2019-2020學(xué)年湖南師大附中高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(二)(10月份)

1、2019-2020 學(xué)年湖南師大附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷 （理科）（二）（ 10 月份）一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0 分）1.22?- 3 1，則 ?= ()已知集合 ?= ?|?-?= ?|2A. 3,+ )B. (3 ,+ )C.2D.2.已知函數(shù) ?(?)=?+ ?，則“ ? 0 ”是“ ? ?0?，使 ?(?0) 0 ”的 ( )? +A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件?= 2 0.4 ，則 (D. 既不充分也不必要條件3.設(shè))A. ? ? ?B. ? ? ?C. ? ? ?D. ? ? 0) 長軸的端點(diǎn)，、 為橢圓?|?|動(dòng)點(diǎn)M滿足= 2

2、，若 ?面積的最大值為81，則|?|， ?面積的最小值為橢圓的離心率為 ()A.2B.3C. 2D.3332210.如圖所示， 在單位正方體 ?-?1 ?1 ?11的面對(duì)角線 ?1?上存在一點(diǎn) P 使得 ?+ ?1 ?取得最小值，則此最小值為 ()A.2B. 2+ 62C. 2+ 2D. 2+ 2211.已知函數(shù) ?(?)= ? - 2?|?|與?(?)= sin (?+ ?)有兩個(gè)公共點(diǎn)，則在下列函數(shù)中滿足條件的周期最大的 ?(?)= ( )?A. sin (2?- 2)B. sin ( 2 ?-2 )C. sin (?- 2)D. sin (?+ 2 )12. 設(shè) D 是含數(shù) 1 的有限實(shí)

3、數(shù)集， ?(?)是定義在 D 上的函數(shù)若 ?(?)的圖象繞原點(diǎn)逆?(1)的可能取值只能是 ( )時(shí)針旋轉(zhuǎn) 6 后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，A. 3B. 3C. 3D. 023二、填空題（本大題共4 小題，共20.0 分）第2頁，共 17頁13.計(jì)算1 1- (?- 1) 2 ?= _014.在公差大于0 的等差數(shù)列 ? 中， 2? -? =1，且 ?，? - 1，? + 5成等比數(shù)?713136列，則數(shù)列 (-1)?-1? 的前21項(xiàng)和為_15.若函數(shù) ?=( )的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 則稱點(diǎn)對(duì)( )?,?為?= ?的“友情點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)對(duì)?,?與 ?,?可看作同一個(gè)“友情點(diǎn)

4、對(duì)”，若函數(shù)()? =2, ?0,恰好有兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)a 的值為-?329?+?,? 0+6?-_16.點(diǎn)M為棱長是 22的正方體 ?-?1?1?1?1 的內(nèi)切球 O 球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N 為?11的中點(diǎn)，若滿足 ?，則動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡的長度為 _三、解答題（本大題共7 小題，共82.0 分）17.?-2 ? 2?-?在 ?中，內(nèi)角 ?,?,?的對(duì)邊分別為 ?,?,?已.知 cos cos=(1)求sin 的值cos?sin ?1(2) 若cos?= 4 , ?= 2 ，求 ?的面積18. 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級(jí)如表：質(zhì)量指標(biāo)值 m? 185185 ?

5、 205 0 ，存在唯一的 s，使 ?= ?(?)(3) 設(shè)(2) 中所確定的2時(shí)，有2 ?5ln? 0，? 0 ，?+ ?= ?，求證： ? +?+12?+1 1第5頁，共 17頁答案和解析1.【答案】 A【解析】 【分析】本題考查二次不等式的求解及指數(shù)不等式的求解，同時(shí)考查集合的補(bǔ)集，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)集合A 是二次不等式的解集，集合 B 是指數(shù)不等式的解集，因此可求出集合A，B，根據(jù)補(bǔ)集的求法求得?【解答】解：因?yàn)?2?- 3 0 =?|- 1 ? 1 =?|?+ 1 0 =?|? -1，則 ?= 3, +)故選 A2.【答案】 A【解析】 【分析】通過 ?0，判斷函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式有解，說明

