反證法畢業(yè)論文

1、畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目：中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法研究反證法 english title : study on the reductio ad absurdum in secondary school mathematics 所在學(xué)院 理學(xué)院 專業(yè)（系） 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí)（屆） 081011班 學(xué) 號(hào) 08101112 作者姓名 黃俊福 指導(dǎo)教師 李琪老師 二一二年六月摘 要 反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中的一種極其重要的數(shù)學(xué)方法，特別是對(duì)于一些直接證明比較難的問題來說，使用反證法去證明，將會(huì)變成非常簡單，思路非常的清晰，因此反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題得到了較為廣泛的應(yīng)用。反證法它主要是運(yùn)用了一種逆向思維的邏輯

2、進(jìn)行解題，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)。然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。因此在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中，常使用反證法的學(xué)生能夠更容易通過邏輯推理獲得答案，進(jìn)一步鞏固學(xué)習(xí)成績，提升邏輯思辨能力。 本文主要介紹反證法的概念、來源、本質(zhì)、基本思想以及反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中各個(gè)方面的一些應(yīng)用。對(duì)于反證法的使用時(shí)注意事項(xiàng)和使用反證法時(shí)的解題步驟做了一些的論述。關(guān)鍵字：反證法；立體幾何；平面幾何abstract a reductio ad absurdum in secondary school mathematics problem solv

3、ing process is extremely important mathematical methods, especially for directly prove more difficult, the use of reductio ad absurdum to prove, will become very simple, very clear ideas, so the reductio ad absurdum inthe secondary school mathematics problem solving has been more widely used. the re

4、ductio ad absurdum that it is mainly using the logic of reverse thinking, problem solving, it is first put forward a contrary assumption and the conclusion of the proposition. then proceed from this assumption correct reasoning, lead to contradictions, thereby negating the opposite assumption, to ac

5、hieve a certainly correct the original proposition. in secondary school mathematics problem solving process, students often use reductio ad absurdum can be more easily obtained through logical reasoning answer to further consolidate the academic performance, enhance logical thinking ability. this pa

6、per describes the reductio ad absurdum of the concept, the source, nature, the basic idea of reductio ad absurdum in mathematics in secondary schools in all aspects of the application. some discussion of the use of reductio ad absurdum of the notes and the use of reductio ad absurdum of the problem-

7、solving steps.key words: reduction to absurdity; solid geometry; geometry目 錄摘 要i緒 論11. 反證法的概念與來源21.1 反證法的概念21.2 反證法的來源21.2.1 古希臘的反證法21.2.2 中國古代數(shù)學(xué)的反證法31.2.3 反證法的其他來源42. 反證法的本質(zhì)及步驟52.1 反證法的本質(zhì)52.2 反證法的定義52.3 反證法的步驟53. 反證法的應(yīng)用63.1 反證法在代數(shù)中的應(yīng)用63.2 反證法在平面幾何中的應(yīng)用83.3 反證法在立體幾何中的應(yīng)用104. 畢業(yè)實(shí)習(xí)中的案例145. 總結(jié)與展望18致 謝19參

8、考文獻(xiàn)20緒 論近幾年，隨著大家對(duì)教育的關(guān)注，中、高考成為學(xué)生們展示自己個(gè)人實(shí)力的一個(gè)重要平臺(tái)，而數(shù)學(xué)將在這個(gè)平臺(tái)上起著非常重要的作用，因而數(shù)學(xué)的解題方法的探討以及熟練的運(yùn)用這些解題方法則成為學(xué)生們的制勝法寶，現(xiàn)如今，中學(xué)數(shù)學(xué)教材之中，數(shù)學(xué)思想貫穿于整個(gè)教材的每個(gè)部分，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的媒介，將數(shù)學(xué)試題和數(shù)學(xué)思想結(jié)合起來，幾乎已經(jīng)滲透到了所有的數(shù)學(xué)教學(xué)過程之中。運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)解題方法，通過正確的分類可使復(fù)雜的問題得到完整、清晰、嚴(yán)密的解答。而反證法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域一枝獨(dú)秀。反證法不僅僅在初等數(shù)學(xué)中有著非常廣泛 的應(yīng)用，就是在高等數(shù)學(xué)中也可能具有特殊作用。數(shù)學(xué)中的某些重要結(jié)論，從最基本的性質(zhì)和定理，

