勾股定理典型例題詳解及練習(xí)(附答案)

1、典型例題知識(shí)點(diǎn)一、直接應(yīng)用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有 AB CD EF、GH四條線段,其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（）A. CD、EF、GHC. AB、CD GHB. AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分樂屮1）題意分析本題考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾臉定理直接求出各邊長，再試行判斷解答過整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根據(jù)勾股定理，得昇EF = Q掄於十尸 = Q +F二艮同理 HE = 2百* QH. =1 CD = 25計(jì)算發(fā)現(xiàn) W 十血尸=（鷗31即血+曲=GH2 ,根據(jù) 勾股定理的逆宦理得到

2、UAAE、EF GH為辺的三角形是直毎三角形.故選 B. *縮題后KJ思專：*1. 勾股定理只適用于直角三角形，而不適用于說角三角形和鈍角三角形因此辭題時(shí)一宦妾認(rèn)真分析題目所蛤條件,看是否可用勾股定理來解口 *2. 在運(yùn)用勾股左理時(shí)，要正確分析題目所給的條件，不要習(xí)慣性地認(rèn)為 就是斜迫而“固執(zhí)”地運(yùn)用公式川二/十就 其實(shí)，同樣是S6不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3. 直角三第形的判定條件與勾股定理是互逆的.區(qū)別在于勾股定理的運(yùn) 用是一個(gè)從卅形s個(gè)三角形是直角三角形）到懺 y =沖十滬） 的過程，而直角三角形的判定是一從 嗦（一個(gè)三角形的三辺滿足 X二護(hù)+酹的條件）

3、到偲個(gè)三角形是直角三角形）的過程.a4在應(yīng)用勾股定理解題叭 聲全面地琴慮間題.注意m題中存在的多種 可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一塊直角三角形椀屈U,兩直角迫4CM5沁丸m 現(xiàn)將直角邊AC沿直繪AD折蠡 便它落在斜邊AB上.且點(diǎn)C落到點(diǎn)E處, 則切等于（、*C/)禎B. 3cmG -Icnin題童分析，本題著查勾股定理的應(yīng)用刎：）解龜思路；車題若直接在MQ中運(yùn)用勾股定理是無法求得仞的 長的，因?yàn)樨愔僖粭l邊衛(wèi)0的長，由題意可知，AACD和心迓門關(guān)于直 線KQ對(duì)稱.因而ACDhAED進(jìn)一歩則有應(yīng)RUm CZAED ED 丄AB,設(shè) UD=E2黃泱，則在Rt A ABO中，由勾股定理可得 =（

4、+=83=100,得 AB=10cm,在松遲DE 中,W ClO-fl） 2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理說到底是一個(gè)等式，而含有未知數(shù)的等式就是方程。所以，在利用勾 股定理求線段的長時(shí)常通過解方程來解決。勾股定理表達(dá)式中有三個(gè)量，如果 條件中只有一個(gè)已知量，必須設(shè)法求出另一個(gè)量或求出另外兩個(gè)量之間的關(guān)系， 這一點(diǎn)是利用勾股定理求線段長時(shí)需要明確的思路。方程的思想：通過列方程（組）解決問題，如：運(yùn)用勾股定理及其逆定理求 線段的長度或解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常利用勾股定理中的等量關(guān)系列出方程來解決問題等。例3： 一場罕見的大風(fēng)過后，學(xué)校那棵老楊樹折斷在地，此刻，張老師正和占明、清華、繡亞、冠

5、華在樓上憑欄遠(yuǎn)眺。清華開口說道：“老師，那棵樹看起來挺高的。”“是啊，有10米高呢，現(xiàn)在被風(fēng)攔腰刮斷，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧?！惫谌A興致勃勃地說。張老師心有所動(dòng)，他說：“剛才我跑過時(shí)用腳步量了一下，發(fā)現(xiàn)樹尖距離樹根恰好3米，你們能求出楊樹站立的那一段的高度嗎？”占明想了想說：“樹根、樹尖、折斷處三點(diǎn)依次相連后構(gòu)成一個(gè)直角三角“勾股定理一定是要用的，而且不動(dòng)筆墨恐怕是不行的。”繡亞補(bǔ)充說。幾位男孩子走進(jìn)教室，畫圖、計(jì)算，不一會(huì)就得出了答案。同學(xué)們，你算出來了嗎？思路分析：1）題意分析：本題考查勾股定理的應(yīng)用2）解題思路：本題關(guān)鍵是認(rèn)真審題抓住問題的本質(zhì)進(jìn)行分析才能得出正

