八級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第十八章 平行四邊形 18.2 特殊的平行四邊形 18.2.3 正方形課件 （新版）新人教版

1、18.2.318.2.3正方形正方形 1.1.正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì) 正方形的四條邊都正方形的四條邊都 , ,四個(gè)角都是四個(gè)角都是 ; ;正方形既是矩形又是菱形正方形既是矩形又是菱形, ,它既有矩它既有矩 形的性質(zhì)形的性質(zhì), ,又有菱形的性質(zhì)又有菱形的性質(zhì). 2.2.正方形的判定正方形的判定 (1)(1)有一組鄰邊有一組鄰邊 的矩形是正方形的矩形是正方形. (2)(2)有一個(gè)角是有一個(gè)角是 的菱形是正方形的菱形是正方形. 3.3.正方形的軸對(duì)稱性正方形的軸對(duì)稱性 正方形是軸對(duì)稱圖形正方形是軸對(duì)稱圖形, ,它有它有 條對(duì)稱軸條對(duì)稱軸, ,分別是兩條分別是兩條 所在的直線和過(guò)所在的直線和過(guò) 對(duì)邊

2、兩個(gè)對(duì)邊兩個(gè) 的直線的直線. 相等相等直角直角 相等相等 直角直角 四四對(duì)角線對(duì)角線 中點(diǎn)中點(diǎn) 探究點(diǎn)一探究點(diǎn)一: :正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì) 【例例1 1】 ( (20182018遵義遵義) )如圖如圖, ,正方形正方形ABCDABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)的對(duì)角線交于點(diǎn)O,O,點(diǎn)點(diǎn)E,FE,F分別在分別在AB,BCAB,BC上上(AE(AE BE),BE),且且EOF=90EOF=90,OE,DA,OE,DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,OF,ABM,OF,AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,N,連接連接MN.MN. (1)(1)求證求證:OM=ON;:OM=ON; 【導(dǎo)學(xué)探究導(dǎo)學(xué)探究】 1.1

3、.證證OAMOAM 可得可得OM=ON.OM=ON. OBNOBN (1)(1)證明證明: :因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蜛BCDABCD是正方形是正方形, , 所以所以O(shè)A=OB,DAO=45OA=OB,DAO=45,OBA=45,OBA=45, , 所以所以O(shè)AM=OBN=135OAM=OBN=135. . 因?yàn)橐驗(yàn)镋OF=90EOF=90,AOB=90,AOB=90, , 所以所以AOM=BON,AOM=BON, 在在OAMOAM與與OBNOBN中中,AOM=BON,OA=OB,OAM=OBN,AOM=BON,OA=OB,OAM=OBN, 所以所以O(shè)AMOAMOBN,OBN,所以所以O(shè)M=ON.

4、OM=ON. (2)(2)解解: :如圖如圖, ,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) O O 作作 OHOHADAD 于點(diǎn)于點(diǎn) H.H. 因?yàn)檎叫我驗(yàn)檎叫?ABCDABCD 的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 4,4,所以所以 OH=HA=OH=HA= 1 2 AD=AD= 1 2 4=2.4=2. 因?yàn)橐驗(yàn)?E E 為為 OMOM 的中點(diǎn)的中點(diǎn),O,OH HAE,AE, 所以所以 HM=2HA=4,HM=2HA=4,則則 OM=OM= 22 OHHM= = 22 24=2=25, , 因?yàn)橐驗(yàn)?OM=ON,OM=ON,所以所以 MN=MN=2OM=OM=22 25=2=210. . (2)(2)若正方形若正方形ABCDABCD的邊

5、長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為4,E4,E為為OMOM的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,求求MNMN的長(zhǎng)的長(zhǎng). . 【導(dǎo)學(xué)探究導(dǎo)學(xué)探究】 2.2.作作OHAD,OHAD,求求OMOM的長(zhǎng)可得到的長(zhǎng)可得到MN=MN= OM.OM. 2 (1) (1)在正方形中在正方形中, ,證明線段相等證明線段相等, ,通常證明三角形全等通常證明三角形全等; ; (2)(2)在正方形中在正方形中, ,計(jì)算線段的長(zhǎng)度計(jì)算線段的長(zhǎng)度, ,往往需要借助勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)往往需要借助勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì). . 【例例2 2】( (20182018舟山舟山) )如圖如圖, ,等邊等邊AEFAEF的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)E,FE,F在矩形在矩形A