9、對(duì)于某些難度較大的世界名題，往往都要用到反證法去證明的。因此，我選擇了反證法這個(gè)論文方向，希望能夠通過對(duì)反證法的研究，使我們能夠更加清楚地認(rèn)識(shí)到反證法這種方法，對(duì)培養(yǎng)中學(xué)生逆向思維，解決數(shù)學(xué)問題提供了一個(gè)很好的方向。這篇論文主要先從反證法的概念，來源，本質(zhì)的一些反證法的概念出發(fā)，通過對(duì)于反證法的本質(zhì)的理解，使它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的各個(gè)方面、領(lǐng)域中的應(yīng)用。1. 反證法的概念與來源1.1 反證法的概念反證法是一種間接法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)。然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定愿命題正確的一種方法。1.2 反證法的來源1.2.1 古希臘的反證法 反證

10、法,無論是邏輯上的還是數(shù)學(xué)上的,它的概念都是一致的。即是反證法是證明的一種方法。西方數(shù)學(xué)在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的影響下,認(rèn)為萬物皆數(shù)。用整數(shù)和幾何圖形構(gòu)建一個(gè)宇宙圖式。但隨著這個(gè)表征數(shù)學(xué)史第一次危機(jī)“ 2”的問題的出現(xiàn),使得希臘人重新審視了自己的數(shù)學(xué),這最終導(dǎo)致希臘人放棄了以數(shù)為基礎(chǔ)的幾何。第一次危機(jī)使人們不能再依靠圖形和直觀了,須要更多的依靠推理和邏輯;同時(shí)危機(jī)還使幾何學(xué)拒絕了無窮小。此時(shí)西方的數(shù)學(xué)成為以證明為主的證明數(shù)學(xué),他們要準(zhǔn)確的數(shù)學(xué),或者是他們推崇準(zhǔn)確性的數(shù)學(xué)。表現(xiàn)形式就是:邏輯、演繹的體系。由此可見它是指證明的數(shù)學(xué)與算的數(shù)學(xué)正好相反。即使希臘人也講計(jì)算,但是他們認(rèn)為計(jì)算是初等的、低級(jí)的，

11、是幾何證明以后的一個(gè)應(yīng)用而已。他們重視數(shù)學(xué)的演繹和證明,提出:希臘人除了重視演繹和邏輯的證明外也研究數(shù)值計(jì)算(尤其在希臘后期) ,但是希臘數(shù)學(xué)界認(rèn)為數(shù)值計(jì)算是一種理論證。形式邏輯的發(fā)展與反對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用在實(shí)踐的思潮對(duì)數(shù)學(xué)的影響深刻,柏拉圖提出數(shù)學(xué)應(yīng)從自明的絕對(duì)假設(shè)開始,通過系列的邏輯推論，而在最后達(dá)到所要求的結(jié)論。亞里士多德更是努力地把形式邏輯應(yīng)用于數(shù)學(xué),第一，首先他研究數(shù)學(xué)概念,而且他不同意畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的觀點(diǎn)；第二,他先承認(rèn)通則(公設(shè)) ,他提出數(shù)學(xué)的證明只是把原有道理畫出來,問題就可以解決了。幾何原本就是在這樣的一種情況下的產(chǎn)物。西方數(shù)學(xué)界在處理圓的面積時(shí)采用了與同東方截然不相同

12、的演繹證明方法,同時(shí)也體現(xiàn)出他們所需要的“不要近似”思想。西方歐克托斯的反證法就是基于兩個(gè)正多邊形的面積比等于其對(duì)應(yīng)線段比的平方的這個(gè)結(jié)論?！八_謝利讀歐幾里得的原本,簡直備他得力的歸謬法吸引了, 在薩謝利的邏輯證明的內(nèi)容中,有創(chuàng)建的是:把歸謬法應(yīng)用于歐幾里得平行公設(shè)的研究,而且被允許印一本標(biāo)題為排除任何謬誤的歐幾里得的小書”,當(dāng)然，我們這里所說的歸謬法即我這所研究反證法,因此這是非歐幾何的肇始，并且也說明早在幾何原本中就已經(jīng)開始運(yùn)用反證法了。1.2.2 中國古代數(shù)學(xué)的反證法在我們中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中,本身對(duì)于演繹的證明一般就不太重視，而且中國傳統(tǒng)邏輯學(xué)的不完備,盡管我們中國的先輩們認(rèn)識(shí)到了一些邏輯