6、確的解答設(shè)直角三角形削三邊長分別為久 亠 如圖，則圧二了米10丿十 g又 c-b1 -a=U20 （米）*c -b c+B 1010 （米）.事解題后的慝曲這是一道圈讀理解奚試蕊 這種題型特點(diǎn)鮮明、內(nèi)容豐富、趙越常規(guī)， 源于謹(jǐn)本，高干課本*不彳貝考査閱謹(jǐn)能力，而且還綜合考杳數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù) 學(xué)嫌合應(yīng)用能打尤其著查藪字思縫能力和創(chuàng)新意込解題時(shí)一股是通 過閱滿理解槪念，拿握方法碩悟思想、抓住本質(zhì)，然后才能解答間題汀知識(shí)點(diǎn)二、構(gòu)造直角三角形使用勾股定理例4；如圖,一個(gè)長方體形的木柜談在墻角處（與墻面和地面均沒有耀隙 有一只螞蚊從柜陽丿處沿著木柜表面爬到柜角G處.“ 謎你畫出螞觀能夠最快到達(dá)目的地的可能路

7、徑，Q當(dāng) 曲 ，C=4匚以 時(shí).求螞蟻爬過的震矩路徑的長尹思路分析：屮1躍分析；卞題葦查勾股定理例應(yīng)用.P23解題思路；解決此糞間題的關(guān)國是把立悴圈形間題轉(zhuǎn)化丸平面圖形 問題.從而制用勾股定理解決.路徑雖無數(shù)最短卻唯一，要注意養(yǎng)洛哪一 條路徑是最短的.心解答過程：(1)如圖，木柜的表面展開圖是兩個(gè)矩珈和屮r螞秋能夠最快到達(dá)目的地的可自囲徑有如圖的/q和螞蛾沿著木柜表面經(jīng)娃段禺到G,爬過的路徑的檜是 押+(4 +對(duì)二坷” 螞軾沿著木柜表貢經(jīng)線段刀耳到爬過的路徑的長是 右二奸遍匚亨二J.,最短路徑的長是耳=毘屮恥=坐 AA = = 5=作耳左丄肚吁碼則夠、89沖所求.4解題后的恿考轉(zhuǎn)化的思想是將夏

8、朶問題特他分解次簡單旳I可題，或?qū)⒛吧腎可題 轉(zhuǎn)化為熟悉的間題來處理的一種慝想右法。如在許多實(shí)際間題中.首先 將師習(xí)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，另外，當(dāng)間題中沒有給出直甬三甬形時(shí)，通常通過作輔助線構(gòu)造直角三角形將它們轉(zhuǎn)化為直角三角形問題等。脣一塊直垢三用形的綠地，爲(wèi)得兩直角邊長分別為皿 8m現(xiàn)在 妾將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形!且擴(kuò)充部分是以如為直角邊的直角三角形 求擴(kuò)充后等腰三甬形綠地的周長.亠思翳分析：此題如戶圈形將變得很簡單，搔圈形解答同網(wǎng)但若沒有 圖彩，則需藝討論幾種可能的情況.這正是肚無圖題前細(xì)恩考，分糞討論 保周到二心解答5過程，在Rt曲C中，ZACB - 90a, AC- & BC-6 f由勾

