高等數(shù)學(xué)章節(jié)作業(yè)

1、章節(jié)作業(yè)第一章 行列式一、單項(xiàng)選擇題1.行列式 ( a ). a. 1 b. 0 c. -1 d. 22.行列式的充分必要條件是 ( c ).a. b. c.且 d. 或3行列式 ( d ). a. 1 b. 0 c. -1 d. 5 4.行列式 ( c ). a. 1 b. 0 c. -18 d. 65.若，則 ( d ). a. 1 b. -2 c. -3 d. 66.若三階行列式，則 ( b ). a. m2 b. -m2 c. m4 d. -m47.設(shè)，則 ( c ). a. 5 b. 10 c. 20 d. 68.若，則d1= ( b ).a. 8 b. -60 c. 24 d. -

2、249.行列式中，元素的代數(shù)余子式的值為 ( b ).a. 24 b. 42 c. -42 d. -2410.設(shè)四階行列式d的第三列元素為-1，2，0，1，它們的余子式的值依次分別為-2，-5，-9，4，則d= ( a ).a. -4 b. 8 c. 16 d. 1211.當(dāng)（ ）成立時(shí)，階行列式的值為零. ( b ).a. 行列式的主對(duì)角線上的元素全為零b. 行列式中零元素的個(gè)數(shù)多于n個(gè)c. 行列式中每行元素之和都相等d. 行列式中每行元素之和都為零12.下列結(jié)論不正確的是 ( d ).a. 若上三角形行列式的主對(duì)角線上的元素全為零，則行列式的值為零.b. 若行列式中有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例，則

3、行列式的值為零.c. 若行列式中某行元素都是零，則行列式的值為零.d. 行列式中每列元素之和都相等，則行列式的值為零.13.設(shè)，則下式中正確的是 ( d ).a. b. c. d. 14.若方程組有非零解，則k取值為 ( c ).a. b. c. d. 15.若方程組僅有零解，則 ( c ).a. b. c. 且 d. 或 二、填空題1.若行列式，則k = 3 .2.行列式 8+2a3- 6a2 .3.行列式 0 .4.行列式 6 .5. .6.行列式 （a2-b2）2 .7.若，則x = -3或1 .8.行列式 0 .9.行列式 -24 .10. 中的代數(shù)余子式的值為 -3 .11. 已知四

4、階行列式d中第二列元素依次為：1，2，0，-1，它們的余子式依次分別為：2，1，3，-1，則d = 1 .12.設(shè)五階行列式d=2，對(duì)d做以下變換：先交換d的第一行與第五行，再轉(zhuǎn)置，用2乘以所有元素，再用-3乘以第二列后加到第四列，則行列式d的值為 -12 .13.按第三列展開計(jì)算行列式 a+b+d .14.n階行列式 xn+（-1）n+1bn .15.已知方程組有非零解，則的值為 1或-2 .16.當(dāng)方程組 滿足_d=/0_時(shí)，有唯一零解. 三、計(jì)算題1. ； 2. ； 3. ； 4. ；5. ； 6. 6. ；7. ； 8. 8. ； 9. ； 10. ；11. ； 12.；13. ；14

5、. ；15. . 四、證明題1.； d=解2. ；3. ；4. = 0. 五、用克萊姆法則解下列線性方程組：1. ； 2. ；3. ；4. .第二章 矩陣一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)矩陣a=，b=，則2a+3b= ( a ). a. b. c. d. 2.已知方陣a=，則|a|，|2a|的值依次為 ( b ). a. -13，-26 b. -13，-104 c. 13，26 d.-13，1043.設(shè)n階方陣a的行列式|a|=a，則|a|a|= ( d ). a. b. c. d. 4.設(shè)矩陣asn,bnm,則下列運(yùn)算有意義的是 ( b ).a. a2 b. ab c. ba d. abt5.設(shè)矩陣=,