13、規(guī)律，并且在魏晉時(shí)期就已經(jīng)大興辯難之風(fēng),但是他們大多使用的都是類似于反駁,當(dāng)然其中使用到反駁中常使用的歸謬法,劉徽受到它的影響下，在他為九章算術(shù)作注釋時(shí)也多次采用了歸謬論證法，墨子也使用歸謬法。但是應(yīng)該指出：明確的反證法的用法卻是鳳毛麟角。在這一點(diǎn)上與西方存在著差別極大。而西方無論是在邏輯中,還是數(shù)學(xué)中都認(rèn)為反證法是一種普通的證明方法。而在中國數(shù)學(xué)中,即便是劉徽這位我國古代在理論與邏輯方面都很擅長的數(shù)學(xué)大師,也只是用到了反駁(如:舉反例)。證明與反駁在科學(xué)的發(fā)現(xiàn)中同樣重要。證明只能用于證實(shí)猜想，因?yàn)檫@是個(gè)驗(yàn)證過程，通常不會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。當(dāng)然這并不絕對(duì),因?yàn)樵谧C明的過程中會(huì)用到一些新知識(shí)，或因之開

14、辟出新領(lǐng)域。那些堅(jiān)持只有猜想才會(huì)有創(chuàng)新、發(fā)明的人經(jīng)常忽視這一點(diǎn)，同時(shí),鑒于反證法的特殊性借助一個(gè)邏輯中介證實(shí)的過程，使用反證法的過程中可以有所發(fā)現(xiàn)，它不僅解決許多難以證明的課題,而且有時(shí)運(yùn)用反證法還可以為數(shù)學(xué)開拓出新的天地。例如：人們?cè)谠噲D證明第五公設(shè)的過程中，由于考慮到它可能有其它的定理或公設(shè)推出，但是直接證明這個(gè)猜想并不容易，于是出于對(duì)反證法邏輯的信任,采用反證法證明，但一直推不出矛盾，在這一事實(shí)的啟發(fā)下，逐步形成了非歐幾何的思想，有利地促進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展。窮竭法和反證法并未真正解決無限問題。鄒大海先生的工作中提到“劉徽未將求微數(shù)的程序進(jìn)行到底，可見他對(duì)于無限，也只是把它作為處理問題的手段

15、和方法，而沒有把它本身作為研究對(duì)象。劉徽仍未擺脫中國古算講求實(shí)際的傳統(tǒng)影響，在他的方法能滿足實(shí)際需要之后，再去探討無限更深層次的問題的動(dòng)因就大大減弱了。加之比較成熟的歸謬法也沒有發(fā)展起來對(duì)于由開方術(shù)過程來確認(rèn)無理數(shù)是否存在這樣的問題，沒有富有成效的歸謬法。是難以解決的,而歸謬法不僅不是中國古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng),而且還是中國古代哲學(xué)思維的薄弱環(huán)節(jié)”。此處的“歸謬法”，是指以反證法為核心以窮竭法為理論基礎(chǔ)的方法.就上述可知,劉徽以及當(dāng)時(shí)思想家們已能熟練地使用歸謬法，在西方則有含窮竭法的反證法，但是從反證法的實(shí)質(zhì)及其所起的作用來看,它并未解決無限問題。1.2.3 反證法的其他來源1 墨子的“歸謬法”。例如

16、:“學(xué)之益也,說在誹者?！蓖ㄟ^證明“學(xué)習(xí)無益”是假,而得到“學(xué)習(xí)有益”的命題是真。這是一個(gè)非常有意思的反證法的特例。而將其歸為歸謬論證欠妥切,歸謬是反駁的一種方法,顯然在這里是證明一個(gè)命題為真。即便是反證法里運(yùn)用了歸謬法,但是它們二者之間有質(zhì)的不同。這種表述完整的反證法模式在我們中國的邏輯史上也比較鮮見。這種方法沒有被中算家注意與應(yīng)用是十分可惜。2 劉徽的“證偽法”。在我們的數(shù)學(xué)中,我們都只將證明與反駁對(duì)應(yīng)為直接證明、歸謬法(如反例法)與間接證明(如反證法)。從這意義來說,劉徽他并沒有使用過反證法,他僅僅只是在使用歸謬法,只是在推翻一些假命題,即在證偽。這與運(yùn)用反證法有很大的差別,可以說中算史