9、 股定理育；AS = 10.獷充部分次RtMOD,擴(kuò)充成等睡他氏應(yīng)分旦 卩三種情況如圖L當(dāng)= .45=10時(shí)，可求得 屈Q的周長酋 伽1如圖h AB = SD=W,可求CD=4t 由勾股定理島 應(yīng)二4得朋D的周長劉20+40圈3)25當(dāng)AB底時(shí)設(shè)二九則UD二;r-&由勾股走理得80分類討論思想是解題時(shí)常用的一種思想方法，同學(xué)們?nèi)绻莆樟诉@種方法，可以使思維的條理性、縝密性、靈活性得到培養(yǎng)，才能在解題中真正做到不重不漏。知識(shí)點(diǎn)三、勾股定理及其逆定理的正逆混用例6：( 1圖甲是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形。若大正方形的面積為13,每個(gè)直角三角形兩條直角邊的和是 5,求中

10、間小正方形的面積。(2)現(xiàn)有一張長為6.5cm、寬為2cm的紙片，如圖乙，請(qǐng)你將它分割成 6 塊，再拼合成一個(gè)正方形。(要求：先在圖乙中畫出分割線，再畫出拼成的正方形并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù))思路分析；屮1) 題意分析：本題考查利用勾股定理進(jìn)行圖形的拼剖剪接“2) 解題思路，注意拼接過程中面積是不變的“(1) 設(shè)直角三角形的較長直角邊長為Q,較愆直甬邊長為b,則小正 方彩的邊長為a-ba由題意得存a + b = 5 a由勾股定理，得戸+滬=13 22必=12*-*所以(金2+滬-2於二13-12二1 卍即所求的中間4、正方形的面積為1門(2) 所拼成的正方彫的面積為6-5x2= 13(2),所以可按照?qǐng)D

11、甲制 作?！坝傻?。-0 = 2由、組成方程組解得。，b = 2結(jié)合題意，每個(gè)直角三角形的較長直角邊只能在纟氏片6.5cm的長邊上 截取，去掉四個(gè)直角三角形后，余下的面積為13 x3x2x4 = 13 12 =)2,恰好等于中間的小正方形的面積.于是，得到以下分劇拼合方法：卩3 cm3cm 0.5cm|JTT少 /、解題后的思考二這是一道綜合題，根據(jù)題目所扌是供的信息是不難解決 問題的，但是，要注意舉握和運(yùn)用好題目所給的各個(gè)有用信息，否則，問 題就不容易得到解決.P知識(shí)點(diǎn)四.妙應(yīng)用勾股定理卩例二如圖，以等腰三角形AOB的斜辺為直角辺向外作第2個(gè)等腰直角 三角財(cái)ABAp再以等Bf直角三角形AB山的

12、斜邊為直角邊向外作第3個(gè)等 櫻直角三角形AiBBp，如此作下去，若0 A=OB=b則第n個(gè)等腰 直角三角形的醞積鼻=- 21) J意分析；本題若查利用勾股定理進(jìn)行歸納推理2）解題思路：先在世ZAB0中，由OA=OB = 1求出AB=返：再 在R1AAB處中，由AB=A Ax= 2求出A山=2, ；再分別求出 AOB、AABAis AAiBBis的面積，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想出結(jié)論?！霸?RtAAB0 中，由ZAOB = 90, OA=OB = 1 可求出SjT 2aob= 2 xx = 2 =y 在現(xiàn) AB Ai 中，由Z直i占B=90, AB=AAi=1血，可求出AB=2, S2=2x72 x

13、= l=2；在妙知盹】中，由Z1AiBBi=90% AiB=BBi=2,可求出 AiBi=2血，S3=2 x2x 2=2=21.在 RtAAj B2Bi 中，由ZB2AlB1 = 90% A1B1=ALB2= 2,可2求出B1B2=4, S4= 2 x2龐x2龐=4=22；,由此可以犒想加嚴(yán)2.a解題后09思?xì)i類比歸納法是囪種或種以上在某些關(guān)糸上表現(xiàn)相似 的對(duì)彖進(jìn)行對(duì)比，作出歸納利斷的一種科學(xué)研究方法.在中考數(shù):學(xué)中考查 類比歸納法，旨衽引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)知識(shí)的類比和歸納，把知識(shí)由點(diǎn)連成線， 由線織成網(wǎng)，使知識(shí)有序化、系統(tǒng)化，從而使學(xué)生拿握知識(shí)內(nèi)在的規(guī)律。 P預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)亠下一講我們將講解四邊形的應(yīng)用

