同底指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)

1、同底指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)必修一教材第 76 頁有這樣一個(gè)探究：指數(shù)函數(shù) y ax(a 0且a 1) 與對(duì)數(shù)函數(shù) y loga x(a 0且 a 1) 互為反函數(shù)，那么它們圖象有什么關(guān)系呢？通過探究發(fā)現(xiàn)， 我們?nèi)菀字浪鼈兊膱D象關(guān)于直線 y x 對(duì)稱， 那么它們圖象交點(diǎn)有幾 個(gè)呢？教科書上為何沒有把它們兩者圖象畫在同一坐標(biāo)系下？這是一個(gè)探究?jī)r(jià)值很高的問題，教材這樣處理，主要原因是這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù) 不定 .下面我們一起來研究下 .分 a 1和 0 a 1 兩者情況進(jìn)行討論 .1. 當(dāng) a 1 時(shí)在幾何畫板中，畫出 y 2x與y log2 x圖象，發(fā)現(xiàn)它們沒有公共點(diǎn)(如圖1).當(dāng)?shù)讛?shù)

2、 a (a 1)逐漸變小時(shí)， y ax(a 1)與 y loga x(a 1)圖象與 y x 逐漸接 近，然后相切(如圖 2)，再相交(如圖 3)，而且我們清楚地看到它們交點(diǎn)在 y x 上 .圖 1 圖 2 圖 3事實(shí)上，由反函數(shù)圖象對(duì)稱性知，確實(shí)如此，所以研究 y ax(a 1) 與 y loga x(a 1)圖象交點(diǎn)情況即研究 y ax(a 1)與 y x 圖象交點(diǎn)情況 .x下面，我們從“臨界狀態(tài)” 入手研究，從代數(shù)角度看只需聯(lián)立方程y aax x 0yx讓方程只有一個(gè)根即可，屬于超越方程，無法用常規(guī)方法解，利用導(dǎo)數(shù)(選修 2-2 中知識(shí)) 解法如下：x ax a x 1axax lna

3、111xxxln x x 1ln x 11 x e,得 ae e,即a ee1所以，當(dāng) a ee 時(shí)，函數(shù) y a x與 y loga x圖象與 y x 相切. 根據(jù)指對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及以上分析得：當(dāng) a e e時(shí)，函數(shù) y ax與 y loga x圖象有 0 個(gè)交點(diǎn)；1當(dāng)a ee時(shí)，函數(shù) y ax與y loga x圖象有 1個(gè)交點(diǎn)；1x當(dāng)1 a e e時(shí)，函數(shù) y ax與 y loga x圖象有 2個(gè)交點(diǎn) . 2. 當(dāng) 0 a 1 時(shí)同樣地，我們也在幾何畫板中畫出如圖 4) .1x與 y log 1 x 圖象，212 圖象，發(fā)現(xiàn)它們有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)?shù)?數(shù) a (0 a 1) 逐漸 變小 時(shí) ，我

4、 們驚 奇地 發(fā)現(xiàn) y ax(0 a 1) 與y loga x(0 a 1)圖象出現(xiàn)了 3 個(gè)交點(diǎn)(如圖 5)圖5y a x(0 a 1) 與由 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 和 連 續(xù) 性 知 ， 當(dāng) 0 a 1 時(shí) ，y loga x(0 a 1)圖象不可能相切，所以交點(diǎn)情況只有 1個(gè)或者 3 個(gè). 同樣地，我們也可以用導(dǎo)數(shù)解出臨界狀態(tài)時(shí)的a 的值，類似的，我們得到以下結(jié)論：當(dāng)e a a 1時(shí)，函數(shù) y ax與 y loga x圖象有 1 個(gè)交點(diǎn)；ax當(dāng) 0 a e 時(shí)，函數(shù) y a 與 y log a x 圖象有 3 個(gè)交點(diǎn) . 綜上所述，1當(dāng) a e e時(shí)，函數(shù) y ax與 y loga x

5、圖象有 0 個(gè)交點(diǎn)；1當(dāng) a ee或 e a a 1時(shí)，函數(shù) y ax與 y loga x圖象有 1 個(gè)交點(diǎn)；1當(dāng)1 a e e時(shí)，函數(shù) y ax與 y loga x圖象有 2 個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0 a e a時(shí)，函數(shù) y ax與 y logax圖象有 3個(gè)交點(diǎn).微練習(xí)：1下列命題 若點(diǎn)（ m,n）在函數(shù) y a x圖象上，則點(diǎn)（n, m）在函數(shù) y loga x圖象上 當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù) y loga x的圖象與直線 y x 無公共點(diǎn) 若點(diǎn)（ m,n）既在函數(shù) y ax 圖象上，也在函數(shù) y log a x 圖象上，則 m n 當(dāng)0 a 1時(shí)，函數(shù) y ax的圖象與直線 y x 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 其

6、中正確的命題的個(gè)數(shù)為（ ）A0個(gè) B 1個(gè) C 2 個(gè)D 3 個(gè)2已知 a 1, 則方程 ax |loga x |實(shí)根的個(gè)數(shù)為（）A1 個(gè)B2 個(gè)C1個(gè)或 2 個(gè)D1 個(gè)或 2個(gè)或 3 個(gè)3已知 0 a 1，則方程 a|x| |loga x |的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（）A2 個(gè)B3 個(gè)C2 個(gè)或 3 個(gè)D2個(gè)或 4 個(gè)【答案】1.由反函數(shù)圖象對(duì)稱性知正確；當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù) y loga x 的圖象與直線 y x 可能有 0 個(gè)或 1 個(gè)或 2 個(gè)交點(diǎn)，所以錯(cuò)誤；當(dāng) 0 a 1時(shí)，函數(shù) y ax與函數(shù) y loga x 交 點(diǎn)有 3 個(gè)時(shí)，其中 2 個(gè)不在 y x 上，所以錯(cuò)誤；當(dāng) 0 a 1時(shí)，函數(shù) y ax 與直線只 有一個(gè)交點(diǎn)，所以正確 . 故選 C.2.由函數(shù)與方程思想知，方程的根的個(gè)數(shù)即函數(shù)y ax與函數(shù) y logax 圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，而 y loga x 是把 y loga x圖象在 x軸下方部分作關(guān)于 x軸對(duì)稱， 又因?yàn)楫?dāng) a 1時(shí)，函 數(shù) y ax與函數(shù) y loga x圖象交點(diǎn)可能有 0 個(gè)或 1 個(gè)或 2 個(gè)，所以 ax |loga x|實(shí)根個(gè) 數(shù)可能是 1個(gè)或 2個(gè)或 3個(gè)，故選 D.3.當(dāng)0 a