線代模擬題(III)

1、線性代數(shù)模擬試題(川)一 填空題1. 設 3 階方陣 A=：1,：2,：3】, A 二m, B=n ,貝 U A + B =提示： A + B = % +優(yōu),2o(2,2ot3 二名上色,2a 3 + 優(yōu),20(2,2t 3 = 4 A + 4 B答案： 4( m n) 2.設 A3 +A2 A=E，且 A E 式 0，貝U A =提示： 由條件得 A2(A E)-(A E) =0 , (A E)2(A-E) =0 由A - E可逆，得(A E)2 =0即A2 2A 0再變形A(A 2E) =-E從而A可逆并且有下面答案答案： a，二-(A 2E)1 1 3. 設 G =(1,2,3)T, B

2、 =(1, ,)T, A=gBT,貝 y An = 2 3提示：An =( 1 T)C T)F；T = (FT)n(：川 T)11/21/3答案：3nA=3n212/333/21一 4.Ax=b有解但不唯一，則11a1【設A = 1 a 1 , b=1 ，線性方程組a 1J2一提示： A = -(a 2)(a -1)2 =0, a 二-2或 a= 1，但 a =1 時無解，應排除。 5. 設A為n階方陣(n蘭2), A=0, A 0，貝U Ax = 0的基礎解系中向量的個數(shù)(即解空間的的維數(shù))是提示： 參見教材P11 0第27題結論:n r(A)= n r(A*)=1 r(A) = n -10

3、 r(A)蘭 n-2由此得知r(A) = n -1答案： 1二 選擇題 1.設：-i/-2/3是齊次線性方程組 Ax = 0的一個基礎解系，則（）也是一個基礎解系。（A）1,- ：3 ：3 ：1亠：2 亠：3（B）：1 亠：22亠：3 ；（C）: 1 一2,2 一3,：3 一：1（D）: 13,： 3*1提示：基礎解系含3個向量，故（A） （B）排除，（C） （D）中向量雖都是解但要找線性無關的，觀察知（C）相關，因為組合系數(shù)全取1則等于零，剩下的只有（D）可 選。實際上教材P 89例6已證明了此結論。在前面的模擬題中重點強調了遇到一個 向量組表示另一個向量組的問題要轉化為矩陣的乘法關系，這樣

4、可處理更復雜而不 易觀察的問題。比如對于（C）令 =1 一22 =2 - ：3 -1，貝V10 -101嚴2沖3=%0（203|-1 10.0-1 1 一1,23是列滿秩，最右邊的矩陣不可逆，故1 0 -1廿1是，氏=r（ 110 ）*3，知為丿23線性相關0 -1 1 _答案： （D）1 2設P3沌式O, Q=243 631t ，且 PQ = O，則(A) t = 6時，必有 r(P) =1(B) t = 6 時，必有 r(P) = 2(C) t = 6時，必有 r(P) =1(D) t 6時，必有 r(P) =2提示： 再次強調，遇到 Am n Bn p =0要想到r(A) r(BH n這

5、里 r(P) r(Q)豈 3，由假設 r(P) _1 , r(Q) _1 ,如果t = 6，則r(Q) =1,此時r(P)可以是1或2,故(A)(B)排除當t -6時，此時r(Q) =2，故只有r(P) =1答案： (C) 3.設A與B都是n階的方陣，則下面不對的是()(A) |AB|二卩円(B) AB與BA有相同的特征值(C ) AB與BA相似(D) AB與BA的對角元素之和相等提示:由行列式的乘法定理知(A)是對的；由教材P138習題10知，AB與BA有相同的非零特征值，又它們是同階方陣，故零特征值也相同，所以(B)是對的，從而(D)是對的，因為特征值之和等于對 角元素之和(見教材 P11

6、9),根據(jù)排除法只能選(C)。注意：如果A , B中有一個可逆，則 AB與BA 一定相似，這是教材 P138習題13.。答案:舉個例子吧:A一0o o_o o_1 , BA =0o o o o_顯然AB與BA不相似，因為如果P(AB)P =BA=O，則 AB =0，矛盾。(C)與矩陣11010合同的矩陣是()11111(B)1. 1 一-1j衛(wèi)(A)(C)-1(D)-1-1 11一一11-1I提示:答案: 5 .提示:看一看兩個矩陣正的特征值和負的特征值的個數(shù)（兩正一負）（B）設代B均為n階對稱矩陣，則使 A, B合同的充要條件是（）（A） A, B的秩相同（C） A, B有相同的特征值（B）