17、中沒有反證法，當(dāng)然更加沒有人使用過它。劉徽證明九章算術(shù)里面的某些公式是錯(cuò)誤的方法是反駁。劉徽的大多數(shù)的反駁都是成功的,符合邏輯規(guī)律。3 證明與反駁在科學(xué)的發(fā)現(xiàn)中同樣起著非常重要的作用。我們知道證明僅能對(duì)猜想予以證明,通常我們證明某個(gè)猜想時(shí)是不會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)的,因?yàn)樽C明只是在驗(yàn)證某個(gè)結(jié)論。當(dāng)然不是絕對(duì)的,因?yàn)樵谧C明的過程中也許會(huì)用到一些新知識(shí),或因它開辟出新領(lǐng)域。同時(shí),由于反證法的特殊性,它是證實(shí)的一個(gè)過程,但是實(shí)質(zhì)上借助一個(gè)邏輯中介又是在證偽，因而反證法可以發(fā)現(xiàn)真理。2. 反證法的本質(zhì)及步驟2.1 反證法的本質(zhì)反證法的實(shí)質(zhì)是傳統(tǒng)邏輯中排中律的應(yīng)用,事實(shí)上, 命題的結(jié)論q要么真，要么假。反證法從出

18、發(fā)，只要能導(dǎo)致矛盾(或與其他真命題矛盾, 或與已知事項(xiàng)p 矛盾) 就行，而這種矛盾的發(fā)生全在于互, 所以互不能成立 既然互不能成立，則q 成立便是必然的了。2.2 反證法的定義 在證明一個(gè)命題時(shí),先假設(shè)命題不成立，從這樣的假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、公理、定理等矛盾，從而得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的，即所求證的命題正確.這種證明方法叫做反證法。2.3 反證法的步驟1. 反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，從而其反面成立；2. 歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，通過正確的推理，導(dǎo)出矛盾與已知條件、公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；3. 結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，產(chǎn)生矛盾的原因在于“

19、反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立。 運(yùn)用反證法的關(guān)鍵在于導(dǎo)致矛盾。在數(shù)論中，不少問題是通過奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。3. 反證法的應(yīng)用3.1 反證法在代數(shù)中的應(yīng)用1. 用反證法證明的一些定理。例1：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。已知：,求證：。證明：假設(shè)，那么：，上式兩邊平分得即即這與是非負(fù)數(shù)相矛盾所以是不可能的因此：。2. 用反證法證明無理數(shù) 例2：已知：、是無理數(shù)。 求證：也是無理數(shù)證明：假設(shè)是有理數(shù)，則（p,為互質(zhì)的正整數(shù)） 兩邊平方 整理得 上式左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，自相矛盾。 是無理數(shù)。3. 用反證法證明否定性命題例3：設(shè)，是公比不相等

20、的兩個(gè)等比數(shù)列，證明數(shù)列不是等比數(shù)列。證明：假設(shè)是等比數(shù)列，則 即：整理得： （*） ，是等比數(shù)列 ，由（*）式可得 設(shè)：，則 即： 這與已知矛盾，因此不是等比數(shù)列。3.2 反證法在平面幾何中的應(yīng)用1. 證明幾何量之間的關(guān)系例4：已知：四邊形abcd中，e、f分別是ad、bc的中點(diǎn)，。求證：。證明：假設(shè)ab不平行于cd。如圖3-1，連結(jié)ac，取ac的中點(diǎn)g，連結(jié)eg、fg。e、f、g分別是ad、bc、ac的中點(diǎn)，；，。ab不平行于cd，ge和gf不共線，ge、gf、ef組成一個(gè)三角形。 但 與矛盾。 圖3-1上面所舉的例子，用直接證法證明都比較困難，尤其是證兩條直線是異面直線，常采用反證法。2

21、. 證明“唯一性”的問題在幾何中需要證明符合某種條件的點(diǎn)、線、面只有一個(gè)時(shí)，稱為“唯一性”問題。例5：過平面上的點(diǎn)a的直線，求證：是唯一的。證明：假設(shè)不是唯一的，則過a至少還有一條直線，、是相交直線，、可以確定一個(gè)平面。設(shè)和相交于過點(diǎn)a的直線。，。這樣在平面內(nèi)，過點(diǎn)a就有兩條直線垂直于，這與定理產(chǎn)生矛盾。所以，是唯一的。關(guān)于唯一性的問題，不僅在平面幾何中存在，在代數(shù)、空間幾何、三角函數(shù)等中都又存在。這一類問題如果使用直接證法證明可能會(huì)相當(dāng)困難，那么在這種情況下，一般都采用間接證法。即用反證法證明，這樣從反面出發(fā)，從結(jié)論出發(fā)，也許會(huì)有意想不到的效果。3. 證明“不可能”問題平面幾何問題中有一類問

