2018-2019學年黑龍江省哈爾濱三中高三(上)期中數學試卷(文科)

1、2018-2019 學年黑龍江省哈爾濱三中高三（上）期中數學試卷（文科）副標題題號一二三總分得分一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0 分）1.在復平面內，復數（ i 為虛數單位）對應的點位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若，則=（）A.B.C.D.3.，則=（）A.B.C.D.4.已知在等比數列 an15=93）中， a =1，a，則 a =（A. 5B. 5C. 3D. 35.等差數列 an 中， a+a =10，則 a +a +.+ a =（）26127A. 15B. 35C. 50D.706.已知向量，則“ x=-2”是“ 與 反向”的（）A.

2、充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件7. 如圖所示，在正方形 ABCD 中， E 為 BC 的中點， F 為的 AE中點，則 =（）A.B.C.D.ABC中，ab、c分別為內角AB、C的對邊，若a=4，b=5，cosA=，則8. 在、B=（）第1頁，共 16頁A.B. 或C.D. 或9. 對于非零向量， ， ，下列命題中正確的是（）A.B.若=，則=若，則=（）2C. 若 ，則 在 上的投影為 | |D. 若 + = （ =0121， 2R），則 1 210. 已知函數 f（ x）是定義在 R 上的奇函數，對任意的 xR 都有 f（ x+ ）=f（ x-

3、），當x（ -）時， f（ x）=（ 1-x），則 f（ 2017）+f（2019 ） =（）A.1B.2C.-1D.-211.已知 f （ x） =cosx-sinx，x0， ，則函數的值域和單調增區(qū)間分別為（）A.B.C.D.12. 在 ABC 中， a、b、 c 分別為內角 A、B、C 的對邊， b=ccosA，SABC=12 ，點 P 為線段 AB 上一點，=x+y，則 xy 的最大值為（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空題（本大題共4 小題，共 20.0 分）13.數列 an 滿足 a1=1， an+1=2an+1，則數列 an 的前 6項和 S6=_14.函數 f（x）=A

4、sin（ x+）（ 0，- ）的部分圖象如圖所示，則f（ x）的解析式為 _15.已知向量| |=1| |=2，|=，則 與 的夾角為_，16.已知數列 an 的前 n 項和 Sn 滿足：，數列 bn=ancos（ n），前2n 項和為 T2n，則滿足 T2n 2018的最小正整數 n=_三、解答題（本大題共7小題，共82.0 分）17. 已知公差不為零的等差數列 an 的前 n 項和為 Sn，若 S15=120，且 a1， a2， a4 成等比數列（ ）求數列 an 的通項公式；（ ）設數列 an 滿足 bn=，求數列 bn 前 n 項和 Tn 第2頁，共 16頁18.已知 ABC 的角 A

5、， B， C 所對的邊分別為a，b， c，且 acosB+bsinA=c（ ）求角 A 的大??；（ ）若 a=1，?=3，求 b+c 的值19. 已知數列（ ）求（ ）設 an 中， a1= 且 an= （an-1+n+1）（ n2， nN*）a2， a3；并證明 an-n 是等比數列；n=2n?an，求數列 bn 的前 n 項和 Sn20. 已知橢圓C=1a b0）的離心率為，橢圓C和拋物線y2有相同的：（ =4x焦點（ ）求橢圓C 的標準方程；（ ）A，C 是橢圓的右頂點和上頂點，直線 y=kx（ k 0）和橢圓 C 交于 B，D 點若四邊形 ABCD 面積為 2，求該直線斜率21. 已知

6、 f （ x） =ex?sinx（ ）列表求 f（ x）在（ 0，2）的所有極值；（ ）當 x0， 時，（ i）求證： f（ x） x；（ ii）若 f（ x） kx 恒成立，求 k 的取值范圍第3頁，共 16頁22.在直角坐標系xOy 中，曲線 C1：（ x-2）2+y2=4 ，曲線 C2：（ 為參數） 以坐標原點為極點，以x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系（ ）求 C1 ，C2 的極坐標方程；（ ）射線 l 的極坐標方程為=（ 0， 0），若 l 分別與 C1， C2 交于異于極點的M， N 兩點求 |OM|?|ON|的取值范圍23. 已知函數 f（ x） =|x-a|+|x+b|（ ）若

