歷年自考04184線性代數(shù)試題真題及答案分析解答

1、全國2010年度4月高等教育自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 (m n) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA 1.已知2階行列式 a1a2 m , b1 b2 n ,則 b1b2 b1 b2 C1C2 a1C1a2C2 每小題 2分，共20分） D. m B. n A.m n 一、單項選擇題（本大題共 10小題, C.m n (B ) b1b2 b1 b2 b1 b2 a1 C1 a?C2 a1 a2 C1C2 m n n m. 2 .設 A , B , C 均為 n 階方陣，AB BA, AC CA，則 ABC ( D ) ABC (AB)C (BA)C B(AC) B

2、(CA) BCA. 3 .設A為3階方陣，B為4階方陣，且|A| 1, |B| 2，則行列式|B|A|之值為（A ） A.8 B.2 C. 2 D.8 |B|A| | 2A| ( 2)3|A|8. a11 a12 a13 a11 3a12 a13 1 0 0 1 0 0 4. A a21 a22 a23 ,B a21 3a22 a23, P 0 3 0 , Q 3 1 0，則 B ( B ) a31 a32 a33 a31 3a32 a33 0 0 1 0 0 1 A. PA B. AP C. QA D. AQ a11 a12 a13 1 0 0 a11 3a12 a13 AP a21 a22

3、 a23 0 3 0 a21 3a22 a23 B. a31 a32 a33 0 0 1 a31 3a32 a33 A.若矩陣A中所有3階子式都為0,則秩（A）=2 5.已知A是一個3 4矩陣，下列命題中正確的是（C ） B. 若A中存在2階子式不為0，則秩（A=2 C. 若秩（A）=2，則A中所有3階子式都為0 D. 若秩（A）=2，則A中所有2階子式都不為0 6 .下列命題中錯誤的是（C ） A. 只含有1個零向量的向量組線性相關 B. 由3個2維向量組成的向量組線性相關 精選文庫 C. 由1個非零向量組成的向量組線性相關 D. 2個成比例的向量組成的向量組線性相關 7 .已知向量組 1，

4、 2, 3線性無關, 線性相關, A.1必能由 線性表出 B. 2必能由 1，3, 線性表出 C.3必能由 線性表出 D. 必能由 3線性表出 A.小于m B. 等于m C. 小于n D. 等于n 注: 的一個極大無關組. 8 .設A為m n矩陣，m n，則方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是 A的秩（D ） 20. 61 # 注：方程組 Ax=0有n個未知量. 9 .設A為可逆矩陣，則與 A必有相同特征值的矩陣為（ A ） A. AT B.A2 3 C. A 1 D.A A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 | E At | |（ E A）t | | E A|，所以A與A有相同的特征值.

5、 10.二次型 f(Xi,X2,X3) x； X； x! 2X1X2的正慣性指數(shù)為（C ） 2 2 2 2 f (X1,X2,X3) (X1 X2)X3% ，正慣性指數(shù)為 2. 二、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分） 11.行列式 2007 2008 2009 2010 的值為 20072008 2009 2010 2000 2000 2000 2000 7 8 9 10 1 1320 13.設(3, 1,0,2)T , （3,1, 1,4）T，若向量滿足2 3 ，則 12.設矩陣 A 201, B 0 1，則 ATb 精選文庫 32(9,3, 3,12)t (6, 2,0,

6、4)T(3,5, 3,8)T . 14設A為n階可逆矩陣，且|A|1，則I I A 1 I n 15.設A為n階矩陣，B為n階非零矩陣，若B的每一個列向量都是齊次線性方程組Ax=0的解, 則I A| n個方程、n個未知量的Ax=0有非零解，則|A| 0. x1 x2 x30 16齊次線性方程組123的基礎解系所含解向量的個數(shù)為 2x1 X2 3x30 A 111111，基礎解系所含解向量的個數(shù)為n r 32 1 . 2 13031 1 1 17設n階可逆矩陣A的一個特征值是3，則矩陣 丄A2必有一個特征值為 3 1 2 1 2 1 2 1 1 A有特征值3，則-A2有特征值-(3)23 ,-

7、A2有特征值. 3 333 1 2 2 18 .設矩陣A 2x0的特征值為4,1, 2，則數(shù)X 2 0 0 由 1x0412，得 X 2. a1/42 0 19.已知A 1/J2b 0是正交矩陣，則 a b 0 1 1 由第1、2列正交，即它們的內(nèi)積 （a b） 0，得a b 0. V2 20.二次型 f (x1 ,X2, X3)4X4X2 2x1X3 6X2X3 的矩陣是 7 三、計算題(本大題共 6小題, 每小題 9分, 共54分) 21.計算行列式 a a2 b b2 c c2 的值. abc abc 1 1 1 解：D c2以2 abc c2u22 abc abc abc a a b