6、下列矩陣中能乘在a的右邊是( a ). a. b. (b1 b2 b3) c. d.6.若a=(1，2，3)，b=(1，2，3，4)，則(atb)t是 ( c ).a. 13矩陣 b. 34矩陣 c. 43矩陣 d. 14矩陣7.設(shè)a, b均為n階非零方陣,下列正確的是 ( d ).a. (a+b)(a-b) = a2-b2 b. (a+b)2 = a2+2ab+b2 c.若ab = o，則a = o或b = o d. |ab| = |a| |b| 8.設(shè)a，b均為同階方陣，則下列結(jié)論正確的是 ( c ).a. (ab)t =atbt b. aat = at ac.若a=at，則(a2)t=a

7、2. d.若a=at, b=bt,則(ab)t =ab. 9.設(shè)a是任意一個(gè)n階矩陣，那么下列是對(duì)稱矩陣的是 ( d ). a. at+a b. at-a c. a- at d. a2 10.設(shè)a，b，c均為n階非零方陣，下列選項(xiàng)正確的是 ( b ).a.若 ab=ac，則b=c b. (abc)2 = a2b2c2 c. abc= bca d. |abc| = |a| |b| |c| 11.設(shè)a，b均為n階方陣,則等式(a+b)(a-b) = a2-b2成立的充分必要條件是 ( d ).a. a=e b. b=o c. a=b d. ab=ba 12.若矩陣a，b滿足ab=e，且abc有意義

8、，則下列選項(xiàng)正確的是 ( b ).a. ba=e b. a, b 都是可逆矩陣 c. a-1=b d. abc = c 13.設(shè)a，b均為n階可逆方陣，則下列等式成立的是 ( d ).a. ab=ba b.c. d.14.設(shè)a是n階可逆矩陣，a*是a的伴隨矩陣，則 ( b ).a. | a*|=|a| b. | a*| = |a|n-1 c. | a*| = |a|n d. | a*| = |a|-115.矩陣的伴隨矩陣是 ( b ). a. b. c. d. -16.設(shè)a是三角形矩陣，若主對(duì)角線上元素( c )，則a可逆.a.全都為零 b.可以有零元素 c.不全為零 d.全不為零17.已知二

9、階方陣a=，則a的逆矩陣a-1 = ( b ). a. b. c. d.18.設(shè)n階矩陣a、b、c滿足abc=e，則c-1 = ( a ). a. ab b. ba c. a-1b-1 d. b-1a-119.若a為二階方陣，且a的行列式|a|=-2，則|-2(a-1)t| = ( c ).a. -4 b. 1 c. 2 d. 820.若a，b，c皆為n階方陣，則下列關(guān)系中，不一定成立的是( b ).a. a+b=b+a b.(a+b)+c=a+(b+c) c. ab=ba d. (ab)c=a(bc)21.若a，b皆為n階可逆方陣，則下列關(guān)系式中，一定成立的是( c ).a. (a+b)2

10、= a2+2ab+b2 b. (a+b)-1 = a-1+b-1 c. (ab)-1 = b-1a-1 d. (ab)t= at bt22.下列結(jié)論正確的是 ( d ). a. a，b均為方陣，則 ( k 2，kn ). b. a，b為n階對(duì)角矩陣，則ab=ba. c. a為方陣，且a2 = o,則a = o. d. 若矩陣ab=ac，且ao，則b=c.23.設(shè)a是二階可逆矩陣，則下列矩陣中與a等價(jià)的矩陣是( d ). a. b. c. d.24.已知二階矩陣的行列式|a|= -1，則(a*)-1 = ( a ). a. b. c. d.25.下列矩陣中不是初等矩陣的是 ( c ).a. b.

11、 c. d.26.設(shè)a, b, c為同階方陣，則(abc)t = ( b ). a. atbtct b. ctbtat c. ctatbt d. atctbt27.設(shè)n階方陣a是滿秩矩陣，下列結(jié)論不成立的是 ( b ).a. r(at)= n b. |a|= 0 c. |a|0 d. a可逆28.設(shè)矩陣的秩為1，則 ( a ).a. t =2 b. t = 1 c. t = -1 d. t = -2 29.設(shè)矩陣的秩為1，則 ( a ).a. t =6 b. t = -6 c. t = 1 d. t = -2 30.設(shè)矩陣的秩為2，則 ( a ).a. b.t = -4 c. t是任意實(shí)數(shù) d

