導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略

1、精品好資料學(xué)習(xí)推薦導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的三大策略導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中可謂“神通廣大”，是解決函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、不等式證明等問(wèn)題的“利器”.因而近幾年來(lái)與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往成為高考函數(shù)壓軸題.在面對(duì)這些壓軸題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)碰到導(dǎo)函數(shù)具有零點(diǎn)但求解相對(duì)比較繁雜甚至無(wú)法求解的問(wèn)題.此時(shí)，我們不必正面強(qiáng)求，可以采用將這個(gè)零點(diǎn)只設(shè)出來(lái)而不必求出來(lái)，然后謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過(guò)渡，再結(jié)合其他條件，從而最終獲得問(wèn)題的解決.我們稱這種解題方法為“虛設(shè)零點(diǎn)”法.下面筆者就一些高考題，來(lái)說(shuō)明導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中“虛設(shè)零點(diǎn)”法的具體解題方法和策略.策略1整體代換將超越式化簡(jiǎn)為普通式如果f（x）是超越形式（對(duì)字母進(jìn)行了有限次

2、初等超越運(yùn)算包括無(wú)理數(shù)次乘方、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角、反三角等運(yùn)算的解析式，稱為初等超越式，簡(jiǎn)稱超越式），并且f（x）的零點(diǎn)是存在的，但我們無(wú)法求出其零點(diǎn)，這時(shí)采用虛設(shè)零點(diǎn)法，逐步分析出“零點(diǎn)”所在的范圍和滿足的關(guān)系式，然后分析出相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，最后通過(guò)恰當(dāng)運(yùn)用函數(shù)的極值與零點(diǎn)所滿足的“關(guān)系”推演出所要求的結(jié)果.通過(guò)這種形式化的合理代換或推理，謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過(guò)渡，從而將超越式化簡(jiǎn)為普通式，有效破解求解或推理證明中的難點(diǎn).例1（2015年全國(guó)高考新課標(biāo)卷文21）設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx.（1）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：當(dāng)a0時(shí)，f（x）2a+aln2a.解（

3、1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+），f（x）=2e2x-ax（x0）.由f（x）=0，得2xe2x=a.令g（x）=2xe2x，g（x）=（4x+2）e2x0（x0），從而g（x）在（0，+）單調(diào)遞增，所以g（x）g（0）=0.當(dāng)a0時(shí)，方程g（x）=a有一個(gè)根，即f（x）存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，方程g（x）=a沒(méi)有根，即f（x）沒(méi)有零點(diǎn).（2）由（1），可設(shè)f（x）在（0，+）的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x（0，x0）時(shí)，f（x）0.故f（x）在（0，x0）單調(diào)遞減，在（x0，+）單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（x0）.由于2e2x0-ax0=0，得e2x0=a2x0，由x0=a2e2x0，得lnx

4、0=lna2e2x0=lna2-2x0，所以f（x0）=e2x0-alnx0=a2x0-a（lna2-2x0）=a2x0+2ax0+aln2a2a2x02ax0+aln2a=2a+aln2a.故當(dāng)a0時(shí)，f（x）2a+aln2a.評(píng)析本題第（2）問(wèn)要證明f（x）2a+aln2a，只需要f（x）min2a+aln2a，f（x）min在f（x）的零點(diǎn)取到.但f（x）=0是超越方程，無(wú)法求出其解，我們沒(méi)有直接求解x0，而是在形式上虛設(shè).這樣處理的好處在于，通過(guò)對(duì)x0滿足的等式e2x0=a2x0，lnx0=lna2-2x0的合理代換使用，快速將超越式e2x0-alnx0化簡(jiǎn)為普通的代數(shù)式a2x0+2a

