人教版高中數(shù)學(xué)必修⑤3.4《基本不等式（二）》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題：必修3.4基本不等式（二）三維目標(biāo)： 1、 知識(shí)與技能（1）在上一節(jié)的基礎(chǔ)上再通過各種運(yùn)用，進(jìn)一步理解、掌握基本不等式的本質(zhì)，熟練運(yùn)用此性質(zhì)的等價(jià)形式靈活地解決相關(guān)問題，提高解決此類問題的技能；（2）能用不等式的基本性質(zhì)論證簡(jiǎn)單的不等式，并進(jìn)一步運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題。2、過程與方法（1）在熟悉基本不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生在應(yīng)用問題中進(jìn)一步合作探索，然后再通過相應(yīng)的問題（尤其是相關(guān)的實(shí)際問題的最值問題）的解決，加深學(xué)生對(duì)定理的理解，并為以后解決綜合問題究奠定良好的基礎(chǔ)；（2）通過簡(jiǎn)單得不等式的判斷、論證，培養(yǎng)學(xué)生推理論證的邏輯性、嚴(yán)密性，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。3

2、、情態(tài)與價(jià)值觀（1）繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、等與不等辯證的數(shù)學(xué)思想； (2) 通過對(duì)不等式知識(shí)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、合作交流、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識(shí)和合作精神；（3）通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時(shí)體會(huì)事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功的成就感，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗。 教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式與的進(jìn)一步應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：理解“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵（a與b或許是一個(gè)式子），注意運(yùn)用不等式求最大（?。┲档臈l件教 具：

3、多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法：合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法教學(xué)過程：一、雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入：上兩節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了基本不等式，并且體會(huì)到在實(shí)際問題中的應(yīng)用，感受到不等式在實(shí)際生活中的更廣泛運(yùn)用。下面，首先我們一起回顧一下這些知識(shí)和方法：基本不等式：一般的，如果特別的，如果a0,b0,我們用分別代替a、b ，可得，簡(jiǎn)單回顧上節(jié)從實(shí)際問題中抽象出基本不等式的情景這是北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，大家想一想,你能通過這個(gè)簡(jiǎn)單的風(fēng)車造型中得到一些相等和不等關(guān)系嗎?【問題1】我們把“風(fēng)車”造型抽象成圖，在正方形abcd中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的長(zhǎng)為、，那么正方形的邊長(zhǎng)為多少？面積為多少呢

4、？學(xué)生答：，【問題2】那4個(gè)直角三角形的面積和呢？學(xué)生答：【問題3】根據(jù)觀察4個(gè)直角三角形的面積和與正方形的面積的大小關(guān)系，我們可得到一個(gè)怎樣的不等式呢？。學(xué)生答：【問題4】什么時(shí)候這兩部分面積相等呢？學(xué)生答：當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形，即時(shí)，正方形efgh變成一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有【得到結(jié)論】一般的，如果基本不等式在最值方面的主要應(yīng)用：1.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，br，且abm，m為定值則ab，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)成立.2.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，br，且abp，p為定值，則ab2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)成立.通過前面對(duì)不等式應(yīng)用，同學(xué)們已經(jīng)體會(huì)到了不等

5、式的重要性和絕對(duì)性，可以說，不等式的應(yīng)用體現(xiàn)在自然、社會(huì)、生活的方方面面，今天我們將進(jìn)一步研究不等式的應(yīng)用二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究 ：【引領(lǐng)學(xué)生合作交流進(jìn)一步探究基本不等式的應(yīng)用】學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，我們?cè)龅竭^一個(gè)著名的函數(shù)： ，并運(yùn)用其單調(diào)性解決了與其相關(guān)的函數(shù)的最值問題。同學(xué)們能否運(yùn)用現(xiàn)在所學(xué)的基本不等式來求出其值域呢？下面，大家交流一下【通過交流、探索得到】 綜上所述： 所以，函數(shù)的值域?yàn)?【評(píng)析】此種方法充分運(yùn)用了基本不等式的性質(zhì)并體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的恰當(dāng)運(yùn)用：把負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，方可用上基本不等式。 下面同學(xué)們?cè)倮眠@種思想方法來解決一些相關(guān)問題三、互動(dòng)達(dá)標(biāo) 鞏固所學(xué)：?jiǎn)栴}.1 已知x、y都是正

