聚焦2008年高考數(shù)學交匯試題的五大命題角度

1、聚焦2008年高考數(shù)學“交匯”試題的五大命題角度田彥武 寧夏銀川市第九中學 750001（Email：tywzshtomcom Tel“以能力立意”是新高考數(shù)學命題的指導思想隨著學習的深入，知識積累的增多，數(shù)學各部分知識在各自發(fā)展中的縱向聯(lián)系以及部分知識之間的橫向聯(lián)系日益密切，不失時機地構(gòu)筑知識網(wǎng)絡(luò)，并在各個階段逐步擴充與完善因此，高考在考查數(shù)學基礎(chǔ)知識的同時，注重數(shù)學學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，從而在知識網(wǎng)絡(luò)的“交匯點”處設(shè)計試題，這些試題運用知識之間的交叉、滲透和組合，是基礎(chǔ)性與綜合性的最佳表現(xiàn)形式這在近兩年高考中表現(xiàn)的尤為突出。2008年高考數(shù)學中將可能從如

2、下五種角度命制“交匯”性試題： 命題角度1：以函數(shù)作平臺，以導數(shù)為工具，考查方程、數(shù)列、不等式等知識例1 已知 (I)若k2，求方程的解； (II)若關(guān)于x的方程在(0，2)上有兩個解x1，x2，求k的取值范圍，并證明解：（）當k2時，當時，即或時，方程化為，解得，因為，故舍去，所以當時，即時，方程化為，解得由得當k2時，方程的解所以或 (II)不妨設(shè)0x1x22，因為，所以在（0,1上是單調(diào)函數(shù)，故在（0,1上至多一個解若1x1x22，則x1x20，故不符題意，因此0x11x22由得，所以；由得，所以；故當時，方程在(0，2)上有兩個解當0x11x22時，由此兩式消去k 得，即，因為x22，

3、所以點評：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用所學知識、分類討論等思想方法分析和解決問題的能力需要考生有較扎實的理論知識及較強的分析問題的能力，同時要具備良好的運算能力本題以函數(shù)作為主線，與方程聯(lián)袂，以求參數(shù)的取值范圍和證明不等式為最終歸宿，充分體現(xiàn)了主干知識在高考中的地位和要求，考查考生的綜合數(shù)學素養(yǎng)和各種能力例2 已知函數(shù),是方程的兩個根(),是的導數(shù),設(shè) (1)求的值；(2)已知對任意的正整數(shù)有,記,求數(shù)列的前項和解：(1)由已知條件及求根公式得, (2)， 數(shù)列是首項,公比為2的等比數(shù)列， 點評：本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、一元二次方程、對數(shù)、數(shù)列等基礎(chǔ)知識

4、，考查合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學思想方法以及抽象概括能力、邏輯推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識等本題以考生熟悉的一元二次方程作為基礎(chǔ)，聯(lián)系函數(shù)、導數(shù)和數(shù)列知識，使問題的綜合性得到進一步加強，真正體現(xiàn)優(yōu)秀考題的選拔功能命題角度2：以幾何為舞臺，考查函數(shù)性質(zhì)及導數(shù)應用等知識例3如圖1所示，等腰三角形ABC的底邊AB=，高CD=3，點E是線段BD上異于B、D的動點，點F在BC邊上，且EFAB，現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE，記BE，表示四棱錐P-ACEF的體積 （1）求的表達式； （2）當為何值時，V(x)取得最大值？ 圖1 （3）當取得最大值時，求異面直線AC與PF

5、所成角的余弦值 解：（1）由折起的過程可知，PE平面ABC，易得：，V(x)=（）（2），所以時， ，V(x)單調(diào)遞增；時 ，單調(diào)遞減；因此時，取得最大值（3）過F作MF/AC交AD與M,則，PM=，在PFM中， ，異面直線AC與PF所成角的余弦值為點評：本題主要考查函數(shù)、函數(shù)極值、導數(shù)及其應用、幾何體體積計算、空間兩異面直線所成角的計算等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想以及空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力本題以立體幾何搭建平臺，首先建立函數(shù)關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵，然后以導數(shù)作為工具求最值，實現(xiàn)知識的遷移和應用，思維跨度比較大，但順利自然，貼切而又生動，真正實現(xiàn)了知識之間的融合與交匯，考查了

6、學生的綜合思維品質(zhì)和駕馭數(shù)學知識解決數(shù)學問題的能力另外，第（3）問還可以用向量方法去解決，此處略例4如圖2，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值 圖2 圖3解：（I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖3），則點的橫坐標為，點的縱坐標滿足方程，解得，其定義域為（II）記，則令，得因為當時，；當時，所以是的最大值因此，當時，也取得最大值，最大值為，即梯形面積的最大值為點評：本題是一道靚題，以解析幾何為原材料，考查函數(shù)的基礎(chǔ)知

7、識及導數(shù)的應用，考查最值的求法，將函數(shù)與解析幾何兩塊主體內(nèi)容有機地滲透和聯(lián)系在一起這種在交匯點設(shè)計的試題，注重內(nèi)容的聯(lián)系性和知識的綜合性，既能增加知識的考查點，又能從學科整體的高度和思維價值的高度考慮問題，能對基礎(chǔ)知識考查達到必要深度，可謂視角獨特、回味無窮命題角度3：以平面向量為袈裟，考查三角、平面幾何和解析幾何等知識平面向量是高中數(shù)學教材中的新增內(nèi)容它的引入，不僅給高中數(shù)學教學帶來了無限生機，而且給高考數(shù)學命題也注入了新的活力，這是因為向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，它能將數(shù)學的很多知識聯(lián)系起來，成為數(shù)學知識的一個交匯點，故為近年來高考數(shù)學命題者所青睞例5已知向量，求函數(shù)的最大值，最小正