7、a=1， b=2，求不等式 f（ x） 5的解集；（ ）若 a 0， b 0，且 a+4 b=2ab，求證： f（ x）第4頁，共 16頁答案和解析1.【答案】 D【解析】解：=，在復平面內，復數對應的點的坐 標為（），位于第四象限故選：D利用復數代數形式的乘除運算化簡求得 z 的坐標得答案本題考查復數代數形式的乘除運算，考 查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題2.【答案】 A【解析】解：若=-sin ，則=-sin =，故選：A由條件利用 誘導公式進行化簡所給的式子，可得結果本題主要考查利用誘導公式化簡式子，屬于基礎題3.【答案】 C【解析】題，且 1，解：根據 意，則=cos = ；故

8、選：C根據題意，由函數的解析式分析可得=cos，計算即可得答案本題考查分段函數的解析式的應用，注意分析的值礎題，屬于基4.【答案】 D【解析】解：設公比為 q，由等比數列的通項公式可得 a5=a1q4，即9=1?q4，解得 q2=3，a3=a1 q2=3，故選：D第5頁，共 16頁設公比為 q，由等比數列的通項公式可得 a5=a1q4，由此求出 q2 的值，再由 a3=a1q2 求得結果本題主要考查等比數列的通 項公式的應用，屬于基礎題5.【答案】 B【解析】解：因為數列 a n 為等差數列，所以 a2+a6=10=2a4，a4=5，則 a1+a2+.+a7=7a4=35，故選：B根據等差中

9、項的性質，a2+a6=10=2a4，a4=5，再將S7 轉化為含有 a4 的算式即可本題考查了等差數列的性 質，等差中項，等差數列的前 n 項和屬于基礎題 6.【答案】 C【解析】解：向量共線則坐標對應成比例，而要反向，也就是系數為負，只有一個解就是x=-2“ x=-2”是“ 與反向 ”的充要條件故選：C由向量共 線則 坐標對應 成比例，而要反向，也就是系數 為負 ，得到只有一個解，可判斷出結論本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，是基 礎題7.【答案】 D【解析】解：根據題意得，=（+）而=+=+=（+）=+=-+；故選：D第6頁，共 16頁運用平行四 邊形法則和平面向量基本定理可得結

10、果本題考查平行四邊形法則和平面向量基本定理8.【答案】 A【解析】解：根據題意，在ABC 中，cosA=，則 sinA= ，且 A 為銳角；又由=，可得 sinB=，又由 a=4則則； b=5， B A， B=故選：A根據題意，有 cosA 的值求出 sinA 的值，結合正弦定理可得 sinB=，計算可得 sinB 的值，比較 a、b 的大小，分析可得答案本題考查三角形中正弦定理的應鍵是掌握正弦定理的形式，屬于基礎用，關題9.【答案】 B【解析】對選項A ，若=，所以（）?=0，故A錯誤，解： 于對于選項B，若，所以則=2，故B 正確，=0，）對于選項 C，若 ，則在上的投影 為 |，故C 錯

11、誤，對于選項 D，若+=，不能推出 =0，故D 錯誤，1212綜選項B 正確，上可知：故選：B由平面向量數量 積的性質及其運算逐一 檢驗即可得解，本題考查了平面向量數量 積的性質及其運算，屬中檔題10.【答案】 A【解析】【分析】根據題意，對 f （x+）=f（x-）變形可得 f（x ）=f（x-3），則函數 f（x）是周期為 3的周期函數，據此可得 f （2017）=f（1+6723）=f（1），f（2019）=f（6733）=f（0），結合函數的解析式以及奇偶性求出f （0）與f （1）的值，相加即可得答案 .第7頁，共 16頁本題考查函數的奇偶性與周期性、 對稱性的應用，關鍵是求出函數的

12、周期，屬于基礎題 .【解答】解：根據題意，函數 f （x）滿足任意的 xR 都有 f （x+ ）=f（x- ），則 f（x）=f（x-3），則函數 f（x）是周期為 3 的周期函數，f （2017）=f（1+6723）=f（1），f（2019）=f （6733）=f（0），又由函數 f（x）是定義在 R 上的奇函數，則 f （0）=0，x（-）時，f （x）=（1-x），則 f （-1）=1- （-1）=-1，則 f（1）=-f （-1）=1；故 f（2017）+f （2019）=f （0）+f（1）=1.故選 A.11.【答案】 A【解析】解：f（x）=cosx-sinx=cos（x+），x