22、題，是要證明某個(gè)圖形不可能存在某種性質(zhì)或者要證明具有某種性質(zhì)的圖形不存在。它們的結(jié)論命題一般都是以否定形式出現(xiàn)的，若用直接證法證明將會(huì)有一定的困難。而它的否定命題則是具有某種性質(zhì)的圖形存在或者某個(gè)圖形具有某種性質(zhì)，因此，這類問題一般非常適宜用反證法。例6：求證：拋物線不存在漸近線。證明：設(shè)拋物線的方程是()。假設(shè)拋物有漸近線，漸近線的方程是，易知、都不為0。因?yàn)闈u近線與拋物線相切于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，于是方程組 的兩組解的倒數(shù)都是0。將（2）代入（1），得 （3）設(shè)、是（3）的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，可知，則， （4）， （5）由（4）、（5），可推得，這于假設(shè)矛盾。所以，拋物線不存在漸近線。關(guān)于“不可能”

23、問題是幾何中非常重要也是最常見的一種類型。由于它們的結(jié)論一般是以否定形式出現(xiàn)，如果采用直接證法有些困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明。4. 證明“至少存在”或“不多于”問題在幾何中存在一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質(zhì)的圖形至少有一個(gè)或不多于幾個(gè)。由于這類問題能找到直接論證的理論根據(jù)很少，用直接證法有一定困難。如果采用反證法，添加了否定結(jié)論這個(gè)新的假設(shè)，就可以推出更多的結(jié)論，容易使命題獲證。例7：已知：四邊形abcd中，對(duì)角線ac=bd=1。求證：四邊形中至少有一條邊不小于。證明：假設(shè)四邊形的邊都小于，由于四邊形中至少有一個(gè)角不是鈍角（這一結(jié)論也可用反證法證明），不妨設(shè)，根據(jù)余弦定

24、理，得，即。這與已知四邊形bd=1矛盾。所以，四邊形中至少有一條邊不小于。3.3 反證法在立體幾何中的應(yīng)用1. 用反證法證明一些基本定理 我們知道，所謂證明，就是利用已經(jīng)學(xué)過的公理，定義和定理，用推理的方法，去證明新命題的正確或錯(cuò)誤。但在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中，按公理化的方法，最初建立的僅是數(shù)量不多的定義和公理o因此，證明某些原始的性質(zhì)或定理，常常難以運(yùn)用直接證法找出論據(jù)、也就是說，還沒有公理，定義或定理可以利用（或較困難）在這種情況下，可采用反證法證明。全國統(tǒng)編教材立體幾何前面的基本定理，大部分都可以用反證法證之例8：直線與平面平行的判定定理 如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這

25、條直線和這個(gè)平面平行。已知：直線/直線，求證： 圖3-2 這個(gè)定理，教科書是用反證法證明的。為什么用反證法而不用直接證法？我們?cè)嚰右苑治觥?從結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行考察。欲證即證明與沒有公共點(diǎn)怎樣證明直線與平面沒有公共點(diǎn)呢？是否有這方面的公理，定理可以直接利用呢？我們只學(xué)過直線與平面平行的定義。 “直線與平面沒有公共點(diǎn)叫直線與平面平行”。而我們要證明的定理恰好是“直線與平面沒有公共點(diǎn)”，也就是說，到目前為止，我們無法判斷與是否沒有公共點(diǎn)。因?yàn)檫€沒有這方面的定理，公理可以利用，所以要直接證明“與沒有公共點(diǎn)”是很困難的，甚至是不可能的為此，我們可以從它的逆否命題入手去考察。逆否命題是：如果直線a與平面有公

