列式的第 i 行與第 s 列的對應(yīng)元素相同，它的值

48、應(yīng)等于零，由定理 1 將 d1按第 s 行展開，有 d1= ai1as1+ai2as2+ainasn=0 (is) 定理和定理可以合并寫成 ai1as1+ai2as2+ainasn= )(0 )( si sid 或 a1ja1t+a2ja2t+ajnant = )(0 )( tj tjd 定理 1 表明，n 階行列式可以用 n1 階行列式來表示，因此該定理又稱行列式的降階展開定理利用它并結(jié)合行 列式的性質(zhì)，可以大大簡化行列式的計算計算行列式時，一般利用性質(zhì)將某一行(列)化簡為僅有一個非零元素，再 按定理 1 展開，變?yōu)榈鸵浑A行列式，如此繼續(xù)下去，直到將行列式化為三階或二階這在行列式的計算中是一

49、種常用 的方法 例例 計算行列式 5101 2421 7013 1312 d 解解：d 的第四行已有一個元素是零，利用性質(zhì)，有 ) 5( 1 )2() 1( 332 831 1111 ) 1( 0001 3321 8313 11112 5101 2421 7013 1312 14 d 85 255 34 ) 1( 2550 340 1111 11 例例 計算 n 階行列式 ab ba a ba ba d 000 000 0000 000 000 解解：按第一列展開得 nnnnnn n babbaa ba b ba b b a ba a ba ad 1111 111 ) 1() 1( 00 00

50、0 00 000 ) 1( 000 00 000 00 ) 1( 例例 計算，其中 xy y y x x d 1111 1111 1111 1111 解解：根據(jù)定理 1，把行列式適當(dāng)?shù)丶右恍幸涣?，然后利用性質(zhì)，有 y y x x y y x x d 0001 0001 0001 0001 11111) 1( 11110 11110 11110 11110 11111 第 2 列提出因子 x，第 3 列提出x，第 4 列提出 y，第 5 列提出y，得 1 1 1 1 10000 01000 00100 00010 1111 1 10001 01001 00101 00011 1111 1 )()

51、( 2222 yx yyxx yx yyxx yyxxd 例例 試證 (1) nij ji n n nnn n n aa aaaa aaaa aaaa 1 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 )( 1111 式中左端叫范德蒙行列式結(jié)論說明，n 階范德蒙行列式之值等于 a1， a2， ， an，這 n 個數(shù)的所有可能的差 ai aj(1jin)的乘積 證明證明：用數(shù)學(xué)歸納法 1當(dāng) n=2 時，計算階范德蒙行列式的值： 12 21 11 aa aa 可見 n=2 時，結(jié)論成立 2假設(shè)對于 n1 階范德蒙行列式結(jié)論成立，來看 n 階范德蒙行列式：把第 n1 行的(a1)倍加到

52、第 n 行，再把第 n2 行的(a1)倍加到第 n1 行，如此繼續(xù)作，最后把第 1 行的(a1)倍加到第 2 行，得到 加 到 各 行 2 1 12 31 1 3 2 21 1 2 1 2 31 2 321 2 2 11312 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 22 3 2 2 2 1 321 0 0 0 1111 1111 n n n n nnnn nn n n n nnn n n nnn n n aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaa aaaa aaaa aaaa aaaa )()()( )()()( 1 2 13 2 312 2 2 1133122 113

53、12 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaa n n n nn nn n 22 3 2 2 32 11312 111 )()( n n nn n n aaa aaa aaaaaa 后面這個行列式是 n1 階范德蒙行列式，由歸納假設(shè)得 nij ji n n nn n aa aaa aaa 2 22 3 2 2 32 )( 111 于是上述 n 階范德蒙行列式等于 。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對一切 n2，(1)式成 nij jin aaaaaaaa 2 11312 )()()( nij ji aa )( 立 例例 計算 n 階行列式 xa xa xa xa a d n n n 0000