12、.以上都不對(duì)31.設(shè)矩陣a的秩為r，則下列結(jié)論正確的是 ( b ). a. a中所有r階子式都不為零 b. a中存在r階子式不為零 c. a中所有r階子式都為零 d. a中存在r+1階子式不為零32.下列結(jié)論正確的是 ( d ).a. 奇異矩陣經(jīng)過若干次初等變換可以化為非奇異矩陣 b. 非奇異矩陣經(jīng)過若干次初等變換可以化為奇異矩陣 c. 非奇異矩陣等價(jià)于單位矩陣d. 奇異矩陣等價(jià)于單位矩陣二、填空題1.設(shè),則a+b= . 2.設(shè),則2a+b= . 3.設(shè),則2a-b= .4.若矩陣a與矩陣b的積ab為3行4列矩陣，則矩陣a的行數(shù)是 .5.若等式成立，a=_.6.設(shè)矩陣，則atb=_.7.已知矩

13、陣，則ab-ba= .8.已知矩陣a=(1，2，-1), b=(2，-1，1), 且c=atb, 則c2= .9.設(shè)a為二階方陣，若|3a|=3，則|2a|= .10.設(shè)a為三階方陣，|a|=2，則 |-2a| = .11.設(shè)a為四階方陣，|a|=3，則 | = .12.矩陣的逆矩陣a-1= .13.設(shè)則其伴隨矩陣a*= . 14.設(shè),則其逆矩陣a-1= .15.設(shè)，則a*a= .16.已知矩陣方程xa=b, 其中 則x= .17.設(shè)a，b，c皆為n階方陣，若a，b皆可逆，則矩陣方程axb=c的解x= .18.設(shè)a為二階可逆矩陣，且已知(2a)-1=，則a= .19.設(shè)矩陣a=，則矩陣a的秩為

14、 .20.已知矩陣a =,且r(a)=2，則a = .三、計(jì)算題1.已知a為四階方陣，且|a|=2，求：(1) |- a|； (2) |2a|； (3) |aat|； (4) | a2|.2.設(shè)矩陣,e為二階單位矩陣，矩陣b滿足ba=b+e，求|b|.3.設(shè)a，b均為三階方陣，且已知|a|=4，|b|=5，求|2ab|.4.求下列矩陣的逆矩陣：(1) a =；(2) a =；(3) a =；(4)，其中5.解下列矩陣方程：(1)；(2)=；(3)； (4)；(5)； (6).6.已知矩陣，矩陣x滿足axb=c，求解x. 7.設(shè)，且x滿足x=ax+b，求x.8.設(shè)a, b均為三階方陣，且|a|=

15、-1，|b|=5，求|2(atb-1)2|.9.設(shè)a為三階方陣，a*是a的伴隨矩陣，且|a|=，求|(3a)-1-2a*|.10.求下列矩陣的秩：(1)； (2) ； (3) ；(4)； (5)；(6).四、證明題 1.試證：若b1，b2都與a可交換，則b1+b2，b1b2也都與a可交換. 2.對(duì)于任意方陣a，證明：a+at；aat都是對(duì)稱矩陣. 3.試證：若n階矩陣a，b，c都可逆，則abc也可逆，并且(abc)-1=c -1b-1a-1. 4.設(shè)a是n階方陣，且滿足aat=e，證明：|a| = 1或|a| = -1.5.設(shè)a是n階方陣，且(a+e)2 = o，證明a可逆.6.已知n階方陣a

16、, b滿足2a-1b=b-4e, 證明矩陣a-2e可逆.7.設(shè)ak = o (k為正整數(shù)), 求證：(e-a)-1 =e+a+a2+ak-1.8.設(shè)n階方陣a滿足2a2-a-2e=o, 證明a可逆，并求a-1.9.設(shè)a是n階方陣，證明：|a*|=|a|n-1 (n2).10.設(shè)a, b皆為mn矩陣，證明：a與b等價(jià)的充分必要條件是r(a) = r(b).第三章 向量空間一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)向量，則 ( ).a. (8, 37, 18 ) b.(-8, 37, 18) c.(8, -37, 18) d.(8, 37, -18)2.設(shè)向量，則( ).a.(-1, 3, 7, 6 ) b.(1, 3

