高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)課件 新人教A版必修1

1、第三章函數(shù)的應(yīng)用第三章函數(shù)的應(yīng)用 3.13.1函數(shù)與方程函數(shù)與方程 3.1.13.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 課標(biāo)要求課標(biāo)要求: :1.1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象結(jié)合二次函數(shù)的圖象, ,判斷一元二次方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷一元二次方程根的存在性及個(gè)數(shù).2.2. 理解函數(shù)零點(diǎn)的概念以及函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系理解函數(shù)零點(diǎn)的概念以及函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系.3.3.掌握函數(shù)零點(diǎn)的判斷掌握函數(shù)零點(diǎn)的判斷 方法方法, ,會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn), ,并會(huì)判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并會(huì)判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù). . 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 1.1.函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn) 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x),y=f(x),把

2、使把使 叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)y=f(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn). . 探究探究1:1:函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)與x x軸的交點(diǎn)嗎軸的交點(diǎn)嗎? ? 答案答案: :不是不是. .函數(shù)的零點(diǎn)不是個(gè)點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)不是個(gè)點(diǎn), ,而是一個(gè)數(shù)而是一個(gè)數(shù), ,該數(shù)是函數(shù)圖象與該數(shù)是函數(shù)圖象與x x軸交點(diǎn)的軸交點(diǎn)的 橫坐標(biāo)橫坐標(biāo). . 2.2.方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系 方程方程f(x)=0f(x)=0 函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象與的圖象與x x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn)函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x) . . 知識(shí)探究知識(shí)探究 f(x)=0f(x)=0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x x 有實(shí)

3、數(shù)根有實(shí)數(shù)根 有零點(diǎn)有零點(diǎn) 3.3.函數(shù)零點(diǎn)的存在條件函數(shù)零點(diǎn)的存在條件 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上的圖象是上的圖象是 的一條曲線的一條曲線, ,并且并且 有有 , ,那么那么, ,函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)內(nèi) , ,即存即存 在在c(a,b),c(a,b),使得使得 , ,這個(gè)這個(gè)c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的根的根. . 探究探究2:2:函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上連續(xù)不間斷上連續(xù)不間斷, ,當(dāng)當(dāng)f(a)f(b)0f(a)f(b)0時(shí)時(shí), ,函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

4、是否唯一是否唯一? ? 答案答案: :不唯一不唯一. .只有函數(shù)只有函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上是單調(diào)函數(shù)時(shí)函數(shù)零點(diǎn)唯一上是單調(diào)函數(shù)時(shí)函數(shù)零點(diǎn)唯一. . 連續(xù)不斷連續(xù)不斷 f(a)f(b)0f(a)f(b)0 x0時(shí)時(shí), ,由由f(x)=-2+ln x=0f(x)=-2+ln x=0得得x=ex=e2 2. .綜上綜上, ,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.2.故選故選B.B. A A B B 答案答案: :2 2 4.4.方程方程2 2x x=10-x=10-x的根的根x(k,k+1),kZ,x(k,k+1),kZ,則則k=k=. . 5.5.函數(shù)函數(shù)f(x)=|

5、4x-xf(x)=|4x-x2 2|-a|-a恰有恰有3 3個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn), ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a=a=. . 答案答案: :4 4 題型一題型一求函數(shù)的零點(diǎn)求函數(shù)的零點(diǎn) 課堂探究課堂探究 (2)(2)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=ax-b(a0)f(x)=ax-b(a0)的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為3,3,求函數(shù)求函數(shù)g(x)=bxg(x)=bx2 2+ax+ax的零點(diǎn)的零點(diǎn). . 方法技巧方法技巧 (1)(1)求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的零點(diǎn)就是求方程的零點(diǎn)就是求方程f(x)=0f(x)=0的解的解, ,求解時(shí)注意求解時(shí)注意 函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域. . (2)(2)已知已知x0 x0是函數(shù)是函數(shù)f(x)f

6、(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn), ,則必有則必有f(x0)=0.f(x0)=0. (2)(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3-2x-2x2 2-x+2-x+2的零點(diǎn)的零點(diǎn), ,并畫出函數(shù)的大致圖象并畫出函數(shù)的大致圖象. . 解解: :(2)(2)令令x x3 3-2x-2x2 2-x+2=0,-x+2=0, 得得x x2 2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2 2-1)-1) =(x-2)(x+1)(x-1)=0,=(x-2)(x+1)(x-1)=0, 所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)有有3 3個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn), ,分別為分別為-1,1,2.-1,1,2.