54、1000 0010 0001 00001 1 3 2 1 解解：把第一行乘以 x 加到第二行，然后把所得到的第二行乘以 x 加到第三行，這樣繼續(xù)進(jìn)行下去，直到第 n 行， 便得到 00000 10000 00100 00010 00001 1 1 1 32 2 1 21 1 n i in i n i in i n xa xa axaxa axa a d = 100 010 001 ) 1( 1 1 n i in i n xa = n i in i nn n i n i n xaxa 1 21 1 11 ) 1() 1() 1( = nn nn axaxaxa 1 2 2 1 1 例例 6 證明

55、 2221 1211 2221 1211 22212221 12111211 2221 1211 00 00 bb bb aa aa bbcc bbcc aa aa 證證 將上面等式左端的行列式按第一行展開，得 222121 121111 21 12 222122 121112 22 11 22212221 12111211 2221 1211 0000 00 00 bbc bbc a a bbc bbc a a bbcc bbcc aa aa 2221 1211 21122211 2221 1211 2112 2221 1211 2211 )( bb bb aaaa bb bb aa bb

56、bb aa 2221 1211 2221 1211 bb bb aa aa 本例題的結(jié)論對一般情況也是成立的，即 mmmmmkmm mk kkkk k bbbccc bbbccc aaa aaa 2121 1121111211 21 11211 000 000 mmmm m kkkk k bbb bbb aaa aaa 21 11211 21 11211 思考題：思考題： 1計算下列行列式： 04321 31012 22101 13210 nnnn n n n 2證明下列等式：，(ai0)；) 1 ( 0001 0001 0001 1111 1 0212 1 0 n i i n n a aaa

57、a a a a a 1.6 克萊姆法則克萊姆法則 前面我們已經(jīng)介紹了 n 階行列式的定義和計算方法，作為行列式的應(yīng)用，本節(jié)介紹用行列式解 n 元線性方程組的 方法克萊姆法則它是中二、三元線性方程組求解公式的推廣 設(shè)含有 n 個未知量 n 個方程的線性方程組為 (1) nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 它的系數(shù) aij構(gòu)成的行列式 nnnn n n aaa aaa aaa d 21 22221 11211 稱為方程組(1)的系數(shù)行列式 定理定理 (克萊姆法則) 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式 d，則方程組(1

58、)有唯一解： (2) , , , , 2 2 1 1 d d x d d x d d x n n 其中 dj (j=1，2，n，)是 d 中第 j 列換成常數(shù)項 b1，b2，bn，其余各列不變而得到的行列式 這個法則包含著兩個結(jié)論：方程組(1)有解，解唯一下面分兩步來證明 第一步：在 d的條件下，方程組(1)有解，我們將驗證由(2)式給出的數(shù)組確實是方程組(1) , , , 21 d d d d d d n 的解 第二步：若方程組有解，必由(2)式給出，從而解是唯一的 證證：首先將代入(1)的第 i 個方程有： , , , 2 2 1 1 d d x d d x d d x n n (3) )

59、( 1 1211 2 2 1 1 ninii n inii dadada d d d a d d a d d a 左端 把 d1按第列展開，d2 按第 2 列展開，dn按第 n 列展開，然后代入(3)式有： 左端)( 1 112121111nniii ababababa d )( )( 2211 222221212 nnnininnin nniii ababababa ababababa )( 1 11221111ninii aaaaaab d )( )( )( 2211 2211 22222112 nninninin ininiiiii ninii aaaaaab aaaaaab aaaaa

60、ab 000 1 21 ni bdbbb d 右端 ii bdb d 1 這樣證明了是(1)的解 , , , 21 d d d d d d n 其次，證明方程組若有解，其解必由(2)式給出，即解是唯一的 即 假設(shè) x1=k1， x2=k2，xn=kn是方程組(1)的一個解，證明必有下式 d d k d d k d d k n n , , 2 2 1 1 因 x1=k1， x2=k2， ， xn=kn是(1)的解，把它代入(1)有 (1) nnnnnn nn nn bkakaka bkakaka bkakaka 2211 22222121 11212111 將系數(shù)行列式 d 的 j 列的代數(shù)余子