簡單線性規(guī)劃問題

1、3.3.2-1簡單線性規(guī)劃簡單線性規(guī)劃問題問題 2 復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)： 1、直線的截距： 注意：截距不是距離，有正負(fù)注意：截距不是距離，有正負(fù) y=x+1 y= -x+3 橫截距：直線與X軸 交點橫坐標(biāo) 縱截距：直線與Y軸 交點縱坐標(biāo) ykxb直線斜截式： 3 一一.復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 1.在同一坐標(biāo)系上作出下列直線在同一坐標(biāo)系上作出下列直線: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 .02 )0(2: 平平行行的的直直線線與與 形形如如結(jié)結(jié)論論 yx ttyx x Y o 4 y x O 034 yx 02553 yx 1x 問題問題1:1:x 有無最大（?。┲?？有無

2、最大（?。┲?？ 問題問題2:2:y 有無最大（?。┲担坑袩o最大（?。┲?？ 問題問題3:3:z=2z=2x+y 有無最大（小）值？有無最大（?。┲担?在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi) 43 3525 1 xy xy x 在平面直角坐標(biāo)系中作出不等式組表示的平面區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中作出不等式組表示的平面區(qū)域 5 5 5 x=1 x4y+3=0 3x+5y25=0 1 A B C C(1.00, 4.40) A(5.00, 2.00) B(1.00, 1.00) Ox y zxyyxz22由 xy2 122 xy 32 xy o 求z=2x+y的 最大值和最 小值。 o所以z最

3、大值12 oz最小值為3 1 2553 34 x yx yx 這是斜率為-2， 縱截距為z的直線 【解析】 6 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 四個步驟四個步驟： 1。畫畫（畫可行域）（畫可行域） 三個轉(zhuǎn)化三個轉(zhuǎn)化 4。答答（求出點的坐標(biāo)，并轉(zhuǎn)化為最優(yōu)解）（求出點的坐標(biāo)，并轉(zhuǎn)化為最優(yōu)解） 3。移移（平移直線（平移直線L 。尋找使縱截距取得最值時的點）。尋找使縱截距取得最值時的點） 2。作作（作（作z=Ax+By=0時的直線時的直線L 。）。） 圖解法圖解法 想一想想一想( (結(jié)論結(jié)論): ): 線性約束條件線性約束條件 可行域可行域 線性目標(biāo)函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù) Z=Ax+By 一組平行線一組平行線

4、 B Z xy 最優(yōu)解最優(yōu)解 尋找平行線組的尋找平行線組的 最大（小）縱截距最大（?。┛v截距 7 28 416 412 0 0 xy x y x y 0 x y 4 3 4 8 2 3 yx M（4，2） 1 4 2 yx 問題：問題：求利潤求利潤z=2x+3y的最值的最值. 143224 max Z 8 28 416 412 0 0 xy x y x y 0 x y 4 3 4 8 1 3 yx N N（2 2，3 3） 1 4 2 yx 變式：變式：求利潤求利潤z=x+3y的最值的最值. max 23 311z 9 問題：問題： 設(shè)設(shè)z=2x-y，式中變量，式中變量x，y滿足下列條件滿足下

5、列條件 求求z的最大值和最小值的最大值和最小值. x y O 034 yx 02553 yx 1x A )2 , 5(A B ) 5 22 , 1 (C C 43 3525 1 xy xy x min 2212 2 1 55 z max 2 5212z 22zxyyxz由 這是斜率為2，縱 截距為-z的直線 【解析】 return 10 兩個結(jié)論： 2、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析 線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義 y前系數(shù)為正前系數(shù)為正 y前系數(shù)為負(fù)前系數(shù)為負(fù) , ,0 ,01 隨之減小向下平移時 隨之增大向上平移時時當(dāng) Z