6、BCDABCD的邊的邊BC,CDBC,CD上上, ,且且CEF=CEF= 4545. .求證求證: :矩形矩形ABCDABCD是正方形是正方形. . 探究點(diǎn)二探究點(diǎn)二: :正方形的判定正方形的判定 【導(dǎo)學(xué)探究導(dǎo)學(xué)探究】 1.1.要證明矩形要證明矩形ABCDABCD是正方形是正方形, ,只要證明只要證明AB=AB= . 2.2.證明證明ABEABEADF,ADF,可得可得 . . ADAD AB=ADAB=AD 證明證明: :因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蜛BCDABCD是矩形是矩形, , 所以所以B=D=C=90B=D=C=90. . 因?yàn)橐驗(yàn)锳EFAEF是等邊三角形是等邊三角形, , 所以所以AE=A

7、F,AEF=AFE=60AE=AF,AEF=AFE=60, , 因?yàn)橐驗(yàn)镃EF=45CEF=45, ,所以所以CFE=CEF=45CFE=CEF=45, , 所以所以AEB=AFD=180AEB=AFD=180-45-45-60-60=75=75, , 在在ABEABE與與ADFADF中中,B=D,AEB=AFD,AE=AF,B=D,AEB=AFD,AE=AF, 所以所以ABEABEADF,ADF,所以所以AB=AD,AB=AD, 所以矩形所以矩形ABCDABCD是正方形是正方形. . (1) (1)已知菱形已知菱形, ,可證明一個(gè)內(nèi)角為直角得到正方形可證明一個(gè)內(nèi)角為直角得到正方形;(2);(

8、2)已知矩形已知矩形, , 可證明一組鄰邊相等得到正方形可證明一組鄰邊相等得到正方形. . 1.1.下列說(shuō)法正確的是下列說(shuō)法正確的是( ( ) ) (A)(A)有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形 (B)(B)有一組鄰邊相等的四邊形是正方形有一組鄰邊相等的四邊形是正方形 (C)(C)有一組鄰邊相等的矩形是正方形有一組鄰邊相等的矩形是正方形 (D)(D)四條邊都相等的四邊形是正方形四條邊都相等的四邊形是正方形 2.(2.(20182018石家莊期中石家莊期中) )若正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為若正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2 cm,2 cm,則這個(gè)正方形的面積為則這個(gè)正方形的面積為( ( )

9、 ) C C B B (A)4 cm(A)4 cm 2 2 (B)2 cm(B)2 cm 2 2 (C)(C) 2 cm cm 2 2 (D)2 (D)22 cm cm 2 2 3.3. ABCDABCD的對(duì)角線的對(duì)角線ACAC與與BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O,O,且且ACBD,ACBD,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件: : . . , ,使得使得 ABCDABCD為正方形為正方形. BAD=90BAD=90 ( (答案不唯一答案不唯一) ) 4.(4.(20182018會(huì)寧模擬會(huì)寧模擬) )如圖如圖, ,在正方形在正方形ABCDABCD中中,E,E為為CDCD上一點(diǎn)上一點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)F F在在BE

10、BE上上,AF=AB,AF=AB,連接連接BD,BD, FD,FD,若若BAF=58BAF=58, ,則則BDFBDF的度數(shù)為的度數(shù)為 . 2929 5.5.如圖如圖, ,已知正方形已知正方形ABCD,PABCD,P是對(duì)角線是對(duì)角線ACAC上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn),E,E為為ADAD上的點(diǎn)上的點(diǎn), ,且且EPB=90EPB=90, , PMAD,PNAB,PMAD,PNAB,垂足分別為垂足分別為M,N.M,N. (1)(1)求證求證: :四邊形四邊形PMANPMAN是正方形是正方形; ; 證明證明: :(1)(1)因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蜛BCDABCD是正方形是正方形, , 所以所以BAD=90BAD=90,AC,AC平分平分BAD,BAD, 因?yàn)橐驗(yàn)镻MAD,PNAB,PMAD,PNAB, 所以所以PM=PN,PMA=PNA=90PM=PN,PMA=PNA=90, , 所以四邊形所以四邊形PMANPMAN是正方形是正方形. . (2)(2)求證求證:EM=BN.:EM=BN. 證明證明: :(2)(2)由由(1)(1)中證明可知中證明可知 PM=PN,PM=PN,MPN=90MPN=90, , 因?yàn)橐驗(yàn)镋PB=90EP