26、共點(diǎn)，那么直線a與直線不平行。因?yàn)槠矫嫱獾囊粭l直線與平面的位置關(guān)系只有兩種情況。有一個(gè)公共點(diǎn)，沒有公共點(diǎn)。這是兩種互相矛盾的判斷，不能同假，必有一真。如果“有公共點(diǎn)”這個(gè)判斷是錯(cuò)誤的，那么“沒有公共點(diǎn)”這個(gè)判斷就是正確的了。而假設(shè)有公共點(diǎn)，是很容易導(dǎo)致矛盾的。所以教科書采用反證法證之，使得證明來得簡練又確切。 證明：假設(shè)與不平行， 因?yàn)?，所以與必相交，設(shè)a 圖3-3 在平面內(nèi)過a點(diǎn)引直線c，使c/，這時(shí)，c/b，故。 而 這與公理“平行于同一條直線的另兩條直線互相平行”相矛盾 與不平行是錯(cuò)誤的，故 2. 用反證法證明否定性命題 例9： 兩條異面直線不能同時(shí)垂直于同一個(gè)平面證明：假設(shè)兩條異面直線

27、能同時(shí)垂直于同一個(gè)平面，那么根據(jù)“直線與平面垂直的性質(zhì)定理，如果兩條直線同時(shí)垂直予一個(gè)平面，那么達(dá)兩條直線平行”，達(dá)兩條異面直線必平行，因而它在同一平面內(nèi)，自相矛盾。所以兩條異面直線不能同時(shí)垂直于同一個(gè)平面。3. 用反證法證明兩直線是異面直線例10 ：四面體相對(duì)兩棱所在的直線是異面直線。已知：如圖3-3-3，abcd是四面體 圖3-4求證：ab、cd；ad、bc；bd、ac分別是異面直線。證明：先證ab、cd是異面直線，設(shè)ab、cd不是異面直線，即ab、cd相交或平行，那么ab、cd在同一平面上，那么a、b、c、d四點(diǎn)共面，這與已知abcd是四面體矛盾，所以ab、cd是異面直線。 同理可證：a

28、d、bc；bd、ac也是異面直線。 4. 用反證法證明“唯一”性命題例11：試證：過直線上一點(diǎn)a，有且只有一個(gè)平而和這條直線垂直。 已知：直線及上一點(diǎn)a， 求證：過a點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和這條直線垂直。 證明 存在性：如圖3-5： 圖3-5 過直線任作兩個(gè)相交平面、，在、內(nèi)過a點(diǎn)分別作與垂直的直線ac，ab，那么過ac，ab確定的平面就與垂直（直線與平面垂直的判定定理） 唯一性： 假設(shè)除了平面外還有一個(gè)平面與垂直，那么過任作一個(gè)平面，分別與，交于、，并且有，。這就是說，過直線上一點(diǎn)a在平面內(nèi)有兩條直線同時(shí)垂直，這是不可能的。故過直線上一點(diǎn)只有一個(gè)平面和這條直線垂直。5. 用反證法證明“必然性”的

29、命題 例12： 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線必然在第一個(gè)平而內(nèi)。 已知： ，, 求證：。 證明 假設(shè)，過a點(diǎn)在內(nèi)作直線，如圖。則（兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面） 又 ab/ac（垂直于同一平面的兩條直線平行） 這與矛盾 因此,ab. 通過上述例題說明，今后在證明時(shí)，要靈活應(yīng)用證題方法，若直接法簡捷就用直接法，若反證法簡捷則用反證法。一般來說，對(duì)于上述所列五種類型的證明題，反證法都能收到良好的效果。4. 畢業(yè)實(shí)習(xí)中的案例在實(shí)習(xí)時(shí)，我們正好學(xué)習(xí)到反證法這一節(jié)，因此，對(duì)于反證法這一證明方法，

30、我首先我把反證法的概念，本質(zhì)，背景，以及步驟，然后講解了反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，而對(duì)于反證法的注意事項(xiàng)，什么時(shí)候，什么類型的題目應(yīng)該運(yùn)用反證法去證明，我們進(jìn)行了總結(jié)。例(1)：用反證法證明:圓兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。 . 圖4-1已知：如圖4-1，在圓o中，弦ab與cd交于點(diǎn)p，且ab，cd不是直徑。求證：弦ab與cd不能被p點(diǎn)平分。證明：假設(shè)弦ab與cd能被p點(diǎn)平分，由于p點(diǎn)一定不是圓心o，連結(jié)op，根據(jù)垂徑定理推論，有opab,op cd即過p點(diǎn)有兩條直線ab,cd與op都垂直,這與垂線性質(zhì)矛盾.弦ab與cd不能被p點(diǎn)平分。例（2）：求證:若一個(gè)整數(shù)的平方是偶數(shù),則這個(gè)數(shù)也是偶