6、Zcbyaxb、 1、線性目標(biāo)函數(shù)的最大（小）值一般在可、線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳?行域的頂點處取得，也可能在邊界處取得。行域的頂點處取得，也可能在邊界處取得。 )0(ZcbyaxZ目標(biāo)函數(shù) ., ,0 ,02 隨之增大向下平移時 隨之減小向上平移時時當(dāng) Z Zcbyaxb、 -Z增大， 顯然Z 減小 -Z減小， 顯然Z 增大 11 A A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練練出高分練出高分 2 23 34 45 56 67 78 89 91 11010 5 12 目標(biāo)函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)為Z Zx x0.5y0.5y， x y o M 容易求得容易求得MM點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為 （2 2，2 2）

7、，），則則Z Zmax max 3 3 4y10 18x15y66 x0 y0 x 線性約束條件線性約束條件 作業(yè)作業(yè) 13 思維啟迪思維啟迪解析解析探究提高探究提高 14 題型二題型二 思維啟迪思維啟迪解析解析探究提高探究提高 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 15 16 問題3：默寫兩點間的斜率公式: 。 問題4：說出上述目標(biāo)函數(shù)的幾何意義: 。 探究探究一一：對形如：對形如 目標(biāo)函數(shù)的最值目標(biāo)函數(shù)的最值 yb Z xa 可行域內(nèi)的任一點可行域內(nèi)的任一點(x,y)與定點與定點M(a,b)的連線的斜率的連線的斜率 21 21 yy k xx 17 18 例2：變量 , 滿足 ; (1

8、)求可行域內(nèi)的點 與原點連線的斜率 的表達(dá)式； (2)求 的取值范圍。 43 0 3525 0 1 xy xy x ( , )x y , x y z z (1) y z x 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1 -1 1 2 3 4 5 6 y x0-2-3 430 xy 35250 xy 1x 22 (1,) 5 A (5,2)B (1,1)C （2）因為 表示可行域內(nèi) 任一點與原點O連線的斜率 由圖觀察可知： y z x min max 2 5 22 5 222 55 OB OA zk zk z 19 變式：變量 滿足 ； (1)設(shè) ,求 的取值范圍； (2)設(shè) ,求 的取值范圍。 ,

9、x y 43 0 3525 0 1 xy xy x z z 3 y Z x 5 6 y Z x 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1 -1 1 2 3 4 5 6 y x0-2-3 430 xy 35250 xy 1x 22 (1,) 5 A (5,2)B (1,1)C Q M 1 (1)(,1,) 2 z 3 (2),3 25 z 20 問題1：默寫兩點間的距離公式: 。 默寫點到直線間的距離公式： 。 問題2：說出上述目標(biāo)函數(shù)的幾何意義: 。 探究探究二二：對形：對形如如 目目標(biāo)函數(shù)的最值標(biāo)函數(shù)的最值 22 ()()zxayb 22 1212 |()()ABxxyy 可行域內(nèi)的任一點可行

10、域內(nèi)的任一點(x,y)到定點到定點M(a,b)的距離的平方的距離的平方 00 22 |AxByC d AB 21 例1：變量 滿足 (1)求可行域內(nèi)的點 到原點 的距離的平方Z的表達(dá)式； (2)求Z的取值范圍。 , x y 43 0 3525 0 1 xy xy x ( , )x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1 -1 1 2 3 4 5 6 y x0-2-3 430 xy 35250 xy 1x 22 (1,) 5 A (5,2)B (1,1)C 22 Zxy 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1 -1 1 2 3 4 5 6 y x0-2-3 430 xy 35250 x

11、y 1x 22 (1,) 5 A (5,2)B (1,1)C 解:畫出可行域,如圖所示 22 (1,), (5,2),(1,1) 5 ABC 22 Zxy 表示可行域內(nèi)的點(x,y) 到 定點O(0,0)距離的平方 所以，由圖觀察可知 222 min 222 max |112 |5229 zOC zOB 229z 求出交點坐標(biāo) 23 變式：設(shè) 滿足 ; (1) ,求 的最小值； (2) ,求 的最值。 43 0 3525 0 1 xy xy x ( , )P x y (3,0)QPQ (6,0)M PM 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1 -1 1 2 3 4 5 6 y x0-2-3 4