13、0，x+ ， ，-1 cos（x+），即- cos（x+）1，則值為-，1f（x）的 域由 x+ （， ），可得x：（ ，），即單調增區(qū)間為：（ ，）故選：Af （x）解析式提取變形后，利用兩角和與差的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，根據余弦函數的 值域即可求出 f （x）的值域，利用余弦函數的 單調性可求單調遞增區(qū)間此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，以及余弦函數的定義域與值域及單調性，熟練掌握公式是解本 題的關鍵，屬于基礎題12.【答案】 B【解析】第8頁，共 16頁解：b=ccosA，b=c ，化簡可得，a2+b2=c2，C=90，SABC =12，ab=24，=x+y，且均為單位向量

14、，過 P 分別作 PEBC，PFAC，垂足分別為 E，F(xiàn)，則 PE=x，PF=y，兩式相加可得，由基本不等式可得， 1=僅時取等號，當且 當解可得，xy6則 xy 的最大值為 6故選：B由 b=ccosA，結合余弦定理可求 C=90，結合三角形的面 積公式可求 ab，再由=x+y，結合均為單位向量，和平行線分線段成比例可得，結合基本不等式可求本題綜合考查了余弦定理，三角形的面 積公式，基本不等式的 綜合應用，13.【答案】 120【解析】解：an+1=2an+1，an+1+1=2（an+1），又a1+1=2， =2，數列 a n+1 是首項為 2，公比為 2 的等比數列，n-1nanan+1=

15、22=2 ， n=2 -1，S6=2-6=120，故答案為 120第9頁，共 16頁an+1=2an+1，an+1+1=2（an+1），利用a n+1 是等比數列可得 an 的通項公式，從而可得 S6本題考查了數列求和，屬中檔 題14.【答案】 f（ x） =2sin（ 2x- ）【解析】解：由函數 f（x）=Asin（x+）的部分圖象知，A=2 ，=-=，T=，=2，由 x= 時，2 += ，解得 =- ，所以 f （x）=2sin（2x- ）故答案為：f（x）=2sin（2x- ）由函數 f（x）的部分圖象，求出 A 、T、和 的值，即可寫出 f（x ）的解析式本題考查了正弦型函數的 圖象

16、與性質的應用問題，是基礎題15.【答案】【解析】解：設與的夾角為 ，0，則由 |=，平方可得7=1+4+2 1 2cos，解得 cos=，= ，故答案為設與的夾角為 ，由條件|=，平方可得 cos=，由此求得 的值本題主要考查兩個向量的數量 積的定義，向量的模的定義，已知三角函數值求角的大小，屬于中檔 題16.【答案】 6【解析】解：n=1 時，S1=2a1-2，a1=2，n2時，an=Sn-Sn-1=2an-2-2an-1+2=2an-2an-1，第10 頁，共 16頁an=2an-1，又a1=2，an 是以 2 為首項，2 為公比的等比數列，an=22n-1=2n，bn=2ncosn ，T

17、2n=-21+22-23+24+22n=-+，由 T2n 2018得 - + 2018，得22n+1 6056，n=5 時，211=20486056，n=6 時，213=81926056，故 n 的最小值為 6故答案為 6先求出 an，bn，再利用等比數列求和公式得T2n，再解不等式可得 n 的最小值 本題考查了數列的求和，屬中檔 題22217.【答案】解：（ ）設 an 的公差為 d，則 a2 =a1a4，（ a1+d） =a1（a1+3d），d =a1d，又 d0， a1=d，1511S=15a +d=120 ， a =d=1，an=n（ ） bn= -，Tn=1-=-+-+-+ +-【解

18、析】（）設公差為 d，根據題意列方程 組可得 a1=d=1，由此可得 an；（）使用裂項求和可得本題考查了數列求和，屬中檔 題18.【答案】 解：（ ） acosB+bsinA=c由正弦定理：可得sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin （ A+B）即 sinAcosB+ sinBsinA=sinAcosB+cosAsinB sinBsinA=cosAsinB0 B ， sinB0， sinA=cosA第11 頁，共 16頁即 tanA= 0 A ，A= （ ） ?=3，可得：即 bccosA=3可得： bc=2a=1，222由余弦定理可得：a =b +c -2cbcosA22可得