8、周期，并寫出f(x)在0，上的單調(diào)區(qū)間.解：=.所以，最小正周期為上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.點評：本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算和三角函數(shù)公式的變形使用以及三角函數(shù)的性質(zhì)這是以向量為背景和依托，考查三角知識的題目這種將三角函數(shù)與平面向量聯(lián)袂上演的題目會成為未來高考中的一個極大亮點，這樣命題不僅會使問題的綜合性得到進一步的加強，而且有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和綜合解決問題的能力例6、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點已知與共線，與共線，且求四邊形的面積的最小值和最大值解： QPNMFO如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0,1)，且PQMN，直線PQ、NM中至少有一條存

9、在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過點F(0,1)，故PQ的方程為=+1，將此式代入橢圓方程得(2+)+21=0設(shè)P、Q兩點的坐標分別為(，)，(，)，則從而，亦即(1)當0時，MN的斜率為，同上可推得，故四邊形的面積，令=得=2，當=1時=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)，；（）當=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=，S=|PQ|MN|=2綜合（）、（）知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為點評：本題將向量嵌入橢圓中，使問題情景生動而新穎，自然而貼切主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，向量共線與垂直的條件，均值不等式及分類討論的數(shù)學思想方法由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有

10、“數(shù)”的良好運算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設(shè)計試題，已逐漸成為高考命題的一個新亮點通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，目標是將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運算 命題角度4：以概率為最終歸宿，考查函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列、向量、幾何等知識例7已知一組拋物線，其中為2，4，6，8中任取的一個數(shù)，為1，3，5，7中任取的一個數(shù)，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們在與直線交點處的切線相互平行的概率是（ ）ABCD解：由已知條件可知組成條拋物線，從中任取2條的方法數(shù)為種，當時，而的值為13，11，9，

11、7，5的拋物線的條數(shù)分別為2，3，4，3，2，所以任取2條在處切線平行的有種，所以所求的概率為，選B點評：本題主要考查導數(shù)知識、排列組合知識、概率知識及綜合應用能力本題將函數(shù)、導數(shù)、排列組合與概率等知識內(nèi)容交叉滲透，充分考查了學生在新情景中采集信息、處理信息的能力和綜合運用數(shù)學知識分析、解決問題的能力這自然也是今后高考命題的一個新方向例8將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（）解：連續(xù)擲三次骰子出現(xiàn)點數(shù)的方法數(shù)為種，其中公差為0的等差數(shù)列有6個；公差為1或的等差數(shù)列有個；公差為2或的等差數(shù)列有個所以滿足題中條件的概率為，故選B點評：本題主要考查概率知識、排列組合知識及

12、等差數(shù)列的性質(zhì)這種多個知識點的“交匯”，不僅使問題本身具有新意，而且能較好地考查學生的綜合應用數(shù)學知識的能力和數(shù)學素養(yǎng)例9連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（ ）ABCD解：由于 ，所以與不共線，若滿足條件，則只須，其概率為，選C點評：本題主要考查概率、向量的綜合問題，考查學生分析問題和解決問題的能力該題用向量形式給出概率問題，將兩個“新”知識有機地柔和在一起，充分體現(xiàn)出明顯的區(qū)分度，拉開了檔次，讓人拍案叫絕！例10在正方體上任意選擇兩條棱，則這兩條棱相互平行的概率為 解：從正方體的12條棱任選2條的方法數(shù)為，從12條棱中選2條平行的棱的方法數(shù)為，所以所求概率為點

13、評：本題主要考查立體幾何與概率基礎(chǔ)知識，考查學生的綜合應用能力本題以立體圖形為依托，巧妙地將概率與立體幾何結(jié)合在一起，情景新穎而又別致，題目雖小，但知識含量不凡這也是今后概率命題的一個新趨勢命題角度5：以空間向量作為工具，考查立體幾何中線、面位置關(guān)系及角度和距離計算例11在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60，對角線AC與BD相交于點O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60PABCDOE（1）求四棱錐PABCD的體積；（2）若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值解：（1）在四棱錐P-ABCD中，由PO平面ABCD，得PBO是PB與平面ABCD所成的角

14、， PBO=60在RtAOB中BO=ABsin30=1， 由POBO，于是，PO=BOtg60=，而底面菱形的面積為2四棱錐P-ABCD的體積V=2=2（2）以O(shè)為坐標原點，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系在RtAOB中OA=，于是，點A、B、D、P的坐標分別是A(0，0)，B (1，0，0)， D (1，0，0)， P (0，0， )E是PB的中點，則E(，0，) 于是=(，0， )，=(0， ，)設(shè)的夾角為，有cos=異面直線DE與PA所成角的余弦值是點評：本題主要考查線面關(guān)系，直線與平面所成的角、異面直線所成的角以及四棱錐的體積考查空間想象能力和推理運算能力，考查用向量知識解決數(shù)學問題的能力第（2）小題也可用傳統(tǒng)方法解，此處略。例12如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且，是的中點（1）求點到面的距離；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求二面角的大?。ㄓ谜抑当硎荆┙猓海?）以為原點，分別為，軸建立空間直角坐標系則有，設(shè)平面的法向量為，則由知：；由知：取，則點到面的距離為zyx（2），所以異面直線與所成角的余弦值為（3）設(shè)平面的法向量為，則由知：；由知：取由