12、30 xy 35250 xy 1x 22 (1,) 5 A (5,2)B (1,1)C Q M min 22 |64 03|9 17 (1)| 17 14 PQ 22 max 22 min 221109 (2)|(6 1)(0) 55 |(65)(02)5 PM PM 24 三、課堂小結(jié)三、課堂小結(jié) 本節(jié)課你收獲了什么？ 。 四、課后練習(xí)四、課后練習(xí) 22 1025Zxyy 2 0 4 0 25 0 x y x y x y 21 1 y Z x 已知 求： (1) 的最小值 (2) 的范圍。 25 思想與方法思想與方法13.13.利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值利用線性規(guī)劃思想求解非線

13、性目標(biāo)函數(shù)的最值 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 審審 題題 視視 角角規(guī)規(guī) 范范 解解 答答溫溫 馨馨 提提 醒醒 26 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 審審 題題 視視 角角規(guī)規(guī) 范范 解解 答答溫溫 馨馨 提提 醒醒 思想與方法思想與方法13.13.利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 27 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 審審 題題 視視 角角規(guī)規(guī) 范范 解解 答答溫溫 馨馨 提提 醒醒 思想與方法思想與方法13.13.利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 28 題型分類題型分類深度剖析深度剖

14、析 審審 題題 視視 角角規(guī)規(guī) 范范 解解 答答溫溫 馨馨 提提 醒醒 思想與方法思想與方法 4分分 6分分 13.13.利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 29 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 審審 題題 視視 角角規(guī)規(guī) 范范 解解 答答溫溫 馨馨 提提 醒醒 思想與方法思想與方法13.13.利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 30 審審 題題 視視 角角規(guī)規(guī) 范范 解解 答答溫溫 馨馨 提提 醒醒 思想與方法思想與方法13.13.利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值利用線性規(guī)劃思想求解非線性目

15、標(biāo)函數(shù)的最值 31 【例例2】 題型題型二二非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題 32zxy（ ）求的最值 32 解作出可行域如圖，并求出頂點的坐標(biāo)A(1,3)、B(3,1)、C(7,9) 33 規(guī)律方法規(guī)律方法非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的求解方法非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的求解方法 (1)非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題，要充分理解非線性目標(biāo)非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題，要充分理解非線性目標(biāo) 函數(shù)的幾何意義，諸如兩點間的距離函數(shù)的幾何意義，諸如兩點間的距離(或平方或平方)，點到，點到 直線的距離，過已知兩點的直線斜率等，充分利用數(shù)直線的距離，過已知兩點的直線斜率等，充分利用數(shù) 形結(jié)合知識解題，能起到事半

16、功倍的效果形結(jié)合知識解題，能起到事半功倍的效果 (2)常見代數(shù)式的幾何意義主要有：常見代數(shù)式的幾何意義主要有： 34 35 A 36 課后作業(yè)課后作業(yè) 1.已知已知 ，求求z=2x+y的最大值的最大值. . 1 1 y yx xy 2.已知已知 , ,求求z=|x-4y+1|的最小值的最小值. . 1 2553 34 x yx yx 3.已知已知 ，求求： 35x 1 1535 y xy yx 22 13 2=21 1 3 2 Zxy Zxy y Z x 的最大值；的最大值； 的最小值；的最小值； 的范圍的范圍. . 37 含參數(shù)的線性規(guī)劃題含參數(shù)的線性規(guī)劃題 38 線性線性 規(guī)劃規(guī)劃 問題：

