(完整)初2103根式的恒等變形

1、第2103講根式的恒等變形、知識(shí)和方法要點(diǎn)表示方根的代數(shù)式稱(chēng)為根式，即含有根號(hào)，且根號(hào)內(nèi)有字母的代數(shù)式稱(chēng)為根式。對(duì)于根式中的字母的一 組允許的值，代入此根式得到的值稱(chēng)為根式的值。根式的恒等變形是指利用根式的基本性質(zhì)將根式化為 與其恒等的根式。二次根式具有以下基本性質(zhì)1）（a）2a ( a0）；aa02）a2|a|0a0 ；aa03）b , ac、a (bc) .a(a0 )；4）.a b .ab(a 0，b0 )；5）aa /0，b0 )；b.b( a6）（a）n.an(a 0 )。根式的恒等變形有它的特殊性，需要較強(qiáng)的代數(shù)式變形技巧。通常要對(duì)題目中的條件根式和欲變形根式 綜合考慮，尋求一個(gè)簡(jiǎn)

2、單而清晰運(yùn)算線(xiàn)路進(jìn)行變形。常用的方法有：分解因式法，配方法，平方法，換 元法等?；?jiǎn)根式必須化到最簡(jiǎn)根式為止，所謂最簡(jiǎn)根式，是指滿(mǎn)足以下三個(gè)條件的根式：1）被開(kāi)方數(shù)（式）的幕指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；2）被開(kāi)方數(shù)（式）的每一個(gè)因式的幕指數(shù)都小于根指數(shù)；3）被開(kāi)方數(shù)（式）不含有分母。、典型題例選講例1化簡(jiǎn)：i，4845。（復(fù)合根式化簡(jiǎn)；配方法）【分析】 這是一個(gè)數(shù)字型的復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。可通過(guò)配方法進(jìn)行化簡(jiǎn)。應(yīng)首先變形為適合配方的形 式，然后進(jìn)行配方。【解答】化簡(jiǎn)如下.5 .） 4343（： 2）23）2 4 3（ ： 3） 43（： 6）。【評(píng)注】配方法是復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)的最常用的方法。例2 化

3、簡(jiǎn)：2 32.33 2 23 2.2。（復(fù)合根式化簡(jiǎn)；平方法）【分析】 這是一個(gè)數(shù)字型的復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。，可通過(guò)平方法進(jìn)行化簡(jiǎn)。應(yīng)前兩項(xiàng)使用平方法，后兩項(xiàng)使用平方法后相加?！窘獯稹恳?yàn)? G 23( 23; 2. 3) 242、23 236，3 2 23 2 2( 3 2 23 2、2)26 2一3 2 2. 3 2 2兩式相加得232 . 33 2.2 . 3 2.2. 6 2。所以，原式 62?！驹u(píng)注】 為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)潔，平方運(yùn)算在根號(hào)下進(jìn)行。（復(fù)合根式化簡(jiǎn)；方程法）【分析】如果設(shè)x 2222 L ，兩邊平方可得關(guān)于 x的方程x2出x的值?！窘獯稹吭O(shè)x 2222 L ，兩邊平方，得x

4、20，解這個(gè)方程就可能求于是即x滿(mǎn)足方程 解方程得x22,22. 2 L2x 2 x，x2 x 20，x 2或x 1(舍去)。所以,2。【評(píng)注】 本題還涉及到、2 22FT 是否收斂，即它是否表示一個(gè)實(shí)數(shù)的問(wèn)題。例4設(shè)y是偶數(shù)，最簡(jiǎn)根式3x y 2x y與y 64x y 2是同次根式，求y的值。（根式概念；分類(lèi)討論） 【分析】 首先利用偶次根式對(duì)根底數(shù)大于等于零（本題只能大于零）的要求，解得y的范圍，然后討論求得滿(mǎn)足要求的y的值。【解答】 由同次根式的意義，得 3x y y 6，知x 2，于是給定根式為y 64 y與y 66 y，它們?yōu)榕即?根式，于是4 y 0, 6 y 0,推得y 4, 2