17、,6, 7) c.(2, 0, 7, 6) d.(-1, 3, -7, 6)3.若向量組線性相關(guān)，則一定有 ( ). a. a=b=c b. b=c=0 c. c=0 d. c04.向量組，則( ).a.是r3的一組基 b.線性相關(guān)c.不是r3的一組基 d.可能線性相關(guān)，可能線性無關(guān)5.向量組和向量組均線性無關(guān)，則向量組 ( ).a.一定線性相關(guān) b.一定線性無關(guān)c.不能由線性表出 d.既可以線性相關(guān)也可以線性無關(guān)6.設(shè)，則 ( ).a.線性無關(guān) b.線性無關(guān)c.線性無關(guān) d.線性相關(guān)7.向量組線性相關(guān)，則( ).a. k = -7 b. k = 7 c. k = 0 d. k = 18.向量

18、組線性相關(guān)，則( ).a. k = 0 b. k = -2 c. k = 2 d. k = 19.線性無關(guān),則( ).a. k1 b. k-1 c. k0 d. k210.設(shè)a是階方陣，且|a|=0，則下列命題成立的是 ( ).a. a中必有某一行向量為零向量 b. a中每一行向量可以由其余行向量線性表出c. a中存在某一行向量可以由其余行向量線性表出d. a中每一行向量都不能由其余行向量線性表出11.維向量組線性無關(guān)的充要條件是( ).a.存在一組不全為零的數(shù)，使b.中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)c.中存在一個(gè)向量,它不能用其余向量線性表出d.中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表出12.若向量組線

19、性相關(guān)，則向量組中 可由其余向量線性表示. ( ).a.每一向量不 b.每一向量c.存在一個(gè)向量 d.僅有一個(gè)向量13. 已知向量組線性無關(guān)，則向量組 ( ).a. 線性無關(guān)b. 線性無關(guān)c. 線性無關(guān)d. 線性無關(guān) 14. 設(shè)向量，下列命題中正確的是 ( ).a.若線性相關(guān)，則必有線性相關(guān)b.若線性無關(guān)，則必有線性無關(guān)c.若線性相關(guān)，則必有線性無關(guān)d.若線性無關(guān)，則必有線性相關(guān)15.若向量組線性相關(guān)，則必可推出 ( ).a.中至少有一個(gè)向量為零向量b.中至少有兩個(gè)向量成比例c.中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示 d. 中每一個(gè)向量都可由其余向量線性表示16.已知線性無關(guān)，則向量組 ( ).

20、a.線性相關(guān) b.線性無關(guān)c.既可以線性相關(guān)也可以線性無關(guān) d.是否線性相關(guān)與向量的維數(shù)有關(guān)17.設(shè)向量組：與向量組：等價(jià)，則必有 ( ).a.向量組線性相關(guān) b.向量組線性無關(guān)c.向量組的秩向量組的秩 d.不能由線性表出18.設(shè)是維向量組，則 ( ).a. 線性無關(guān) b. 僅有一個(gè)向量可由其余向量線性表出c. 至少有2個(gè)向量可由其余向量線性表出 d. 至少有4個(gè)向量可由其余向量線性表出19.設(shè)有兩個(gè)同維向量組與，則下列選項(xiàng)正確的是 ( ).a. 若兩向量組與等價(jià)，則s = t.b. 若s = t，則兩向量組與等價(jià).c. 若兩向量組與等價(jià)，則r () = r ().d. 若r () = r (

21、)，則兩向量組與等價(jià).20. 設(shè)向量組的兩個(gè)極大無關(guān)組分別是和，則下列選項(xiàng)中正確的是 ( ).a. r + t = m b. r + t m c. r = t d. r t二、填空題1.已知向量滿足關(guān)系式又則= . 2.表示為向量組的線性組合式為 . 3.已知向量，如果，則 .4.設(shè)向量和向量線性相關(guān)，則a= .5.設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量組的極大無關(guān)組為 .6.設(shè)有向量組線性相關(guān)，則t = .7.設(shè)向量組的秩為2，則a = .8.向量組的秩為 .9.向量組的秩為 .10.向量組的秩是 . 11.已知向量組的秩為2，則t = . 12.向量在基下的坐標(biāo)是 . 13.設(shè)向量組與