31、數(shù).證明：假設(shè)這個(gè)數(shù)是奇數(shù),可以設(shè)為2k+1，則有：而，明顯不是偶數(shù)由此可以得出結(jié)論明顯與原命題不符合則可以得出原命題是正確的。例（3）：如圖4-2，設(shè)sa、sb是圓錐so的兩條母線，o是底面圓心，c是sb上一點(diǎn)。求證：ac與平面sob不垂直。【分析】結(jié)論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設(shè)“垂直”后再導(dǎo)出矛盾后，再肯定“不垂直”。 圖4-2【證明】 假設(shè)ac平面sob， 直線so在平面sob內(nèi)， acso， so底面圓o， soab， so平面sab， 平面sab底面圓o，這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立。即ac與平面sob不垂直。例（4）：若下列方程：x4ax4a30， x(a

32、1)xa0, x2ax2a0至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。【分析】 三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的反面情況僅有一種：三個(gè)方程均沒有實(shí)根。先求出反面情況時(shí)a的范圍，再所得范圍的補(bǔ)集就是正面情況的答案?！窘狻?設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)根，則有：,解得,即a1。所以當(dāng)a1或a時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根。例（5）. 給定實(shí)數(shù)a，a0且a1，設(shè)函數(shù)y (其中xr且x)，證明：.經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸； .這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線yx成軸對(duì)稱圖像。(88年全國理)?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小?，假設(shè)“平行”后得出矛盾從而推翻假設(shè)?！咀C明】 設(shè)m(x,y)、m(x

33、,y)是函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，則xx,假設(shè)直線mm平行于x軸，則必有yy，即整理得a(xx)xxxx a1， 這與已知“a1”矛盾， 因此假設(shè)不對(duì)，即直線mm不平行于x軸。 由y得axyyx1,即(ay1)xy1,所以x，即原函數(shù)y的反函數(shù)為y，圖像一致。由互為反函數(shù)的兩個(gè)圖像關(guān)于直線yx對(duì)稱可以得到，函數(shù)y的圖像關(guān)于直線yx成軸對(duì)稱圖像?！咀ⅰ繉?duì)于“不平行”的否定性結(jié)論使用反證法，在假設(shè)“平行”的情況下，容易得到一些性質(zhì)，經(jīng)過正確無誤的推理，導(dǎo)出與已知a1互相矛盾。第問中，對(duì)稱問題使用反函數(shù)對(duì)稱性進(jìn)行研究，方法比較巧妙，要求對(duì)反函數(shù)求法和性質(zhì)運(yùn)用熟練。通過上述例題，我們可以得出反證法的

34、注意事項(xiàng)和宜用反證法的類型。 宜用：（1）以否定性判斷作為結(jié)論的命題；（2）某些定理的逆命題；（3）：以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陳述的命題；（4）關(guān)于“唯一性”結(jié)論的命題；（5）解決整除性問題；（6）一些不等量命題的證明；（7）有些基本定理或某一知識(shí)體系的初始階段；（8）涉及各種“無限”結(jié)論的命題等等。用反證法證題時(shí),應(yīng)注意的事項(xiàng)：（1）周密考察原命題結(jié)論的否定事項(xiàng)，防止否定不當(dāng)或有所遺漏；（2）推理過程必須完整，否則不能說明命題的真?zhèn)涡?；?）在推理過程中，要充分使用已知條件，否則推不出矛盾，或者不能斷定推出的結(jié)果是錯(cuò)誤的。 反證法在初等數(shù)學(xué)中應(yīng)用比較普遍,教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生并不習(xí)慣使用這種方法,甚至根本就想不到,這與中學(xué)的數(shù)學(xué)教育有關(guān)。更重要的是反證法在初等數(shù)學(xué)里用的很少,只是在立體幾何中當(dāng)命題的結(jié)論涉及到無限個(gè),或證明唯一性時(shí)才會(huì)用到,另外與中國的傳統(tǒng)文化、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)也不無關(guān)系。文化已經(jīng)深深地積淀在我們的潛意識(shí)里,對(duì)我們思維起到了遷移默化作用。我們的潛意識(shí)及日常生活中多用反駁很少用到反證法,在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里只有通過有意識(shí)訓(xùn)練,才會(huì)變?yōu)樽约旱囊环N證明方法。5. 總結(jié)與展望反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法中的一種重要的方法。牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”。一般來講，反證法常用它來證明的題型有：命題的結(jié)論以