8、b c c Ju3c3 abc a2 b2c2 b b a c 1 1 1 c3 3 a3 abc b b2 a a2 c c2 a a2 abc b b2 abc(b a)(c a) abc(b a)(c a)(c 22.已知矩陣B (2,1,3), (1,2,3) 求(1) A BtC ； (2) A2 解：(1) A BTC 1 3 (1,2,3) (2)注意到CBt (1,2,3) 13 , 所以 A2 (BtC)(BtC) Bt(CBt)C 13BtC 13A 13 1 23設向量組 1 (2,1,3,1)T , 2 (1,2,0,1)T , 3 ( 1,1, 3,0) T, ,4

9、（1,1,1,1）T ，求向量組的秩 及一個極大線性無關組， 并用該極大線性無關組表示向量組中的其余向量 2 1 1 1 11 0 1 1 10 1 1 2 1 1 12 1 1 0 11 0 解： A ( 1, 2, 3, 4) 3 0 3 1 30 3 1 0 33 2 1 1 0 1 21 1 1 0 11 1 110 1 1 1 0 1 10 1 1 011 0 0 1 1 0 01 1 0 ，向量組的秩為 3 ， 1, 2, 4 是 000 2 0 0 0 1 00 0 1 000 1 0 0 0 0 00 0 0 一個極大無關組， 3 1 2 1 2 3 14 24已知矩陣 A 0

10、 1 2 B 2 5 （1）求 A 1 ； （2）解矩陣方程 AX B 0 0 1 1 3 1 2 3 1 0 0 1 201 0 3 解：（1） （A,E） 0 1 2 0 1 0 0 100 1 2 0 0 1 0 0 1 0 01 0 0 1 100 1 2 1 1 2 1 010 0 1 2， A1 0 1 2； 001 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 4 4 9 ( 2) X A 1B 0 1 2 2 5 0 11 0 0 1 1 3 1 3 x1 2x2 3x3 4 25問 a 為何值時， 線性方程組 2x2 ax3 2 有惟一解？有無窮多解？并在有解時求出 2x1 2x2

11、 3x3 6 其解（在有無窮多解時， 要求用 一個特解和導出組的基礎解系表示全部解） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 34 解： (A,b) 0 2 a 2 0 2 a 2 0 2 a 2 2 2 3 6 0 2 3 2 0 0a 30 精選文庫 (A,b) a 3時，r(A,b) r(A) 3，有惟一解，此時 Xi X2 X3 (A,b) a 3時，r(A,b) r(A) 2 n，有無窮多解，此時 X100 2 9 0 3/2 0 X1 2 1, X2 X3 3，通解為 X3 0 3/2 ，其中k為任 1 意常數(shù). 26 .設矩陣A 0 1,2,5，求正的常數(shù) a的值及可逆矩陣P,使

12、 a的三個特征值分別為 3 P1AP 0 2 0 0 解：由|A| 2(9 a2) 1 2 5，得 a24，a 2 . 對于11，解(E A)x X2 X3 ，取 P1 X3 X3 對于22，解(E A)x 精選文庫 000010Xi 1 X2 X1 0 , P2 對于 X3 A)x X1 X2 X3 ，取 P3 X3 X3 (P1, P2, P3) 則P是可逆矩陣, 1AP 四、證明題 （本題 6分） 27.設 A, B, A B均為n階正交矩陣，證明（A B) 1 證：A, B, A B均為n階正交陣，則 AT a 1 bt (A b)t (A B) 1，所以 (A B) 1 (A B)t

13、 At Bt A1 全國2010年7月高等教育自學考試線性代數(shù) （經(jīng)管類）試題答案 一、單項選擇題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分） 1 .設3階方陣A 3），其中i （ i 1,2,3 ）為A的列 向量，若 |B| |( 12 2,2,3) | 6，則 I A| ( C ) |A| 1( 1,2 ,3) | |(122 ,2 , 3)| 6 . A.12 B. C. 6 D. 12 2 .計算行列式 A.180 10 B. 120 C. 120 D. 180 11 精選文庫 2 10 2 10 0 0 3 ( 2) 2 10 3 ( 2) 30180 . # 3.若A為3階方陣且