5、x0+aln2a，然后使用均值不等式求出最小值，同時(shí)消掉了x0.在求解的過(guò)程中，不要急于消掉x0，而應(yīng)該著眼于將超越式化簡(jiǎn)為普通的代數(shù)式.借助f（x0）=0作整體代換，竟能使天塹變通途！其實(shí)，這種做法早已出現(xiàn)在以下兩道試題中.我們一起來(lái)體會(huì)一下如出一轍的解法帶給我們的便捷.例2（2013年全國(guó)高考新課標(biāo)卷理21）已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.（1）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m并討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)m2時(shí)，證明f（x）0.解（1）m=1，f（x）增區(qū)間為（0，+），減區(qū)間為（-1，0）.（2）當(dāng)m2時(shí)，x+mx+2，ln（x+m）ln（x+2），-ln（x+m）-ln（x

6、+2），所以f（x）ex-ln（x+2），令g（x）=ex-ln（x+2），則g（x）=ex-1x+2，g（x）=ex+1（x+2）20，所以g（x）在（-2，+）上單調(diào)遞增.又g（-1）=e-1-10，所以存在唯一的x0（-1，0），使g（x0）=0.所以當(dāng)-2X0，g（x）單調(diào)遞增.評(píng)析在本題中，在確定出函數(shù)g（x）=ex-1x+2在（-2，+）上存在唯一的零點(diǎn)x0后，無(wú)法直接求解x0，在形式上虛設(shè)后，通過(guò)對(duì)x0滿足的等式條件ex0=1x0+2，x0=-ln（x0+2）的合理代換使用，快速將超越式g（x0）=ex0-ln（x0+2）化簡(jiǎn)為普通的代數(shù)式g（x0）=1x0+2+x0，為證貌似不

7、可能證的不等式g（x0）0掃除了障礙.例3（2012年全國(guó)新課標(biāo)卷文21第2問(wèn)）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax-2.若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，（x-k）f（x）+x+10，求k的最大值.解由于a=1，所以（x-k）f（x）+x+1=（x-k）（ex-1）+x+10k0恒成立.令g（x）=x+1ex-1+x，原命題k評(píng)析本題中，在確定出h（x）=ex-x-2在（0，+）上存在唯一零點(diǎn)的情形下，通過(guò)虛設(shè)零點(diǎn)x0，并借助ex0=x0+2來(lái)簡(jiǎn)化g（x0）=x0+1ex0-1+x0，為估計(jì)g（x0）的范圍創(chuàng)造了條件.虛設(shè)零點(diǎn)，讓我們感受到“柳暗花明又一村”的奇妙詩(shī)意.如果f（x）不是超越形式，而是可轉(zhuǎn)

8、化為二次函數(shù)，這時(shí)很容易想當(dāng)然，用求根公式把零點(diǎn)求出來(lái)，代入極值中去.但接下來(lái)要么計(jì)算偏繁，要么無(wú)法化簡(jiǎn)，復(fù)雜的算式讓人無(wú)處下手，導(dǎo)致后繼工作無(wú)法開(kāi)展.正所謂“思路簡(jiǎn)單，過(guò)程煩人”.這時(shí)有兩個(gè)策略：策略2反代消參構(gòu)造關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù)如果問(wèn)題要求解（或求證）的結(jié)論與參數(shù)無(wú)關(guān)，這時(shí)我們一般不要用參數(shù)來(lái)表示零點(diǎn)，而是反過(guò)來(lái)用零點(diǎn)表示參數(shù)，然后把極值函數(shù)變成了關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù)，再次求導(dǎo)就可解決相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式證明.例4（2014年全國(guó)高考新課標(biāo)卷文21第2問(wèn)）已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+x+2，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.證明：當(dāng)k1時(shí)，

9、曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).解曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn)g（x）=f（x）-kx+2的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).g（x）=x3-3x2+（1-k）x+4，g（x）=3x2-6x+1-k.（1）當(dāng)=36-12（1-k）=24+12k0，即k-2時(shí)，g（x）0，所以g（x）在R上為增函數(shù).因?yàn)間（-1）=k-10，所以存在唯一x0（-1，0）使得g（x0）=0，所以g（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).（2）當(dāng)=36-12（1-k）=24+12k0，即-2K0，g（1）=-2-k0，所以0X11，1X20，g（x）在（-，x1）內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)x（x1，x2）時(shí)，g