6、數(shù)，求證：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.【分析】充分運(yùn)用定理：來逐步解決即可，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形. 【解析】x，y都是正數(shù) 0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.【點(diǎn)評(píng)】這兩個(gè)題是論證問題，從證明過程來看，主要是利用了我們剛學(xué)過的基本不等式。重要不等式a2b22ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b

7、都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形或證明的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具.我們還可以用它們下面的等價(jià)變形來解決問題：ab，ab（）2.問題.2 已知m0,求證?！痉治觥恳?yàn)閙0,所以可把和分別看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式?！窘馕觥孔C明因?yàn)?m0,，由基本不等式得當(dāng)且僅當(dāng)=，即m=2時(shí)，取等號(hào)?！军c(diǎn)評(píng)】此題仍是運(yùn)用基本不等式來證明的論證問題， m0這一前提條件和=144為定值的前提條件。問題.3求證:.【分析】 由于不等式左邊含有字母a,右邊無字母,直接使用基本不等式,無法約掉字母a,而左邊.這樣變形后,在用基本不等式即可得證.【解析】證明 當(dāng)且僅當(dāng)=a

8、-3即a=5時(shí),等號(hào)成立.【點(diǎn)評(píng)】此題雖然仍是運(yùn)用基本不等式來證明的論證問題，但卻需要對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)變形通過加減項(xiàng)的方法配湊成基本不等式的形式.這也是今后常見的思想方法。問題.4若x0,y0,且,求xy的最小值.【分析】顯然已知的式子與所求的式子關(guān)系不直接，不能一步就可用基本不等式求出，看能否利用基本不等式對(duì)已知的式子進(jìn)行推演，得到與所求有關(guān)的式子?！窘馕觥恳?yàn)樗裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x = 4 ,y = 16時(shí) xy取到最小值64。【點(diǎn)評(píng)】此題是運(yùn)用基本不等式來求最值的問題，但卻不是從所求的式子直接推求，而是從已知的式子出發(fā)，進(jìn)行推演，去找到所求的式子，這也是今后常見的求最值的類型。利用基本不等

9、式求最值時(shí),個(gè)項(xiàng)必須為正數(shù),若為負(fù)數(shù),則添負(fù)號(hào)變正.在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時(shí)，應(yīng)注意考查下列三個(gè)條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等。四、思悟小結(jié)：知識(shí)線：（1）不等式的基本性質(zhì)； （2）基本不等式與及其等價(jià)形式。思想方法線：（1）證明不等式的綜合法；（2）建模思想方法；（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；題目線：（1） 利用不等式的基本性質(zhì)與基本不等式解決最值問題；（2）利用基本不等式用綜合

10、法證明簡(jiǎn)單的不等式。五、針對(duì)訓(xùn)練 鞏固提高：論證 知積求和：1、把36寫成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最??？ 2、求(x5)的最小值.待添加的隱藏文字內(nèi)容2 3、 求函數(shù)y= 的最小值4、某單位建造一間背面靠墻的小房，地面面積為12m2,房屋正面每平方米的造價(jià)為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為800元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為5800元，如果墻高為3m，且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，問怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少？、知和求積：1、把18寫成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的積最?。?、一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？3、已知矩形的周長(zhǎng)為36，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱，矩形的長(zhǎng)、寬、為多少時(shí)，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大？、靈活運(yùn)用：1、x,y為正實(shí)數(shù)，若x+4y=1,則xy的最大值為 ，的最小值為 。2、若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則a+b的取值范圍為 ,ab的取值范圍為 。3、判斷