6、充分性；不等式有解，說明c 的值不一定小于 0，判斷必要性即可本題考查充要條件的判斷與應(yīng)用， 二次函數(shù)與二次不等式的解集的關(guān)系，考查計(jì)算能力【解答】解：函數(shù)22?(?)= ? + ?+ ?，則“ ? 0，函數(shù)與 x 有兩個(gè)交點(diǎn)，所以“ ?0 ?，使 ?(?)0 0成立而“ ?，使 ?(?)0 22，即200 ”即 ? + ?+ ? 0? 4?， c 不一定有 ?0，綜上函數(shù)2?，使 ?(?)0 0”的充分不必要?(?)= ? + ?+ ?，則“ ? 0”是“ ?0條件；故選 A3.【答案】 A【解析】 【分析】本題考查比較大小的方法，涉及對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，找中間值是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題b

7、的底數(shù)大于0 小于 1，而真數(shù)大于 1 ? ? 0，?= log 48 =3 ，0.4 20.5= 220?=23 ，即可比較大小2【解析】解： 0.4 (0,1) ，故在 (0, +)上單調(diào)遞減，則，又 ?= log 4 8=3，20.40.53，0 ?= 22 =22? ? ?故選 A第6頁，共 17頁4.【答案】 B【解析】 解：作出平面區(qū)域如圖所示：當(dāng)直線 ?= ?+ ?分別經(jīng)過A， B 時(shí)，平行線間的距離相等?+ ?-3= 0聯(lián)立方程組 ，解得 ?(2,1)，?+ ?-3= 0聯(lián)立方程組 ，解得 ?(1,2)兩條平行線分別為?= ?-1， ?= ?+ 1，即 ?-?- 1 = 0，

8、?-?+ 1 = 0平行線間的距離為 ?=|-1-1|= 2，2故選： B作出平面區(qū)域，找出距離最近的平行線的位置，求出直線方程，再計(jì)算距離本題考查了平面區(qū)域的作法，距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5.【答案】 C【解析】 解：函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B，?當(dāng) ?= 1時(shí)， ?= 4 1，排除 A；|?|當(dāng) ? + 時(shí)， ?4? + ，排除 D 故選： C判斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，利用特殊值和極限思想進(jìn)行排除本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷， 判斷函數(shù)的奇偶性以及利用排除法是解決本題的關(guān)鍵6.【答案】 A【解析】 解：模擬執(zhí)行程序，可得此程序框圖執(zhí)行的是輸入一個(gè)正整數(shù)n，求1 +1+ ?

9、 +1的值 S，并輸出 S，1223(?+1)(?+2)111111111?+1由于 ?= 12+ 23+ ? + (?+1)(?+2) = 1 -2+ 2 -3+ ? + ?+1-?+2= 1-?+2 = ?+2，令 ?= 0.7，解得 ?= 4，不是正整數(shù)， 而 n 分別輸入2，3，8 時(shí)，可分別輸出 0.75 ，0.8，30.9 第7頁，共 17頁故選： A111模擬執(zhí)行程序， 可得此程序框圖的功能是計(jì)算并輸出?= 12+ 23+ ? + (?+1)(?+2) 的值，結(jié)合選項(xiàng)，只有當(dāng)S 的值為 0.7時(shí)， n 不是正整數(shù)，由此得解本題主要考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖， 解題的關(guān)鍵是判斷

10、程序框圖功能， 屬于基礎(chǔ)題7.【答案】 C【解析】 【分析】根據(jù)圖形觀察歸納猜想出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式， 再根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)排除， 即可求得結(jié)果考查學(xué)生觀察、分析和歸納能力，并能根據(jù)歸納的結(jié)果解決分析問題，注意對(duì)數(shù)的特性的分析，屬中檔題【解答】解：由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)?- ?-1= ?；?-1 - ?-2 = ?- 1 ， ,?2 -?= 21?(?+ 1) ，相加得 ? =2同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)?2，?= ?2?=(?+ 1)，則由 ?= ?(?+ ) 可排除 D，又由2?2 (?+ 1) = 289 與 2 (?+ 1) = 1024 無正整數(shù)解，C 符合故選 C8.