7、 又又f(0)=20,f(0)=20,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)可知在區(qū)間根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)可知在區(qū)間(-1,1)(-1,1)內(nèi)內(nèi),f(x)0;,f(x)0; 在區(qū)間在區(qū)間(-,-1)(-,-1)內(nèi)內(nèi),f(x)0;,f(x)0; 在區(qū)間在區(qū)間(1,2)(1,2)內(nèi)內(nèi),f(x)0;,f(x)0.,f(x)0. 其大致圖象如圖所示其大致圖象如圖所示. . 題型二題型二函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 【例例2 2】 判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). . (1)f(x)=x(1)f(x)=x2 2+mx+1(m+mx+1(mR R);); 解解: :(1)=m(1)=m2 2-4-41 1

8、1=m1=m2 2-4,-4, 當(dāng)當(dāng)0,0,即即m m2 2-40-40時(shí)時(shí), ,解得解得-2m2,-2m0,0,即即m m2 2-40-40時(shí)時(shí), ,解得解得m-2m2,m2,此時(shí)方程此時(shí)方程f(x)=0f(x)=0有兩個(gè)不相等有兩個(gè)不相等 的實(shí)根的實(shí)根, ,所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). . 綜上綜上, ,當(dāng)當(dāng)m(-2,2)m(-2,2)時(shí)時(shí), ,函數(shù)無(wú)零點(diǎn)函數(shù)無(wú)零點(diǎn); ;當(dāng)當(dāng)m=m=2 2時(shí)時(shí), ,函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn); ;當(dāng)當(dāng) m(-,-2)(2,+)m(-,-2)(2,+)時(shí)時(shí), ,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). . (2)f(x)=x-3+ln x.(2)f(x)=

9、x-3+ln x. 解解: :(2)(2)令令f(x)=x-3+ln x=0,f(x)=x-3+ln x=0, 則則ln x=3-x,ln x=3-x, 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=ln xy=ln x與與y=-x+3y=-x+3的圖象的圖象, , 如圖所示如圖所示, , 由圖可知函數(shù)由圖可知函數(shù)y=ln x,y=-x+3y=ln x,y=-x+3的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn), ,即函數(shù)即函數(shù)f(x)=x-f(x)=x- 3+ln x3+ln x只有一個(gè)零點(diǎn)只有一個(gè)零點(diǎn). . 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法 (1)(1)直接求出函數(shù)

10、的零點(diǎn)進(jìn)行判斷直接求出函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行判斷, ,即轉(zhuǎn)化為方程即轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0f(x)=0解的個(gè)數(shù)解的個(gè)數(shù); ; (2)(2)結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷, ,即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)或兩個(gè)函軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)或兩個(gè)函 數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù); ; (3)(3)借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷. . 方法技巧方法技巧 即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練2 2- -1:1:(1)(1)函數(shù)函數(shù)f(x)=2f(x)=2x x|log|log0.5 0.5x|-1 x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( () ) (A)1(A)1 (B)2(B)2 (C)3(C)3

11、(D)4(D)4 答案答案: :(1)B(1)B 答案答案: :(2)0(2)0或或4 4 (2)(2)若函數(shù)若函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2-ax+a-ax+a只有一個(gè)零點(diǎn)只有一個(gè)零點(diǎn), ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a a的值是的值是. . 解析解析: :(2)(2)由已知得由已知得=(-a)=(-a)2 2-4-41 1a=0,a=0, 即即a a2 2-4a=0.-4a=0.解得解得a=0a=0或或a=4.a=4. 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間題型三題型三 (2)(2)根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù)根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù), ,可以斷定方程可以斷定方程e ex x-x-3=0-x-3=0的一個(gè)根所在區(qū)間

12、是的一個(gè)根所在區(qū)間是( () ) x x-1-10 01 12 23 3 e ex x0.370.371 12.722.727.397.3920.0820.08 x+3x+32 23 34 45 56 6 解析解析: :(2)(2)構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)f(x)=ef(x)=ex x-x-3,-x-3,由上表可得由上表可得f(-1)=0.37-2=-f(-1)=0.37-2=- 1.630,f(0)=1-3=-20,1.630,f(0)=1-3=-20, f(1)=2.72-4=-1.280,f(1)=2.72-4=-1.280,f(2)=7.39-5=2.390, f(3)=20.08-6=14.

13、080,f(3)=20.08-6=14.080, f(1)f(1)f(2)0,f(2)0,所以方程的一個(gè)根所在區(qū)間為所以方程的一個(gè)根所在區(qū)間為(1,2),(1,2),故選故選C.C. 方法技巧方法技巧 (1) (1)確定函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間時(shí)確定函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間時(shí), ,通常利用零點(diǎn)存在性定理通常利用零點(diǎn)存在性定理, , 轉(zhuǎn)化為判斷區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)是否相反轉(zhuǎn)化為判斷區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)是否相反.(2).(2)求方程求方程f(x)=g(x)f(x)=g(x) 的根所在的區(qū)間的根所在的區(qū)間, ,可利用構(gòu)造函數(shù)的方法構(gòu)造函數(shù)可利用構(gòu)造函數(shù)的方法構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),h(x)=f(x)-g(x),通過(guò)通過(guò) 判斷函數(shù)判斷函數(shù)h(x)h(x)零點(diǎn)所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為方程零點(diǎn)所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為方程f(x)=g(x)f(x)=g(x)的根所在的區(qū)間的根所在的區(qū)間. . (2)(2)方程方程loglog3 3x+x=3x+x=3的解所在的區(qū)間是的解所在的區(qū)間是( () ) (A)(0,1)(A)(0,1)(B)(1,2)(B)(1,2) (C)(2,3)(C)(2,3)(D)(3,+)(D)(3,+) 解析解析: :(2)(2)構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)f(x)=logf(x)=log3 3x+x-3,x+x-3,方程方程loglog3 3x+x=3x+x=3的解