22、向量組等價(jià)，則的秩 . 14.設(shè),則 .15.設(shè)向量組與向量組等價(jià)，則向量組的秩為 .16.設(shè)是r3的一組基，且在這組基下的坐標(biāo)為(1,1,-1)，則t = .三、計(jì)算題1.已知，求：(1)；(2).2.已知，又滿足，求.3.設(shè)向量滿足，其中求.4.將向量表示成向量組的線性組合.5.將下列各題中向量表示為其他向量的線性組合.(1)；(2).6.求向量組,的秩和極大線性無關(guān)組，并將其余向量表示為該極大線性無關(guān)組的線性組合.7.求向量的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量表成該極大線性無關(guān)組的線性組合.8.求向量組的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示.9.已知，及.問：(1)

23、a, b為何值時(shí)，不能表示成的線性組合.(2) a, b為何值時(shí)，可由唯一線性表示，并寫出該表示式.10.判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān).(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6).11.設(shè)向量組，(1) t為何值時(shí)，向量組線性無關(guān)？(2)為何值時(shí)，向量組線性相關(guān)？并用表示出.12.求在基下的坐標(biāo).四、證明題1.設(shè)向量組線性無關(guān)，證明：向量組也線性無關(guān).2.設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，證明：(1)可以由線性表出；(2)不能由線性表出.3.設(shè)向量組線性無關(guān)，證明：向量組也線性無關(guān).4.設(shè)向量組線性無關(guān)，可由線性表示，而不能由線性表示.證明：向量組線性無關(guān).5.設(shè)向量組線性無關(guān)，令，

24、證明：線性相關(guān).6.設(shè)向量組線性無關(guān)，為任意實(shí)數(shù)，證明：向量組線性無關(guān).7.設(shè)向量組線性無關(guān)，且.證明：若，則向量組也線性無關(guān).8.證明是三維向量空間r3的一個(gè)基，并求在此基下的坐標(biāo).第四章 線性方程組一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)為矩陣，則n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 ( ).a. b. c. d.2.設(shè)a為矩陣，且非齊次線性方程組有唯一解，則必有 ( ).a. m=n b.r(a)=m c. r(a)=n d.3.設(shè)n個(gè)未知量的齊次線性方程組的方程個(gè)數(shù)mn，則一定有( ). a.方程組無解 b.方程組有解c.方程組有唯一解 d.方程組有無窮多解4.對(duì)于線性方程組與其導(dǎo)出組,下列命題正確

25、的是 ( ).a. 若有解，則有解 b. 若有非零解,則有無窮多解c. 若有唯一解,則僅有零解 d. 若有解,則有基礎(chǔ)解系5.設(shè)a為矩陣，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 ( ).a. a的列向量組線性相關(guān)b. a的列向量組線性無關(guān)c. a的行向量組線性相關(guān) d. a的行向量組線性無關(guān)6.對(duì)非齊次線性方程組，設(shè)秩(a)= r，則 ( ).a. r = m時(shí)，方程組有解 b. r = n時(shí)，方程組有唯一解c. m = n時(shí)，方程組有唯一解 d.時(shí)，方程組有無窮多解7.設(shè)u1, u2是非齊次線性方程組ax = b的兩個(gè)解，若cu1+u2也是方程組ax = b的解，則 ( ).a. c = -

26、1 b. c = 0 c. c = 1 d. c = 2 8.設(shè)矩陣a的秩，是齊次線性方程組的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為 ( ).a.b.c.d.9.設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的是 ( ).a.b.c. d.10.設(shè)是ax = b的解，是對(duì)應(yīng)導(dǎo)出組的解，則( ).a.是的解 b.是的解c.是的解 d.是的解11.設(shè)a為n階矩陣，秩(a)= n-1，是非齊次線性方程組兩個(gè)不同的解，則的通解是 ( ).a.b. c. d. 12.設(shè)是非齊次線性方程組的兩個(gè)解，則以下結(jié)論正確的是 ( ).a.是的解b.是的解c.是的解() d.是的解