17、 設(shè)z=2x+y，式中變量滿足 下列條件： 求z的最大值與最小值。 1 2553 34 x yx yx 目標(biāo)函數(shù) （線性目標(biāo)函數(shù)） 線性約 束條件 象這樣關(guān)象這樣關(guān) 于于x,yx,y一一 次不等式次不等式 組的約束組的約束 條件稱為條件稱為 線性約束線性約束 條件條件 Z=2x+yZ=2x+y稱為目標(biāo)函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù),( ,(因因 這里目標(biāo)函數(shù)為關(guān)于這里目標(biāo)函數(shù)為關(guān)于x,yx,y的的 一次式一次式, ,又稱為又稱為線性目標(biāo)函線性目標(biāo)函 數(shù)數(shù) 39 線性規(guī)劃線性規(guī)劃 線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最 大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題 可行解 ：滿足線性約束條 件的解(x，y)叫

18、可行解； 可行域 ：由所有可行解組 成的集合叫做可行域； 最優(yōu)解 ：使目標(biāo)函數(shù)取得 最大或最小值的可行解叫 線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。 可行域可行域 2x+y=3 2x+y=12 (1,1) (5,2) 40 1 2553 34 x yx yx 設(shè)設(shè)z=2x+y,求滿足求滿足 時時,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值. 線性目線性目 標(biāo)函數(shù)標(biāo)函數(shù) 線性約線性約 束條件束條件 線性規(guī)線性規(guī) 劃問題劃問題 任何一個滿足任何一個滿足 不等式組的不等式組的 （x,yx,y） 可行解可行解可行域可行域 所有的所有的 最優(yōu)解最優(yōu)解 目標(biāo)函數(shù)所表目標(biāo)函數(shù)所表 示的幾何意義示的幾何意義 在在y軸上軸上 的截距

19、或其相的截距或其相 反數(shù)。反數(shù)。 41 2 2 42 43 B B組專項組專項能力提升能力提升 44 二元一次不等式二元一次不等式(組組)表示的平面區(qū)域表示的平面區(qū)域 45 5、給出平面可行域、給出平面可行域(如下圖如下圖),若使目標(biāo)函數(shù)若使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y取最大值取最大值 的最優(yōu)解有無窮多個的最優(yōu)解有無窮多個,則則a=( ) 135 .4. 453 ABCD 答案答案:B 5233 :,ya ,. xz 1 65 AC, 5 .aa 解析 由題意知 當(dāng)直線與直線重合時 最優(yōu)解有無窮多個 46 47 答案：A 48 審題指導(dǎo)審題指導(dǎo) 這是一道線性規(guī)劃的逆向思維問題，這是一道線性規(guī)劃的逆向思

20、維問題， 解答此類問題必須明確線性目標(biāo)函數(shù)的最值一般解答此類問題必須明確線性目標(biāo)函數(shù)的最值一般 在可行域的頂點或邊界取得，運用數(shù)形結(jié)合的思在可行域的頂點或邊界取得，運用數(shù)形結(jié)合的思 想方法求解同時，要注意邊界直線斜率與目標(biāo)想方法求解同時，要注意邊界直線斜率與目標(biāo) 函數(shù)斜率關(guān)系函數(shù)斜率關(guān)系 【例例3】 題型題型三三已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù) 49 規(guī)范解答 在平面直角坐標(biāo)系中畫出約束條件所表示的 可行域如圖(形狀不定) (3分) 其中直線axya0的位置不確定，但它經(jīng)過定點A(1,0)， 斜率為a.(6分) 50 51 【題后反思題后反思】 隨著對線性規(guī)劃問題研究的不斷深隨

21、著對線性規(guī)劃問題研究的不斷深 入，出現(xiàn)了一些線性規(guī)劃的逆向問題即已知目入，出現(xiàn)了一些線性規(guī)劃的逆向問題即已知目 標(biāo)函數(shù)的最值，求約束條件或目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)標(biāo)函數(shù)的最值，求約束條件或目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù) 的取值及范圍問題解決這類問題時仍需要正向的取值及范圍問題解決這類問題時仍需要正向 考慮，先畫可行域，搞清目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，考慮，先畫可行域，搞清目標(biāo)函數(shù)的幾何意義， 看最值在什么位置取得看最值在什么位置取得 52 線性規(guī)劃中最優(yōu)整數(shù)解的選取線性規(guī)劃中最優(yōu)整數(shù)解的選取 53 A A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 2 23 34 45 56 67 78 89 91 1 練出高分練出高分 解 解 析析 5