5、,0,或2。1 ）當(dāng)y 4時(shí)，兩個(gè)根式為 8與 三，其中 8不是最簡(jiǎn)根式；2）當(dāng)y 2時(shí)，兩個(gè)根式為46與44，其中4 4不是最簡(jiǎn)根式；3 ）當(dāng)y 0時(shí)，兩個(gè)根式為64與6 6，其中6 4不是最簡(jiǎn)根式；4 ）當(dāng)y 2時(shí)，兩個(gè)根式為82與8 8，它們是最簡(jiǎn)根式，符合題意； 所以，所求的y 2。【評(píng)注】 本題考察同次根式、最簡(jiǎn)根式等基本概念。例 5 已知 1 x 0，化簡(jiǎn)：x2 2 + . x2 2 *。（根式化簡(jiǎn)；配方法）【分析】 這是一個(gè)字母根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。觀察知，兩個(gè)根底數(shù)都是完全平方式，而一個(gè)數(shù)平方再開(kāi)根號(hào)等于 這個(gè)數(shù)絕對(duì)值，然后根據(jù)已知給出的x的范圍打開(kāi)絕對(duì)值解決問(wèn)題?！窘獯稹炕?jiǎn)如下原

6、式 J（X *2 J（X *）2【評(píng)注】永遠(yuǎn)要記住平方再開(kāi)根號(hào)等于絕對(duì)值。|x|xx1|(x 9(x *)2x 。2 2例6 設(shè)a, x, y是兩兩不同的實(shí)數(shù)，且a（x a）.a(y a)x a . a y，求二xy_彗 的值。x xy y（根式求值；隱含條件）【分析】考慮到偶次根式的根底數(shù)大于或等于零的隱含條件，容易從條件式解出x, y的值，就可以代入欲求值代數(shù)式進(jìn)行簡(jiǎn)單求值?！窘獯稹恳?yàn)閍(x a)0, x a0知a0 ,a(y a)0, a y0知a0 ,由此得a 0。于是、x.y xy。所以，原式【評(píng)注】2 2 2 23y y y y 1 o2 2 2 2y y y 3y 3從偶次根式

7、的根底數(shù)大于或等于零的隱含條件得到解題所需的中間結(jié)果。5x5，且x 0，化簡(jiǎn):5 x5 x(根式化簡(jiǎn)；分式性質(zhì))【分析】同乘上 5 x即可一次性去掉根號(hào)解決問(wèn)題?；?jiǎn)如下5【解答】觀察欲化簡(jiǎn)根式的特點(diǎn)，注意到原式且互為倒數(shù),2x x(5 x) (5 x)15 x5 x采用將此根式的分子、分母【評(píng)注】采用分母有理化解題將比較煩瑣。例8已知ab 0，且a2 b2 a2b2，化簡(jiǎn)：a屮 占b1 b2【分析】觀察所給條件式與欲化簡(jiǎn)式的特點(diǎn)，利用條件式首先可將欲化簡(jiǎn)式的根底數(shù)化簡(jiǎn), 化了。(根式化簡(jiǎn)；分式性質(zhì)) 這時(shí)問(wèn)題就簡(jiǎn)單解:由X航2得7右1，所以a【評(píng)注】要對(duì)對(duì)a, b進(jìn)行討論。原式aa b|b|

8、 lT|a|a| b|b|ab2 2a bab2 2a bab2 2a bab2 2a babababa，b，c, x，y，z是非零實(shí)數(shù)，且 a2b2axbycz，觀察所給條件式的特點(diǎn),【分析】由此簡(jiǎn)單求值?！窘獯稹坑蒩2 b2 c2 x2 y2(a22 ax可以通過(guò)配方法,得到x 0，0, c z求 J - - .a b c(根式求值;0 ,即 a x， b的值。配方法)y，c z，配方得于是即axx2)(aaby cz，(b2x)2x得 22 by z(b0, bx，by)2 y y，)(c2 2cz(c0，cz)2 0，c z 0，z2)所以，x y z 廠H3 。Ya b c【評(píng)注】