11、【答案】 C【解析】 【分析】本題考查平面向量數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用， 考查向量加減法及運(yùn)算求解能力， 屬于中檔題1? 1?52121，由 M 是線段 AB 的中點(diǎn) ? ?，從而 ?= 2?+ 2? ? ? ?=6?-3?+2?再結(jié)合題意，將條件代入計(jì)算即可【解答】解：因?yàn)?M 是線段 AB 的中點(diǎn)，所以 ?1?1?，= 2+ 2從而 ? 5 ? 2 ? 1 ? 1 ?= ( 3 ?- 3 ?)?(2 ?+ 2 ?)= 56 ?2- 13 ?2+ 12 ?，由圓的方程可知圓O 的半徑為4，即 ? ? ， |?= |? = 4又因?yàn)?|?|= 4，所以 =?60故 ? ，?= 8所以 ?=56

12、 16 - 13 16 + 12 8 = 12故選 C第8頁，共 17頁9.【答案】 D【解析】 解：由題意可得 ?(-?,0) ， ?(?,0) ，?(0,?)，?(0,-?) ，設(shè)?(?,?)，22|?|(?+?)+?=22 =|?| (?-?)+?2 ，整理可得，22?+ ?-10?23+?= 0，即 (?-5? 223 )+?=25?為16?，是以 ?(, 0)934?圓心，以3 為半徑的圓，5?4?14?結(jié)合圖象可知，當(dāng)?( 3, 3 ) 時(shí)， ?面積取得最大值2 2? 3= 8，?= 6，當(dāng) M 位于如圖 ?1(1 ?,0)時(shí)， ?面積取最小值 1 2?1 ?= 1，323?=6，

13、2223 2，?=?3?=?= ?- ? =22故選： D根據(jù)已知，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求出M 的軌跡方程，然后結(jié)合圓的性質(zhì)可分別找出滿足題意的 M 的位置，代入即可求解a， b，可求離心率題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了圓的軌跡方程的求解，是中檔題10.【答案】 D【解析】 【分析】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查計(jì)算能力，空間想象能力，是基礎(chǔ)題把對(duì)角面 ?1?繞 ?1?旋轉(zhuǎn)至 ?1 ? 1，?使其與 ?1在同一平面上，連接 ?并求出，就是最小值1【解答】解：如圖所示，把對(duì)角面?1 ?繞 ?1?旋轉(zhuǎn)至 ?1 ? 1，?使其與 ?1，1 ?在同一平面上，連接則為所求的最小值故選： D11.【答案】

14、 C第9頁，共 17頁【解析】 解： ?(?)定義域?yàn)?? 0 ，2 當(dāng) ? 0 時(shí)， ?(?)= ? - 2?|?|=2 ，? - 2?，令，解得 ?= 1，由，則0 ?，則 ?1，則當(dāng) ?= 1時(shí)， ?(?)取的最小值，最小值為 ?(1) = 1；2 當(dāng) ? 0 時(shí)， ?(?)= ? - 2?|?|=2? + 2?，則，令，解得 ?= -1 ，由，則 ? ，則 -1 ? 0 ，則當(dāng) ?= -1 時(shí)，函數(shù) ?(?)取最小值，最小值為 ?(-1)= 1 綜合 所述： ?(?)的最小值為 ?(-1) = ?(1) = 1 ，只有 2 個(gè)公共點(diǎn)，?(?)最大值為 1則最長周期為 |(-1) - 1

15、| = 2 ，即 ?=2? = 2，即 ?=?，則 ?(1) = sin (?+ ?) = 1 ，即 ?+ ?= 2?+?，即 ?= 2?-， ?22則周期最大的 ?(?)= sin (?+ 2?-?2) = sin (?-2) ， ?，故選： C利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) ?(?)的最值，畫出 ?(?)，?(?)的圖象，利用 ?(?)與 ?(?)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，建立條件關(guān)系，結(jié)合周期公式和最值點(diǎn)，即可得到結(jié)論本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用， 根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵， 綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題12.【答案】 B【解析】 【分析】本題屬于新定義題型，綜合性較強(qiáng)，考察函數(shù)概念的理解和應(yīng)用【解答