14、|A 1 | 2，則|2A|( C ) B. 2 C. 4 D.8 1 3 1 |A| 2，|2A| 2 |A| 8 2 4. 4 設 4都是3維向量，則必有(B A. 1,2,3,4線性無關 B. 4線性相關 C 1可由2,3 , 4線性表示 D. 1不可由 2,3, 4線性表示 5 .若A為6階方陣，齊次方程組 Ax=0基礎解系中解向量的個數(shù)為2,則r(A) ( C ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 由 6 r(A) 2，得 r(A) 4. 6 .設A B為同階方陣，且r(A) r(B)，則(C ) A. A與B相似 B. |A| |B| C. A與B等價 D. A與 B合同 注

15、：A與B有相同的等價標準形. 7 .設A為3階方陣，其特征值分別為 2,1,0，貝y |A 2E|( D ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 24 A 2E的特征值分別為4,3,2，所以IA 2E| 4 3 224 . 8 .若A B相似，則下列說法錯誤 的是(B ) A. A與B等價 B. A與 B合同 C. |A| |B| D. A與B有相同特征值 注：只有正交相似才是合同的. 9.若向量 (1, 2,1)與 (2,3,t)正交，則t ( D ) 精選文庫 A.2B. 0C. 2D. 4 由內(nèi)積26 t 0，得t 4. 10設3階實對稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，則（B ） A.

16、A正定 B. A半正定 C. A負定 D. A半負定 對應的規(guī)范型2z12 去 0 zf 0，是半正定的. 13 二、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分） 3 2 沁211 11.設 A 01, B，則 AB 0 1 0 2 4 1 im 1 3（ 1,2,2）. 32 6 53 2 1 1 AB 0 1 0 1 0 . 0 1 0 24 4 2 2 12. 設A為3階方陣, 且 |A| 3 , 則 I3A 1 |. 131 3 1 3 1 |3A | 3 |A | 3 3 9 . |A| 3 13. 二兀方程 x1 X2 X3 1的通解是. X1 1 X2 X3 1 1 1

17、X2 X2 ，通解是 0 k1 1k2 0. X3 X3 0 0 1 14.設 （1,2,2），則與反方向的單位向量是 15設A為5階方陣，且r（A） 3，則線性空間 W x|Ax 0的維數(shù)是 W x|Ax 0的維數(shù)等于Ax 0基礎解系所含向量的個數(shù)：n r 5 3 2 . 16. 精選文庫 |5a11 53 缶 125. 17.若A、B為5階方陣，且Ax 0只有零解，且r(B) 3，則r(AB) Ax 0只有零解，所以 A可逆，從而r(AB) r(B) 3 . 2 18實對稱矩陣1 0 1 0 01所對應的二次型f (x1 ,x2 ,x3) 1 1 f(X1,X2,X3)2xf x2 2X1

18、X2 2X2X3 . 1 19 設3元非齊次線性方程組 Ax b有解12 , 3 1 2，且r(A) 2，則Ax b的通 3 解是 1 1 1 (12)0是Ax 0的基礎解系，Ax b的通解是 2 2 03 1 20.設 2，則A 3 T的非零特征值是 1 由T (1,2,3) 214，可得A2( T ) T 14 T 14A，設A的非零特征值是 3 則214 三、計算題(本大題共 6小題，每小題 9分，共54分) 21 .計算5階行列式D 1 2 # 精選文庫 2001 解：連續(xù)3次按第2行展開, 2 0 1 2 1 4 0 2 0 8 1 2 1 0 2 0 0 2 0 0 2 1 3 4

19、 X. ，求 8 3 22.設矩陣 X滿足方程 解：記 AXB 1/2 B1 1/2 1CB X1 X2 3x3 X41 4 的通解. 23.求非齊次線性方程組 3x1 X2 3X3 4x4 X1 5X2 9X3 8x4 0 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 13 1 1 解：（A,b） 3 1 3 4 4 0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 1 5 9 8 0 0 4 6 7 1 0 0 0 0 0 4 4 12 4 4 4 0 6 3 5 1 0 3/2 3/4 5/4 0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 0 1 3/2 7/4 1/4 0 0 0 0 0 0 0 0 0

20、 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 0 1 0 2 15 精選文庫 17 x1 X2 5 4 1 4 X3 X4 3 2x3 3 2X3 X3 3 4x4 7 4X4 X4 ，通解為 5/4 1/4 0 24.求向量組 (1,2, 1,4), ki 3/2 3/2 1 (9,100,10,4), k2 解：（1T, 100 50 10 4 10 1 ，向量組的秩為2, 25.已知A 的一個特征向量 (1,1, 1)T 出對應于這個特征值的全部特征向量. 解： 所對應的特征值，則A 可得a 3 , 對于 解齊次方程組 A)x x1 X3 X2 X3 ，基礎解系為 ，屬于 X3 X3 3