10、（x）0，g（x）在（x2，+）內(nèi)為增函數(shù).g（x）的極小值點(diǎn)是x2.所以g（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，只需要g（x2）0.由g（x2）=3x22-6x2+1-k=0得1-k=-3x22+6x2，g（x2）=x32-3x22+（1-k）x2+4=x32-3x22+（-3x22+6x2）x2+4=-2x32+3x22+4.令x2=t，g（x2）=h（t）=-2t3+3t2+4（10.所以當(dāng)-2K 綜上（1）、（2）可知，當(dāng)k1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).評(píng)析本題當(dāng)-20，讓人無(wú)處下手.于是，我們虛設(shè)零點(diǎn)x2，采用“反代”的方法，用零點(diǎn)x2來(lái)表示參數(shù)，有1-k=-3x2

11、2+6x2.巧妙地回避了這些繁雜的計(jì)算，簡(jiǎn)潔而利索，可謂妙哉.例5（2009年全國(guó)高考卷理22第2問(wèn)）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：f（x）的極小值大于1-2ln24；證明f（x）=2x+a1+x=2x2+2x+a1+x（x-1）.令g（x）=2x2+2x+a，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)g（x）=2x2+2x+a在（-1，+）上有兩個(gè)不等實(shí)根=4-8a0g（-1）=a00A 設(shè)x1、x2是方程g（x）=0的兩個(gè)均大于-1的不相等的實(shí)根，且x10，其對(duì)稱軸為x=-12，所以-1X1-12，-12X20，f（x）在（-1，x1）內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)x（x1，x2）時(shí)，f（x）0

12、，f（x）在（x2，+）內(nèi)為增函數(shù).所以，f（x）的極大值點(diǎn)是x1，f（x）的極小值點(diǎn)是x2.由g（x2）=2x22+2x2+a=0得a=-（2x22+2x2），所以f（x2）=x22+aln1+x2=x22-（2x22+2x2）ln（1+x2）.令x2=t，設(shè)f（x2）=h（t）=t2-（2t2+2t）ln（1+t），其中-12h（-12）=1-2ln24.故f（x2）=h（t）1-2ln24. 評(píng)析f（x）=x2+aln1+x的極小值點(diǎn)x2來(lái)自f（x）=2x2+2x+a1+x的零點(diǎn)，按常規(guī)思路，要證明f（x2）1-2ln24，就要將x2=-1+1-2a2代入f（x）求解，其本質(zhì)就是用參數(shù)a

13、表示零點(diǎn)x2，再證明關(guān)于a的不等式，-1+1-2a22+aln1+-1+1-2a21-2ln24，復(fù)雜的算式讓人無(wú)處下手.于是，我們采用“反代”的方法，用零點(diǎn)x2來(lái)表示參數(shù)a=-（2x22+2x2）.事實(shí)證明，這種變通是十分有效的.策略3降次留參建立含參數(shù)的方程（或不等式）如果問(wèn)題要求解（或求證）的結(jié)論與參數(shù)有關(guān)，利用關(guān)系式f（x）=0（大部分情況可轉(zhuǎn)化為二次方程），在保留參數(shù)的情況下，不斷地把零點(diǎn)的次數(shù)降到不可再降為止，再結(jié)合其他條件，建立含參數(shù)的方程（或不等式），就可求出參數(shù)的值或參數(shù)的范圍.例6（2012年高考全國(guó)大綱卷文科第21題）已知函數(shù)f（x）=13x3+x2+ax.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，若過(guò)兩點(diǎn)（x1，f（x1），（x2，f（x2）的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f（x）上，求a的值；（3）（筆者加編）函數(shù)f（x）的圖像與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍.解（1）略.（2）f（x）=x2+2x+a，由題設(shè)知，x1、x2為方程f（x）=0的兩個(gè)根，故有a0即a1.評(píng)注對(duì)于問(wèn)題（2），找到極值點(diǎn)橫坐標(biāo)x1、x2與參數(shù)a之間的聯(lián)系（x21=-2x1-a，x22=-2x2-a），利用它不斷地把零點(diǎn)的次數(shù)降到1次為止，再利用設(shè)而不求法