16、】解：由題意得到：問題相當(dāng)于圓上由12 個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?6個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合我們可以通過代入和賦值的方法當(dāng)?(1) = 3，3，0 時(shí)，3? ?此時(shí)得到的圓心角為 3， 6 ， 0，然而此時(shí) ?= 0或者 ?= 1 時(shí)，都有2 個(gè) y 與之對(duì)應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個(gè)x 只能對(duì)應(yīng)一個(gè) y，第10 頁，共 17頁3?因此只有當(dāng) ?= 2 ，此時(shí)旋轉(zhuǎn)6 ，此時(shí)滿足一個(gè)x 只會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)y，因此答案就選： B故選： B113.【答案】 2?【解析】 解：令 1- (?- 1) 2 = ? 0，則 (?- 1)221(? 0, ? 0) ，+?=12表示的是圓 (?-

17、1)22的面積的1， 1- (?- 1)+ ? = 1(? 0, ? 0)?201(?- 1) 21 1-?= ?.021故答案為：2 ?.利用定積分的幾何意義即可求出本題主要考查積分的幾何意義，熟練掌握微積分基本定理是解題的關(guān)鍵14.【答案】 21【解析】 解：在等差數(shù)列 ?-?13 = 1，?中，由 2?7得 2?1+ 12?- (?1 + 12?) = 1 ，即 ?1 =1，又 ?，? -1 ， ? + 5成等比數(shù)列，136(?3 - 1) 2= ?1 (?6 + 5) ，即(1 + 2?- 1)2 = 1 + 5?+ 5，解得 ?= 2( 負(fù)值舍去 ) ? = 1 + 2(?- 1)

18、= 2?-1，數(shù)列 (-1)?-1? 的前 21 項(xiàng)和為 ? - ? + ? - ? + ? + ? - ? + ?1234192021= 1-3+5-7+? +37- 39+41=-210+41=21故答案為： 21由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得首項(xiàng)為 1，再由等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得公差 d，進(jìn)而得到等差數(shù)列 ?的通項(xiàng)，再由并項(xiàng)求和即可得到所求和本題考查數(shù)列的求和， 注意運(yùn)用并項(xiàng)求和， 考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題15.【答案】 2【解析】 解：由題意可知-?32在 ( 0, + ) 上有兩解，+ 6? - 9?+ ?= -2即322在

19、 (0, + ) 上有兩解，?= ?- 6? + 9?-設(shè)( )32，? =? -6? + 9?- 2，則令得?=1或 ?= 3當(dāng) 0 ?，當(dāng) 1 ? 3 時(shí)，0/ ，( )(0,1)上單調(diào)遞增，在1,3)上單調(diào)遞減，在 3, +)上單調(diào)遞增，?在當(dāng) ?= 1 時(shí)，( )取得極大值()( )()= -2? 1= 2，當(dāng) ?= 3 時(shí)， ?取得極小值 ?3作出 ?(?)的函數(shù)圖象如圖所示：第11 頁，共 17頁322在( 0, + ) 上有兩解，?= ? -6? + 9?-?= 2 故答案為 2由對(duì)稱可知( )(0, +)32? = 2在上有兩解， 分離參數(shù)得 ?= ? -6? + 9?- 2，

20、作出函數(shù)圖象，根據(jù)解的個(gè)數(shù)得出a 的范圍本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與極值計(jì)算，根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題16.【答案】410?5【解析】 解：設(shè) ?的中點(diǎn) E，CE 為 DM 在平面 ?1中的射影，直線DM 在過點(diǎn) D11且與 BN 垂直的平面內(nèi)又點(diǎn) M 在內(nèi)接球的球面上，故點(diǎn) M 的軌跡是正方體的內(nèi)切球與過D 且與 BN 垂直的平面相交得到的小圓，即點(diǎn) M 的軌跡為過 D， C， E 的平面與內(nèi)切球的交線由等面積21 10 ? =21 2 2，求得點(diǎn) O 到此平面的距離為10 ，截得小圓的半徑為210，55所以以點(diǎn) P 的軌跡的長度為4 10?，5故答案為 410?5直線 DM 在過點(diǎn)