9、巧妙利用條件式進(jìn)行配方，妙！例 10 設(shè) x 0, y 0 ,且2迥） “（6JX 5JV），求_的值。V2x 何 3y（根式求值；因式分解） 【分析】 觀察欲求值式的特點(diǎn)，只須從條件式中求出x : y即可，由此將條件式分解因式，得到,x 5 y解決問(wèn)題?！窘獯稹?由條件式得（ x）2 4. x y 5（. y）2 0，分解因式得（ x 5, y）C x . y） 0，因?yàn)閤y0,故匸 5 y 0，即x 5 y。x.xy y25y 5y y29 y 1所以，2x. xy 3y50 y 5y 3y58y2。例11化簡(jiǎn). 2a222 一 a4a21。（根式化簡(jiǎn)；配方法）【分析】觀察欲化簡(jiǎn)的根式，a

10、4 a21可以分解因式，這樣.a4 a21就可以寫(xiě)成兩個(gè)根式的乘積，再米用配方法進(jìn)行化簡(jiǎn)?！窘獯稹恳?yàn)閍4a21z 422(2(a 2a 1) a (a2 21) a(a2 a1)(a a 1)，所以原式 (a2 a 1) 2 a2 a 1 a2 a 1 (a2 a 1)-巒a 1)22 . a2a1 a2 a 1(a2a 1)2(a2a 1.a2a1)2a2 a1ai2 a 1。)【評(píng)注】由于 a2 a 1, a a 1 的J判別式:都小于零,有2a a 10，a a 10。例12設(shè)1 x 1，且x 0，化簡(jiǎn):(1、1xx. 1x1 x.1 x2 x1)( x21|x|)（根式化簡(jiǎn)；提高題）

11、 【分析】 本題欲化簡(jiǎn)根式比較復(fù)雜，根據(jù)欲化簡(jiǎn)根式的特點(diǎn)，可以圍繞著兩個(gè)簡(jiǎn)單根式1一x和.1一x進(jìn)行恒等變形達(dá)到化簡(jiǎn)的目的?！窘獯稹炕?jiǎn)如下(1x)2原式(-1 Xx(1 X、1 X )TZLJ1 x( 1 X . 1 xf|x|11 X 1 X|X|1 X 1 X . 1 X21.1 X . 1 X |x| ( rx rX)( .rx rX)(7L、2_x廠x)1|X| 廠X2 1|X| 當(dāng)1 x 0 當(dāng) 0x1?！驹u(píng)注】一邊化簡(jiǎn)一邊觀察，尋找下一步的最佳運(yùn)算方向。例 13 已知 2x3 3y3 4z3，X1 x21112x2221 X2X111，求 32x23y24z2 的值。(根式求值；

12、提高題)【分析】由第一個(gè)條件式，連比設(shè)則 3 2x2 3y2 4z23 k kx y- 派，下面只須解決求 Vk的值，將zx, y, z表示為k的表達(dá)式，代入第二個(gè)條件式即可解決冋題?！窘獯稹苛?2x3 3y3 4z3k，貝H3 2x2 3y2 4z2 ,3k。代入1X解之得所以，號(hào)y初，z323334_kVk邁亦34。3 2x2 3y2 4z23 23 33 4。【評(píng)注】 在奧數(shù)中，與本題類(lèi)似的題還有幾個(gè)。例 14 已知(.X22006 X)( .y22006 y) 2006，求x2 3xy【分析】 兩邊同乘以共軛根式，將已知式化簡(jiǎn)，從中可解出x入法解決問(wèn)題?！窘獯稹?將條件式兩邊乘.X26

13、x 6y 81 的值。(根式求值；提高題) y 0 ,再將欲求值式因式分解，采用整體代4y2同理，將條件式兩邊乘,y2 20062006 x，得.y22006y，得.x22006. X22006兩式相加得所以，原式(x y)(x 4y 6)【評(píng)注】 在奧數(shù)中，與本題類(lèi)似的題還有幾個(gè)。-y22006y 0。81 81。三、同步練習(xí)題1.已知a 0,那么化簡(jiǎn)L a2 a |的結(jié)果是A. 0B. 2aC. 2aD.不能確定2. 已知a , b , x , y都是實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足等式y(tǒng) | .X 2|1 a2, |x 4| 3y 3 b2 ,那么a b x y 。（2005年上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）3 113. 當(dāng)