19、 7=b +c 即（ b+c） 2-2bc=7b+c=【解析】（）利用正弦定理，邊化角，根據三角形內角和定理，即可求角A 的大??；（）a=1，?=3，利用向量的夾角公式即可求解 b+c 的值本題考查了正余弦定理的靈活運用和計算能力屬于中檔題19.【答案】 解：（ ）由題意，可知：=，=當 n=1 時，當 n2時，=數列 an -n 是以 為首項，為公比的等比數列（ ）由（ ），可知：， nN* =Sn=b1 +b2+b3+bn123n=（ 1?2 +1 ）+（ 2?2 +1）+（ 3?2 +1）+ （ n?2 +1）123n=1 ?2 +2?2 +3?2 +n?2 +n， -第12 頁，共 1

20、6頁（ n-1）?2n+n?2n+1+2 n- -，可得：n+1-n?2+n-2n=n+1=（ 1-n）?2-n-2，【解析】本題第（）題可根據遞推式逐步代入算出a2和 a3的值，再根據題意將 an 的遞推式代入 an-n 進行計算化簡最終會得到 an-n 和 an-1-（n-1）的關系，最終得證數列 a n-n 是等比數列；第（）題先根據（）求得bn 的通項公式，得到，由bn通項公式的特點可根據 錯位相減法得到數列 b n 的前 n 項和Sn本題第（）題主要考查根據遞推公式逐步代 值，以及根據遞推公式求出通 項公式；第（題）主要考查利用錯位相減法來求數列的前n 項和本題屬中檔題20.【答案】

21、 解：（ ）由拋物線y2=4x，得焦點F（ 1， 0），則 c=1，又，得 a=， b2=a2-c2=1橢圓 C 的標準方程為；（ ）由橢圓方程可得：A（）， B（ 0， 1），如圖，聯(lián)立，得，|BD |=第13 頁，共 16頁A 到直線 y=kx 的距離為， C 到直線 y=kx 的距離為四邊形 ABCD 面積 S=，解得： k=【解析】（）由拋物線方程求得焦點，得到 c，再由離心率求得 a，結合隱含條件求得 b，則橢圓 C 的標準方程可求；（）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求解 B 的坐標，得到|BD|，再由點到直線的距離公式求得 A ，C 到 BD 的距離，代入面積公式求 k本題考查橢圓 方程

22、的求法，考 查直線與橢圓位置關系的 應用，考查計算能力，是中檔題【答案】 解：（ ）因為 f（ x）=exsinx，所以 f（ x） =ex（ sinx+cosx）=exsin（ x+21.），f （ x）， f（ x）， x 的變化關系如下表：x（0， ）（ ， ）（ ， ）f（ x）+0-0+f（ x）遞增極大值遞減- e遞增x（ ）（ i ）令 g（ x） =f（ x）-x=e ?sinx-xxg（ x） =e （ sinx+cosx） -1，令 h（ x）=ex（ sinx+cosx），則 h（ x）=2excosx0對 0， 恒成立，h（ x）在 0， 上是增函數，則h（ x） 1，

23、e ，g（ x） 0恒成立， g（ x）在 0， 上為增函數，g（ x） min =g（ 0） =0；f（x） x（ ii ）令 g（ x） =f（ x） -kx=exsinx-kx要使 f（ x） kx 恒成立，只需當0， 時， g（ x） min0，g（ x） =ex（ sinx+cosx） -k，令 h（ x）=ex（ sinx+cosx），由（ i）得 h（ x） 1， e ，當 k1時， g（x） 0恒成立， g（ x）在 0， 上為增函數，g（ x） min =g（ 0） =0， k1滿足題意；第14 頁，共 16頁當 1時， g（ x） =00， 上有實根x0，h（ x）在 0， 上是增函數，則當 x0，x0）時， g（ x） 0， g（x0） g（ 0）=0 不符合題意；當 k時， g（ x） 0恒成立， g（ x）在 0， 上為減函數，g（ x） g（ 0） =0 不符合題意 k1，即 k（ -， 1【解析】（）求出函數的導函數，由導函數大于 0 求其增區(qū) 間，導函數小于 0 求其減區(qū)間；（）i）（構造輔助函數 g（x ）=f（x）-x，把問題轉化為求 x0， 時，g（x）0，min（ii ）構造輔助函數 g（x ）=f（x ）-kx ，把問題轉化為求 x0， 時，g（x）0，然min后對 k 的值進行分類