浙江專用高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí)第六章平面向量復(fù)數(shù)6.3平面向量的數(shù)量積講義含解析

1、 6.3平面向量的數(shù)量積取新考綱考情考向分析1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意主要考查利用數(shù)量積的定義解決數(shù)量積的運義.算、投影、求模與夾角等問題，考查利用數(shù)曰占At zfz 丄一 . 入t 曰、占At-P+*【2.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩個向量的夾角、模長以及判斷兩個平面向量的平行與垂直關(guān)系.一量積與兩個向量的夾角之間的關(guān)系.般以選擇題、填空題的形式考查，偶爾會在3.會用坐標(biāo)表示平面向量的平行與垂直.解答題中出現(xiàn)，屬于中檔題.基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)回扣皐礎(chǔ)辺識 訓(xùn)練墓砒題目一亍知識梳理1. 向量的夾角已知兩個非零向量 a和b,作0A= a, 0B= b,則/ AO

2、B就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是0 ， n .2 平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量 a, b的夾角為0，則數(shù)量| a| b| cos 0叫做a與b的數(shù)量積，記作 a b投影| a|cos 0叫做向量a在b方向上的投影，| b|cos 0叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a b等于a的長度| a|與b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘積3.向量數(shù)量積的運算律(1) a b= b a.(2) (入 a) b=入(a b) = a (入 b).(3)( a + b) c = a c+ b c.4 .平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量 a= (xi, yi) , b= (X2,

3、 y2), a與b的夾角為 0 .結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模丨a| = Qaa| a| =px2 + y2夾角a bcos 0 |a|b|x1x2 + y1y2cos 0; t寸 x2 + y2 寸 x2+ y2a丄b的充要條件a b 0X1X2+ yw 0| a b| 與| a| b| 的關(guān)系| a b|a| b| X1X2+wyj(x1+ y2 Jx2+ y2)【概念方法微思考丨1. a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相同嗎?提示 不相同.因為 a在b方向上的投影為| a|cos 0 ,而b在a方向上的投影為| b|cos 0 , 其中0為a與b的夾角.2 兩個向量的數(shù)量積大于0,則夾角一

4、定為銳角嗎？提示 不一定當(dāng)夾角為 0時，數(shù)量積也大于 0.r基礎(chǔ)自測題組一思考辨析1 判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“V”或“ x”)(1) 向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量.( V )(2) 兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量.由a b= 0可得a= 0或b= 0.( x )(4)( a b)c = a(b c) . ( x )兩個向量的夾角的范圍是|0, n 1( x )若a -b AB= AM MBAC=亦 MG= AMI- MB AB- AC= (AMl+ MB ( AM-=AlM-mB= |AM| 2- |MB|2 =9- 25=-

5、16.思維升華平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1) 當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a -b = | a| b|cos a，b. 當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a= (xi, yi) , b=(X2,討2，則a -b = X1X2+ yiy2(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.題型二 平面向量的模7燈例1 (1)(2018 浙江五校聯(lián)考)如圖，已知在平行四邊形ABCDK E, M分別為DC的兩個三等分點，F(xiàn), N分別為BC的兩個三等分點，且 AE- AF= 25, AM- AN= 43,則|AC|2 + |BD|2等于( )A. 45B. 60C. 90D. 180答案 C1

6、1解析 設(shè)AB= a, AD= b,依題意得 AE= AD+ DE= -a+ b, AF= AB+ BF= a + 3b, AM= AD+ Dm= 332 t t t23a+ b, AN= AB+ BN= a+ 3b,3 3 / ae- AF= 25, Am- an= 43,1a+ 3b = 25, a+3b =43,12以3a + b102 , 2a + b = 45,+ ya b= 25,13,+ a b= 43,I AC| + |BD| = |a + b| + | b a| = (a + b) + (b a) = 2(a + b ) = 90.故選 C.(2) (2017 浙江)已知向量

7、a,b滿足|a|= 1,|b|= 2,則| a+ b| + |a-b|的最小值是最大值是.答案 42.5解析設(shè)a, b的夾角為0 ,I a| = 1, |b| = 2,I a+ b| + | a b| = a b12 n=TT一2，所以向量a，b的夾角為T，故選c. 已知ei, e2是互相垂直的單位向量.若3ei- e與ei+入e2的夾角為60,則實數(shù) 入的值是.答案33解析由題意知 | ei| = | e2| = 1, ei e2= 0,=p3e2 2ei e2+ e2 = p3 0+ i = 2.同理|ei+入e2| = i +入2.所以 cos60=加1- e2&+2| 寸3ei e2|