7、 A,B都合同于對角矩陣（D） A,B的二次型有相同的標準形兩個對稱矩陣合同等價地說法是它們的二次型等價（即可以用可逆變換互化） 是否合同由它們的秩和正慣性指數(shù)（也是正的特征值的個數(shù)）所決定。合同必秩相 等但反之不然，故（A）錯。任何對稱矩陣都與對角矩陣合同（也就是任何二次型都可化為標準形），故（B）錯。有相同的特征值一定合同，但合同不一定有相同的特征值，故（C）錯。 自己想想為什么（D）對。答案: 1.提示(D)計算題x計算行列式Dn =-1x -1xan 4a2(教材P27習題5 (5)-1x +a1方法一按第1列展開得遞推關系式 Dn二xDnd an方法二從最后一列開始每一列乘x加到其前

8、一列上Dn其中t = xn +玄必2 + an/X +an-1x +a1再按第1列展開-1=t 二 xn - a1xn J anJx - anDn =t “一1) X 2.解矩陣方程AXA= XA+3E，其中j000 =*0100A(教材P55習題22)10100-308_提示由*A=An A.傲材P55習題18)，得*A=8 , A = 2，方程兩邊右乘 A左乘An AA* AX = A*X 3A* A ,AX = A*X 3 AE , (2E - A* )X = 6EAO J二A_CBIL- B 4ca用教材P56習題29 (2)求逆公式X =6(2E _ A*)_10 0j001 io0

9、_10 103 Io-6*2E - A-10 j 00Ij* , 40 1 j 00(2E A )= n imi aman *an ! 0【B求2E - A逆,1 0 = 1 0 01/2 0-1/6_60 6X =6 06.0 30 3. 問a,b為何值時，方程組Xi X? - 2x3 3X4 = 03x1 2x2 ax3 7x4 = 1Xi - x? - 6X3 - X4 2b有解，無解，有解時求通解。提示 由于該方程組系數(shù)矩陣 A不是方陣，只能用初等變換的方法進行討論。11-230110-41b 1A =32a71r?0122-b-1-1-6-12b 一i00a +80 1-b當a：8時

10、，b任意，r (A)二r(A) = 3 ： 4，方程組有無窮多解； 當 a = 且 b1 時，r(A) = 2,r(A) =3, r(A) Hr(A)，方程組無解;當a二-8且b =1時，r(A) =r(A) =2 :：: 4，方程組有無窮多解。求通解你自己來完成。 4. 設向量組：i 二 2,1,4,3T,：匕=(-1,1,-6,6)1 3 =(-1,-2,2,-9)丁 為=(1,1,27)1 5 =(2,4,4,9)T求此向量組的一個極大無關組，并把其余向量用該極大無關組線性表示。-=1001-1-10043提示1/2345 -*0001-3-00000其余的你來完成 5.設二次型f (x

11、1,x2,x3 xt Ax經(jīng)正交變換x = Py化為標準形f =y； 3y；y；并已知A的對應于特征值慣-3的一個特征向量為(1,-1,0)丁，求原二次型f(X1,X2,X3)。提示此題與模擬題(II)第3個計算題實質是一樣的。T_1P AP = P AP 二 diag (1,3,1) , A 的特征值為= 3,= 1 且 = 3對應的特征向量為 r =(1,-1,0)丁，要求原二次型相當于求對稱矩陣A解rTx =0即兀-x2 =0即得基礎解系（這里直接求得正交的）：2 = （1,1,0）1 3 =（0,0,1）T_：I2 , -：3就是屬于，2 = 3 - 1的特征向量，把三個特征向量單位優(yōu)

12、=吉（1,-1,0）T，駡1T -T二 2(1,1,0)3=(0刖把它們排成矩陣（注意順序）即得正交矩陣:1 1P = d , A ,卩3】=1 一1V2 42I 001則 P AP = P AP 二 diag (1,3,1)，由此得2-10A =Pdiag(1,3,1)PT = -1200 0 1一所以原二次型為 f (捲，x2 ,x3) = xT Ax = 2x； 2x； xf - 2x1x2四證明題（1，2, 3任選一個，4必做） 1.設x是n維列向量，xTx =1，令H = E - 2xxt，證明H是對稱正交矩陣。提示直接用定義證明（這是教材P138習題3） 2.證明正交的向量組一定是線性無關的。提示 見教材P114定理1 3. 設和2是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量依次為和2，證明k/ 1 k 2 （其中僉=0飛2 = 0）不是A的特征向量提示 仿教材P123例10 4. 證明二次型f =xTAx,在x =1時最大（?。┲禐?A的最大（小）特征值。提示這是教材P140習題29。設，分別是A的最小，最大的特征值，存在正交變換x =Qy使T222f =X Ax = 如一冷2丫2 亠 亠 nyn再由假設乞 乞