22、4 A A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 2 23 34 45 56 67 78 89 91 1 練出高分練出高分 解 解 析析 動動 畫畫 展展 示示 55 例例3 3、要將兩種大小不同規(guī)格的鋼板截成要將兩種大小不同規(guī)格的鋼板截成A A、 B B、C C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種 規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示 ： 規(guī)格類型規(guī)格類型 鋼板類型鋼板類型 第一種鋼板第一種鋼板 第二種鋼板第二種鋼板 A A規(guī)格規(guī)格B B規(guī)格規(guī)格C C規(guī)格規(guī)格 2 2 1 12 2 1 1 3 3 1 1 今需要今需要A,B,CA,B,C三種規(guī)格的成品分

23、別為三種規(guī)格的成品分別為1515，1818， 2727塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三 種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少。種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少。 解：設(shè)需截第一種鋼板解：設(shè)需截第一種鋼板x x張、第二種鋼板張、第二種鋼板y y張，可得張，可得 56 x 0 y 2x+y=15x+3y=27 x+2y=18 x+y =0 2x+y15, x+2y18, x+3y27, x0, xN* y0 yN* 經(jīng)過可行域內(nèi)的整點經(jīng)過可行域內(nèi)的整點B(3,9)和和C(4,8)且和原點距且和原點距 離最近的直線是離最近的直線是x+y=12，它們是最優(yōu)解它們是最

24、優(yōu)解.答答:(略略) 作出一組平行直線作出一組平行直線z= x+y， 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) z=x+yz=x+y B(3,9) C(4,8) A(18/5,39/5) 打網(wǎng)格線法打網(wǎng)格線法 在可行域內(nèi)打出網(wǎng)格線，在可行域內(nèi)打出網(wǎng)格線， 當(dāng)直線經(jīng)過點當(dāng)直線經(jīng)過點A A時時z=x+y=11.4z=x+y=11.4, ,但它不是最優(yōu)整數(shù)解，但它不是最優(yōu)整數(shù)解， 將直線將直線x+y=11.4繼續(xù)向上平移繼續(xù)向上平移, 57 2x+y=15 x+3y=27 x+2y=18 x+y =0 直線直線x+y=12x+y=12經(jīng)過的整點是經(jīng)過的整點是B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，它們是最優(yōu)解

25、，它們是最優(yōu)解. . 作出一組平行直線作出一組平行直線z z = = x+yx+y， 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) z = x+yz = x+y B(3,9) C(4,8) A(18/5,39/5) 當(dāng)直線經(jīng)過點當(dāng)直線經(jīng)過點A A時時z=x+y=11.4z=x+y=11.4, ,但它不是最優(yōu)整數(shù)解但它不是最優(yōu)整數(shù)解. . 作直線作直線x+y=12x+y=12 x+y=12 解得交點解得交點B,C的坐標(biāo)的坐標(biāo)B(3,9)和和C(4,8) 調(diào)整優(yōu)值法調(diào)整優(yōu)值法 2x+y15, x+2y18, x+3y27, x0, xN* y0 yN* x 0 y 58 1. 1. 線性規(guī)劃的討論范圍：線性規(guī)劃的討論范圍：教材中討論了教材中討論了 兩個變量的線性規(guī)劃問題，這類問題可兩個變量的線性規(guī)劃問題，這類問題可 以用圖解法來求最優(yōu)解，但涉及更多變以用圖解法來求最優(yōu)解，但涉及更多變 量的線性規(guī)劃問題不能用圖解法來解；量的線性規(guī)劃問