8、 ei + 入 e2|_ 心e2 + .3入 i ei e2 x e2小-入 _ i2寸1+入22寸1+入2 2,解得思維升華求平面向量的夾角的方法(i)定義法:cos 0 =abbf0的取值范圍為0 ,坐標(biāo)法：若a= (xi, yi),b= (X2, y2)，則cos 0 =xix2 + yiy2px2+ y2 7x2+ y2(3) 解三角形法：把兩向量的夾角放到三角形中.跟蹤訓(xùn)練2（1）（2011 浙江）若平面向量a , 3滿足I a | = 1, | 3 | 1,且以向量a , 3為1 一鄰邊的平行四邊形的面積為空，則a與3的夾角9的取值范圍是.答案1解析 由題意知 S= | a | 3

9、 |sin 9 = sin 9 , 9 0 , n , 9 |才,（2018 浙江金華名校統(tǒng)考）已知向量a, b是夾角為-3的單位向量，當(dāng)實數(shù) 入w 1時, 向量a與向量a+入b的夾角的取值范圍是（）C.答案 Bn解析 根據(jù)向量a, b是夾角為的單位向量,畫出圖形，如圖所示，設(shè) 張 a, OB= b,Z AOB=n,3當(dāng)入=一 1 時，a+ 入 b = OA OC= OD此時a與a+入b的夾角為/ AO=nr;3當(dāng)入1時，a+入b= OE OA= 6F,此時a與a+入b的夾角為/ AOF且/ AODZ AOFZ AOE 即30”是a與b的夾角為銳角”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C

10、.充要條件D.既不充分也不必要條件答案 B解析 根據(jù)向量數(shù)量積的定義式可知，若a b0,則a與b的夾角為銳角或零角，若a與b的夾角為銳角，則一定有a b0,所以a b0”是a與b的夾角為銳角”的必要不充分條件，故選B.2. (2018 臺州調(diào)研)已知向量a= (2,1) , b= (1,3)，則向量2a- b與a的夾角為()A. 135 B. 60 C. 45 D. 30答案 C解析由題意可得 2a- b= 2(2,1) - (1,3) = (3 , - 1),則 |2a b| =32+ 1 2=10,| a| =22+ 12=5,且(2 a b) a= (3 , - 1) (2,1) = 6

11、- 1 = 5,設(shè)所求向量的夾角為0，由題意可得(2a b a 5 x/2|2 a-b| a| 寸T0x32則向量2a- b與a的夾角為45.3. 已知向量 a, b 滿足 |a| = 1, | b| = 2,且 a-b=3, ,2)，則 |2 a- b| 等于()A. 2 2B.17C.15D. 2 5答案 A解析 根據(jù)題意，| a b| = U3+ 2= -J5,則(a b) 2= a2+ b2 2a b= 5一 2a b= 5,可得 a b= 0，結(jié)合 | a| = 1, | b| = 2,可得(2 a b) = 4a + b 一 4a b= 4 + 4 = 8,則 | 2a b| =

12、2 2，故選 A.4. (2018 寧波質(zhì)檢)在厶 ABC中, |AB + AC| = |AB AC , AB= 2, AC= 1, E, F 為 BC的三等分點，則 AE- XF等于()8102526答案 B解析 由|AB + AC = |AB ACC ,化簡得Ab- aC= 0,又因為AB和AC為三角形的兩條邊， 它們 的長不可能為0,所以AB與 AC垂直，所以 ABC為直角三角形.以 A為原點，以AC所在直 線為x軸，以AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0,0) , B(0,2) , Q1,0).不妨令E為BC的靠近C的三等分點，貝Ue|, 3 , F3 3 ,5 .

13、已知兩個單位向量 a和b的夾角為60,則向量a b在向量a方向上的投影為（）A. - 1B. 1C.-2 2答案 D解析由題意可得| a| = | b| = 1,1且 a b= | a| x| b| x cos60=刁2 1a (a - b) = a - a b= 1 - 則向量a-b在向量a方向上的投影為1iara=2=1 故選 d| a|12故選6. （2018 溫州“十五校聯(lián)合體”聯(lián)考)已知向量a, b的夾角為 0 , | a+ b| = 6, | a- b|2 ,3,貝U 0的取值范圍是（）A. 0W 0 W nnB. W 0 332nn2 nCW 0 6 2D. 0 0 2,則a在b

14、方向上的投影的取值范圍是 .-3、答案I-2, 0/解析 由(a+ b)2-b2= | a| = 3，得(a+ b)2-b2= | a|2+ 2a - b+ | b|2-1 b| 2= 9+ 2a- b= 3,解a b -3、得a - b=- 3，又因為|b| 2,則向量a在向量b方向上的投影為 幣一 | ?, 0 .11已知 |a| = 4, | b| = 3, (2a-3b) - (2 a+ b) = 61.(1)求a與b的夾角0 ;求|a+ b| ; 若AB= a, EBC= 求厶ABC的面積.解(1)因為(2a-3b) - (2a+ b) = 61,22所以 4|a| 4a -b-3|

