2020_2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)案含解析新人教A版選修2_1202103061134

1、3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及運(yùn)算律2.理解向量共線、向量共面的定義3.掌握共線向量定理和共面向量定理，會(huì)證明空間三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面.提升邏輯推理發(fā)展直觀想象授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第54頁(yè)基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)一空間向量的數(shù)乘運(yùn)算平面向量的數(shù)乘運(yùn)算是什么？滿足哪些運(yùn)算律？提示：(1)實(shí)數(shù)和向量a的乘積仍是一個(gè)向量(2)|a|a|.(3)a的方向當(dāng)0時(shí)，a的方向與a方向相同；當(dāng)0方向相同a的模是a的模的|倍0a0，其方向是任意的0方向相反(3)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律若，是實(shí)數(shù)，a，b是空間向量，則有分配律：(ab)ab；()aaa；結(jié)合律：(a)()a.知識(shí)點(diǎn)

2、二共線向量與共面向量(1)在學(xué)習(xí)平面向量時(shí)，共線向量是怎樣定義的？如何規(guī)定0與任何向量的關(guān)系？提示：方向相同或相反的兩向量稱為共線向量；0與任何向量是共線向量(2)對(duì)空間任意兩個(gè)向量a與b，如果ab，a與b有什么位置關(guān)系？反過來，a與b有什么位置關(guān)系時(shí)，ab?提示：類似于平面向量共線的充要條件，對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使ab(b0) (3)對(duì)空間任意兩個(gè)不共線的向量a，b，如果pxayb，那么向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系？反過來，向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系時(shí)，pxayb?提示：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一

3、的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使pxayb.知識(shí)梳理共線向量與共面向量共線(平行)向量共面向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一平面的向量叫做共面向量充要條件對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)使ab若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使pxayb推論如果l為經(jīng)過點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，那么對(duì)于空間任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使ta，其中a叫做直線l的方向向量，如圖所示若在l上取a，則式可化為t如圖，空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件

4、是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使xy或?qū)臻g任意一點(diǎn)O來說，有xy自我檢測(cè)1已知空間四邊形ABCD，M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，連接AM，AG，MG，則()等于()A.B.C. D.答案：A2滿足下列條件，能說明空間不重合的A，B，C三點(diǎn)共線的是()A. B.C. D|答案：C3對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a，b,2ab，它們一定是()A共面向量B共線向量C不共面向量D既不共線也不共面的向量答案：A授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第55頁(yè)探究一空間向量的數(shù)乘運(yùn)算教材P89練習(xí)2如圖，已知正方體ABCDABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上底面AC和側(cè)面CD的中心求下列各式中x，y的值：(1)x()；(2)xy；(3)xy

5、.解析：(1)在正方體中，x1.(2)AC()xy.(3)()，xy.例1已知ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外的一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y的值(1)xy；(2)xy.解析(1)如圖所示，由向量加法的平行四邊形法則可得()，.x，y.(2)22()22.x2，y2.方法技巧1.對(duì)向量進(jìn)行分解或?qū)ο蛄勘磉_(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，要準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量加法、減法的運(yùn)算法則，要熟悉數(shù)乘向量運(yùn)算的幾何意義，同時(shí)還要注意將相關(guān)向量向選定的向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化2在ABC中，若D為BC邊的中點(diǎn)，則()，這一結(jié)論可視為向量形式的中點(diǎn)公式，應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)熟練

6、掌握跟蹤探究1.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)(1)化簡(jiǎn)：；(2)設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且，若xyz，試求實(shí)數(shù)x，y，z的值解析：(1)().(2)()，所以x，y，z.探究二空間共線向量定理及其應(yīng)用教材P99習(xí)題3.1B組2題改編如圖，已知空間四邊形OABC中，OAOB，CACB，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，BC，CA的中點(diǎn)求證：四邊形EFGH是平行四邊形證明：E，F(xiàn)，G，H分別為OA，OB，BC，CA的中點(diǎn)，.222()2，ABEF，且|2|.同理HGAB，且|2|，四邊形EFGH是平行四邊形例2如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E在A

7、1D1上，且2，點(diǎn)F在對(duì)角線A1C上，且.求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線證明設(shè)a，b，c.因?yàn)?，所以，所以b，()()abc.所以abc.又bcaabc，所以.因?yàn)榕c有公共點(diǎn)E，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線方法技巧1.本題利用向量的共線證明了線線平行，解題時(shí)應(yīng)注意向量共線與兩直線平行的區(qū)別2判斷或證明兩向量a，b(b0)共線，就是尋找實(shí)數(shù)，使ab成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡(jiǎn)或用同一組向量表達(dá)跟蹤探究2.如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，判斷與是否共線解析：M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD，ABE

8、F都是平行四邊形，.又，2，即2.與共線探究三空間共面向量定理及其應(yīng)用閱讀教材P88例1如圖，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點(diǎn)O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，并且使k，求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面題型：空間四點(diǎn)共面的判定方法步驟：(1)由數(shù)乘運(yùn)算表示出向量，.(2)由向量減法運(yùn)算得出.(3)由、的關(guān)系得出、的關(guān)系，從而判定E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面例3已知A，B，C三點(diǎn)不共線，平面ABC外的一點(diǎn)M滿足.(1)判斷，三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)解析(1)因?yàn)?，所?32，所以33(22)()，因此322.故向量，共面(2)由(1)知向

9、量，共面，三個(gè)向量又有公共點(diǎn)M，故M，A，B，C共面，即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)方法技巧1.證明空間三個(gè)向量共面，常用如下方法：(1)設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量的線性組合，即若axbyc，則向量a，b，c共面；(2)尋找平面，證明這些向量與平面平行2對(duì)空間四點(diǎn)P，M，A，B可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點(diǎn)共面：(1)xy；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，xy；(3)(或，或)跟蹤探究3.已知A，B，M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，確定在下列條件下，點(diǎn)P是否與A，B，M一定共面(1)3；(2)4.解析：(1)3，()()，為共面向量，P與A，B，M共面(2)2()()2，根據(jù)空間向量共面的推論，點(diǎn)P位于平面ABM內(nèi)的充要條件是xy，P與A，B，M不共面授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第56頁(yè)課后小結(jié)利用向量的數(shù)乘運(yùn)算可以判定兩個(gè)向量共線、三個(gè)向量共面問題，進(jìn)而解決幾何中的點(diǎn)共線、點(diǎn)共面、線面平行等問題素養(yǎng)培優(yōu)混淆共面向量與共線向量的相關(guān)結(jié)論致誤已知e1，e2是兩個(gè)非零空間向量，如果e12e2，3e14e2，e18e2，則下列結(jié)論正確的是()AA，B，C，D四點(diǎn)共線BA，B，C，D四點(diǎn)共面CA，B，C，D不一定共面D無法確定A，B，C，D四點(diǎn)的