21、/4 7；4, k1,k2都是任意常數(shù). 2, 4,2, 8）的秩和一個極大無關組. 41 19 8 2是一個極大無關組. ，求a,b及 所對應的特征值，并寫 ,從而 1的全部特征向量為 ,k為任意 精選文庫 2112 12 非零實數(shù) 26設 A ，試確定a使r（A） 2 . 解： A 四、證明題 27若 a2 0時 r(A) 2 本大題共 1 小題， 6 分） 3是 Ax b（b 0）的線性無關解，證明 1是對應齊次線性方程 組 Ax 0 的線性無關解 證：因為 3 是 Ax b 的解，所以 21 ， 1 是 Ax 0 的解； 設 k1( 2 1) k2( 31) 0 ，即 ( k1 k2

22、) k1 2 k2 3 0 ，由 1, 2, 3 線性無 k1 k2 關，得 k1 0 0 0 ，只有零解 k1 k2 0 ，所以 13 1線性無關 k2 # 精選文庫 全國2011年1月高等教育自學考試 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題 課程代碼：04184 說明：本卷中，A1表示方陣 A的逆矩陣，r（A表示矩陣A的秩，（ ,）表示向量 的內(nèi) 積，E表示單位矩陣， 、單項選擇題（本大題共 | A|表示方陣A的行列式. 10小題，每小題2分，共 a11 a12 a13 2a11 2a12 2a13 1.設行列式 a21 a22 a23 =4,則行列式 a21 a 22 a23 a31 a32 a 33

23、3a 31 3a 32 3a 33 20分) =( A.12 B.24 C.36 D.48 2.設矩陣A B, A.AVB C, X為同階方陣，且 A B可逆，AX 5 0-1$ 172 9 173 9 ， S 0 -1 6 2 10 4 2 10 4 0 31 3 0 313. 23 Ad 町= 1729* 17 2 r 0 -21 -? 1 0313 0 -13 -4 -14 0 -13-14 0313 J 0313_ R 7 2 Q 0 -3 2 OJ 0 J 故収雖”餌是扱大線性尤關組*且 2牡鮮:柜聲A的特征窯唄式為： 工十I -4 亠3 XE-A 2 A 5-3 匸心1卩 吃 4屮

24、 故丸的持征伍為1九0*釘=為=】 對于丄嚴嘰求解芥次線性方程爼豹費A)jr-0 得一個S瑞解系為衛(wèi)嚴 ，枚博于丄* = 0的全部特征向fi緘 -1 0) 對特征值站一為一1,考世齊次線性方程組門 故S于特征值入=23 = 1的全瓠特征罐為 r y Z:+Aflf 嚴 h 1 +占 0 0 A ，其中dL不全為a 2乩解:對A施行初尊行變換將齊化皺階梯底 1 -1 2 -1 Ji屮初車遷上電曲.底*7 r片打：Fjh 全國2012年7月自考 線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題 課程代 碼:04184 說明：本卷中養(yǎng)示柜陣川的轉(zhuǎn)嚴丁表示向的轉(zhuǎn).E A示單隹矩陣訂咼丨表示方陣A 的行列式鼻7養(yǎng)示方陣為的葩矩陣

25、八)表示矩陣A的袪. 一，單項選擇a fi大H共10小題毎小題2井，共20分) 在每小S列出的四個備選項申貝有一個是符舍題g要求的，常代碼填寫在題后 的括號內(nèi)錯選、零遶盛耒選均無分. L址A為三階矩陣且僅7丨=乳則1%燈C ) A. -9B. -1C, In. 9 2”設上=叫心衛(wèi)其中餌H=l,2是二維列洵ft,若lAUi, 則II 4旳，細廣3%,碼1 =() A. ZiB. 12C, 12 XBtA.H均為方陣則下列結論中正確的是) A.若狙甘 1-0,則 A-U 或 U=0氏若冏=0*mSA|= 0 或|B|=O C.若八氛則4=0亞B=OIX若AZfHO*則|川#0或|f0#0 4.設A為H階可逆陣，則下列等式成立的是() A. CAJ?) =4 B it tA + /J) -A- +tf I工1十/n-i I 乂|鳧7十| I 3.設沖為“心則齊次方程AX=0必 九無解 C.有無窮解 ，則 rtA)=( B.2 C3 I). 4 2 0 (f 2 0 0 0 0 o 2 0 O 甩 0 1 0 B. 0 0 0 0 1 0 D. 0 0 0 0 0 0 _-k L01. 0 0 4 0 0 2 p 9設為同階方陣，且r(A)-r(B).M ( 甩