15、 b| = 61.又| a| = 4, |b| = 3,所以 64 - 4a -b-27= 61,所以 a -b = - 6,a *b 61所以 C0S 0 = |a|b|=衣3=- 2.又0W 0 W n，所以2n2172 2=4 + 2X ( 6) + 3 = 13,所以 |a+ b| =13.25(3)因為AB與 BQ的夾角2n0 = T所以/ ABQ= n又 |AB| = |a| = 4,|BC| = |b| = 3,所以 Sab 2|AB|BC| sin / ABC1=-X4X 3x2i3 = 3.3.PA-(Pb+ PC)的最小值.12已知 ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面A

16、BQ內(nèi)一點，求解方法一設(shè)BC的中點為D, AD的中點為E,則有 PB+ PC- 2PD,則PA-(PB+ PC) = 2PA- PD=2(Pe+ EA) (PE- EA)- 2 - 2=2(PE EA) 當(dāng)P與E重合時，呢有最小值0,故此時pa （ pb+ pq取最小值，F(xiàn)33最小值為一 2eA= 2X 4=一 2方法二 以AB所在直線為x軸，AB的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖,則 A 1,0），bu,o）, qo , 0，設(shè)P（x, y），取BC的中點D,則 PA-(PB+ PC) = 2PA- PD=2_x+ 42+ y-甲 2-4.Pa-（Pb+ PC）取最小值，為2XN技能提升練

17、13. （2018 浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考 ）已知在 ABC中, AB= 4, AC= 2, ACLBC D為AB的中點,1 a1于于于 于點p滿足AP=-A_AD則Pa-（Pb+ PC）的最小值為（）a aA. 2B.答案 C解析 由AP=：ACAD知點P在直線CD上，以點C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸，CAa a所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A0,2)，B(23，0)，C(0,0)，Q ,3,1),直線CD勺方程為y =-x，2-導(dǎo)，設(shè) Px, fx，則 PA=4“33 當(dāng) x=,Pa-（Pb+ Pc）取得最小值A(chǔ).|a - c|B.|a + c|C.| a C| min =

18、Pa-(Pb+ PC) = - x(2 3 2x) + |x2-8 2_ioV3 _8圈3x - 3 x = 3 x - 8，|514. （2018 杭州質(zhì)檢）記M的最大值和最小值分別為Max和Min.若平面向量a, b, c滿足| a|=| b| = a b= c （ a+ 2b- 2c） = 2.則（）D.| a + C | min =答案 A解析由題意，建立平面直角坐標(biāo)系(4,23).設(shè) c = (x, y),(圖略)，不妨取a= (2,0) , b= (1 , - 3)，貝U a+ 2b =2由 c (a+ 2b 2c) = 2 得(x 1) +即c對應(yīng)的點在以1, 為圓心,三3為半徑

19、的圓上,則 | a c| max=(2 1申)+ 羋=W故選 A.N拓展沖刺練115 .已知Sp，6b是非零不共線的向量，設(shè)亦市張+市玄，定義點集A =Fp. FM fq_fm 1斜冋1,當(dāng)F1, Fa A時，若對于任意的 岱3,當(dāng)F1, F2不在直線PQ上時,不等式| f?F2| w k| pQ恒成立，則實數(shù)k的最小值為 答案I4解析由0M=禽觸誥和詐3)，可得P, Q M三點共線，且(耐1)0M= OF nOQ 即 nOMb oM= op nOQ 即 nQM= Mp 所以 pM= m由A= Ffp- fmFq- Fm1環(huán)11須可得 I制 cos / PFM | 制 cos / QFM即/

20、PFM=Z QFM則FM為/ PFQ勺角平分線,由角平分線的性質(zhì)定理可得 QF= QM= m以P為坐標(biāo)原點，PQ所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系（圖略），則P（0, 0）,C（1 + m 0）,x2 + y2F(x，y)，是=myj( x 1 n) 2+ y2( m2 2/化簡得x+匚后+y = m7 ,故點F（x, y）是以m2m 1,0 j為圓心，洛為半徑的圓.要使得不等式I F1F2| 3恒成立,只需 k(m+ 1),2m 21 m-_ m對m3恒成立， k16. （2019 嘉興質(zhì)檢）已知|C| = 2,向量b滿足2| b- c| = b c.當(dāng)b, c的夾角最大時，求解 設(shè)OB=

21、b, OC= c,則/ BOC即卩向量b,c 的夾角，b-c = Cb 由 2| b- c| = b c,可知 2|BC| = 2|OB| cos / BO(C|BC|從而 cos / BO(= 0|OB|若|BC| = 0,則/ BO= 0,不符合題意;若|BC|0，則/ BOC為銳角,設(shè) 0B= m BC= n,n則 cos / BOC=n 在厶 OBC中,由余弦定理可知BO&OC廿 OB2- BC2 4+ m2- n22OC OB4m所以4 + m2 n24m2 2即 m= n + 4n 4,2從而 cos / BOC=n2_m2n2n2+ 4n 411所以 | b| sin 0 = 1,所以 | b|sin