21、 D 且與 BN 垂直的平面內(nèi)又點(diǎn) M 在內(nèi)接球的球面上，故點(diǎn)M 的軌跡是正方體的內(nèi)切球與過D 且與 BN 垂直的平面相交得到的小圓，即可得出結(jié)論本題考查了學(xué)生的空間想象力，求出點(diǎn)M 的軌跡是關(guān)鍵，屬于中檔題17.【答案】 解： (1) ?-2?2?-?2?-? =? =，?-2?= ?-?， ?+ ?= 2?+ 2?， sin (?+ ?) = 2?(?+ ?)，?= 2?，?= 2；?(2) 由 (1) 可得 ?= 2?，第12 頁，共 17頁222由余弦定理可得 ?= ? + ? - 2?，2224= ?+ 4?-?，解得 ?=1，則 ?=2，?= 41，?= 15 ，4111515 ?

22、= 2 ?=2124 =4【解析】 本題考查正余弦定理解三角形三角形的面積公式，涉及和角的三角函數(shù)，屬中檔題(1) 根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式即可求出，(2) 由 (1) 可得 ?= 2?，再由余弦定理可得a， c 的值，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可18.【答案】 解： (1) 根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，一、二等品所占比例的估計(jì)值為0.200 + 0.300 + 0.260 + 0.090 + 0.025 = 0.875 ，由于該估計(jì)值小于 0.92 ，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占到全部產(chǎn)品的92% 的規(guī)定”；(2) 由頻率分布直方圖知，一、二、三等品的頻率分

23、別為0.375 、0.5 和 0.125 ，故在樣本中，一等品 3件，二等品4 件，三等品 1件；再從這 8 件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2 種， 一等品 2 件，二等品1件，三等品1 件； 一等品 1 件，二等品2 件，三等品1 件，2111213? ?+? ?故所求的概率為 ?= 341 4341 =；?78(3) “質(zhì)量提升月”活動(dòng)前，該企業(yè)這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的均值約為170 0.025 + 180 0.1 + 190 0.2 + 200 0.3 + 210 0.26 + 220 0.09 +230 0.025 = 200.4 ；“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值

24、X 近似滿足 ?(218,140) ，則數(shù)學(xué)期望 ?(?)= 218 ；所以“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了218 - 200.4 = 17.6 【解析】 (1) 根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)計(jì)算一、二等品所占比例的估計(jì)值，判斷該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品是否符合“一、二等品至少要占到全部產(chǎn)品的92% 的規(guī)定”；(2) 由頻率分布直方圖知一、二、三等品的頻率值，計(jì)算樣本中一等品、二等品、三等品的件數(shù)，求出從這 8 件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 4 件，一、二、三等品都有的情形，計(jì)算所求的概率值；(3) 計(jì)算“質(zhì)量提升月”活動(dòng)前、后產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的均值，比較得出結(jié)論本題考查了頻率分布直方圖與古典概型的概

25、率計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題19.【答案】 (1) 證明： ?= ?， O 是 AD 的中點(diǎn)， ?，面 ?面 ABCD ，面 ?面 ?= ?，?面 ABCD ， ?/?， ? ?， ?= ?面 EOF? 面 EOF ， ?；(2) 解：設(shè) BC 的中點(diǎn)為M，連接 OM ， FM ，設(shè) OM 的中點(diǎn)為N，連接 FN第13 頁，共 17頁?/?， ?/?， ?/?，?， F，O， M 四點(diǎn)共面?， ?面 FBC 等價(jià)于 ?，直線 l 上存在唯一一點(diǎn) F 使得直線 OF 與平面 BCF 垂直，即等價(jià)于以O(shè)M 為直徑的圓與直線 l 相切， F 恰為切點(diǎn)， ?直線 l 與直線 OM 的距離為 1，故 ?= 1?， ?， OE， NF 共面， ?/?面 ABCD ， ?面 ABCD在直角 ?和?中， ?