27、13.設(shè)3元非齊次線性方程組的兩個(gè)解，且系數(shù)矩陣a的秩r(a)= 2，則對(duì)于任意常數(shù)，方程組的通解可表為 ( ).a. b.c. d.14.設(shè)，則ax=o的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)為 ( ). a. 1 b. 2 c. 3 d. 015.已知是齊次線性方程組ax=o的兩個(gè)解，則矩陣a可為 ( ). a. b. c. d.16.若方程組有解，則= ( ). a. 1 b. -1 c. 2 d. -2二、填空題1.設(shè)齊次線性方程組有非零解，則常數(shù)k=_2.已知方程組只有零解，則常數(shù)k的取值為_3.已知齊次線性方程組有非零解，則a=_4.非齊次線性方程組 有解的充分必要條件是k=_5.設(shè)線性方程組有

28、解，則t = .6.已知某個(gè)3元非齊次線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：，若該方程組無解，則的取值為_7.元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣a的秩，則的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)是_8.設(shè)a為45的矩陣，且秩(a)=2，則齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)是_9.設(shè)a是43矩陣，若齊次線性方程組只有零解，則秩(a)= _10.齊次線性方程組的通解是_11.非齊次線性方程組的通解是_12.設(shè)非齊次線性方程組的增廣矩陣為，則該方程組的通解為_13.若都是齊次線性方程組的解向量，則 14.已知、是3元非齊次線性方程組ax=b的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次線性方程組有一個(gè)非零解向量 15.設(shè)，是n元非齊次線性方

29、程組的兩個(gè)不同的解，秩(a)=n-1，那么方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的通解為_16.設(shè)是非齊次線性方程組的解，為常數(shù)，若也是的一個(gè)解，則_ 三、計(jì)算題1.求出下面齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并表示出其通解.(1) ； (2)；(3) ；(4)；(5)； (6).2.求出下面非齊次線性方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).(1)；(2)；(3) ；(4).3.已知齊次線性方程組，當(dāng)a為何值時(shí)，方程組只有零解？又在何時(shí)有非零解？在有非零解時(shí)，求出其通解(要求用基礎(chǔ)解系表示)4.設(shè)3元齊次線性方程組 ，(1) 當(dāng)a為何值時(shí)，方程組有非零解；(2) 當(dāng)方程組有非零解時(shí)，求出它的基

30、礎(chǔ)解系并表示出通解5.已知線性方程組 ，(1) 求當(dāng)a為何值時(shí)，方程組無解、有解；(2) 當(dāng)方程組有解時(shí)，求出其通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)6. 已知線性方程組 ，(1) 求當(dāng)為何值時(shí)，方程組無解、有唯一解、有無窮多解；(2) 當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)，求出方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)四、證明題1.設(shè) 是齊次方程組的基礎(chǔ)解系，證明：也是的基礎(chǔ)解系2.設(shè) 是齊次方程組的基礎(chǔ)解系，證明：也是的基礎(chǔ)解系3.設(shè)為非齊次線性方程組的一個(gè)解，是其導(dǎo)出組ax=o的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：線性無關(guān)4.設(shè)是線性方程組ax=b的m個(gè)解，當(dāng)時(shí)，證明也是方程組ax=b的解.第五章

31、特征值與特征向量一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè),則矩陣a的特征值為 ( ).a. 2，2 b. 2，0 c. 1，2 d. 2，-32.設(shè)二階矩陣a的特征值為1，2，則2a的特征值為 ( ).a. -2，2 b. 2，0 c. 1，2 d. 2，4 3.設(shè)，則a2的特征值為 ( ).a. b. c. d.4.已知，則a的跡tr(a)= ( ).a. 1 b. 3 c. 4 d. 55.設(shè)三階矩陣a的特征值為-1，1，2，則a+e的特征值為 ( ).a. 0, 2, 3 b. -1, 1, 2 c. 1, 2, 3 d. 2, 1, -1 6.設(shè)三階矩陣a的特征值為1，-1，2，則|a|= ( ).a.

32、-2 b. 2 c. 4 d. 07.設(shè)三階矩陣a的特征值為2，3，4，則|a-1| = ( ).a. 2 b. 3 c. 24 d. 1/248.已知向量=(-1,-3,-2,7), =(4,-2,1,0)，則(,) = ( ).a. 0 b. 1 c. 2 d. 39.設(shè)n階矩陣a滿足a2=a，則a的所有可能的特征值是 ( ).a. 0 b. 0，1 c. 1 d. 0，210.下列向量中與向量=(1，1，1)和=(1，-2，1)都正交的是 ( ).a.(1, 0, 1) b.(1, 2, 3) c.(a, 0, -a) d.(a, 0, a)11.設(shè)a是n階實(shí)方陣，則下列說法正確的是 (

33、 ). a.矩陣a必有n個(gè)實(shí)特征值 b.矩陣a的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必線性無關(guān) c.矩陣a的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必正交 d.矩陣a的同一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量都線性相關(guān)12.設(shè)三階矩陣a與b相似，已知a的特征值為2, 2, 3.則|b-1|=( ).a. 1/12 b. 1/7 c. 7 d. 12二、填空題1.設(shè)，則矩陣a的特征值為 .2.設(shè)a、b是兩個(gè)n階方陣，如果存在某個(gè)n階可逆矩陣p，使得 ，則稱a和b是相似的.3.設(shè)p1和p2分別是方陣a的屬于兩個(gè)不同特征值和的特征向量，則p1和p2必線性 .4.設(shè)向量，則的內(nèi)積 .5.已知向量=(1，2，3)，則的長(zhǎng)度|= .6.已知三階矩

34、陣a的特征值為1，1，2，則|a+2e|= .7.設(shè)三階方陣a的特征值為1，-1,2，又方陣b=a2-5a+2e,則|b|= .8.若矩陣a與b=相似，則a的特征值為 .9.已知n階方陣a是正交矩陣，則|a|= .10.向量正交的充分必要條件是 .11.設(shè)a為3階矩陣，已知|3a+2e|=0，則a必有一個(gè)特征值為 .12.若a=是正交矩陣，則x = .三、計(jì)算題1.設(shè)，求b=a2 -a+2e所有的特征值.2.設(shè)，求出a的所有特征值和特征向量.3.求矩陣的特征值和特征向量.4.求矩陣的特征值和特征向量.5.設(shè)矩陣，(1)求a的特征值和特征向量；(2)判斷矩陣a是否與對(duì)角矩陣相似，若相似寫出可逆矩

35、陣p及對(duì)角矩陣.6.設(shè)矩陣，(1)求a的特征值和特征向量；(2)判斷矩陣a是否與對(duì)角矩陣相似，若相似寫出可逆矩陣p及對(duì)角矩陣.7.設(shè)a=，問a是否相似于對(duì)角矩陣？若相似，求出其相似標(biāo)準(zhǔn)形.8.已知三階矩陣a的特征值為-1，2，3，求：(1) |a|及tr(a)；(2) a-1的特征值；(3) a2的特征值；(4) 2a的特征值；(5) a2-2a+3e的特征值.9.已知=(-1，1)，=(4，-2)，求.10.設(shè)，求出正交矩陣p，使得p-1ap為對(duì)角矩陣.四、證明題1.若a與b是相似的兩個(gè)方陣，證明與相似(k1的整數(shù)).2.設(shè)方陣a滿足a2=a，且a與b相似，證明：b2=b.3.設(shè)a是可逆矩陣

36、，a與b相似，證明：其伴隨矩陣a*與b*也相似.4.設(shè)a，b和a+b都是n階正交矩陣，那么(a+b)-1=a-1+b-1.5.設(shè)，和都是n維實(shí)向量，k1，k2是任意實(shí)數(shù).如果分別，與正交，證明必與正交. 第六章 實(shí)二次型一、單項(xiàng)選擇題1.二次型的矩陣是 ( ). a. b. c. d.2.二次型的矩陣為 ( ).a. b. c. d.3.下列矩陣不是某二次型的矩陣是 ( ).a. b. c. d. 4.二次型的秩為( ). a. 1 b. 2 c. 3 d. 45.設(shè)矩陣，則二次型xtax的規(guī)范形為 ( ). a. b. c. d.6.n階對(duì)稱矩陣a為正定矩陣的充分必要條件是 ( ).a. b