14、，本講內(nèi)容是中考重點(diǎn)之一，如特殊 四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等膊梯形）的性質(zhì)和判定， 以及運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際間題.中考中常以選擇題、坡空題、解答題和 證明題等彩式呈現(xiàn)，近年的中考中又出現(xiàn)了開啟題、應(yīng)用題、閱凌理解題、 學(xué)科間綜合題、動(dòng)點(diǎn)問題、折蠱問題等，這些都是熱點(diǎn)題型，應(yīng)引起同學(xué) 們高度關(guān)注.3同步練習(xí)（答題吋間:60分鐘）aD. 3叫在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，為了豐富群眾生活，擬建一個(gè)文選擇題卩1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1, /、從C是小正方形的頂點(diǎn)，則廈 A5C的度數(shù)為（A. 902如圖所示，盒、B、C分別表示三個(gè)村莊，AB=1000米，BC=600米, AC=800

15、米，化活動(dòng)中心，要求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等，則活動(dòng)中心P處的 位貫應(yīng)在（B. BC中電處 卩D. ZCffJ平分線與AB的交點(diǎn)處“A. AB中點(diǎn)處C. AC中點(diǎn)處3.如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點(diǎn)鳥到點(diǎn)U的距離天5, 一只螞瞅如果要沿著長方體冊(cè)表面從點(diǎn)占爬到點(diǎn) ,需要爬行的最愆距離 是（）卩二.塡空題4.某樓梯的側(cè)醞視圖如圖所示，其中AB = 4米，ZC = 30* ,ZC=90,因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在力$段樓梯所鋪地毯的長 度應(yīng)為O卩5. B5D RtAABC的周長是4亠牛療.斜邊上的中線長是2,則S頑=6如圖，長方體的底面邊長分別為lcm和3cm高為6cm

16、.如果用一根 細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)方，坯么所用細(xì)線最短需姜 cm；如果從點(diǎn)蟲開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞乃圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短cm卩7.圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直 角三角形圍成的.在gtAABC cp,若直角邊AC=6, BC=6,將四個(gè)直角三 垢形中邊長為6的直毎辺分別向夕卜延長一倍，得到圖乙所示的數(shù)學(xué)風(fēng)車”, 則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長（圖乙中的實(shí)線）是。卩&如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了建開拐角走“捷徑3 在花圃內(nèi)走出了一條“路他們僅僅少走了步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草.39. 如圖所示的圓柱體中底而圓的半徑是八 高為厶

17、若一只小蟲從4點(diǎn) 出灰沿希圓柱體的側(cè)面爬行到0點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路程是（結(jié) 果保笛根號(hào)人d三、解答題卩io.如圖，a,萬是公路r仃為東西走向）兩旁的兩個(gè)村莊，/村到公路？ 的距離AC=lkm, B村到公路?的距離BD=2km, 村在/村的南偏東4亍 方向上卩（1）求出九行兩村之間的距離：a（2）為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公共汽車站F,要求該 車站到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)卩的位苴（保笛淆晰的作 圖痕跡，芥簡要寫明作法）.a你熱愛生命回?liB么別浪費(fèi)時(shí)間，醫(yī)為時(shí)由是俎成生智命的材料-富蘭克林,試題答案卩1. （2+2）米2. 加3. 10, 2辭十16/ （或也6十64/）【解析】由題意得：細(xì)線從點(diǎn)衛(wèi) 開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B,其最愆長度為將長方體的四個(gè)側(cè)面展 開即可構(gòu)成一個(gè)直角辺分別為8cm和6cm的直角三角形，所以細(xì)線的最短 長度應(yīng)為10cm；當(dāng)細(xì)線經(jīng)過四個(gè)側(cè)面疇 n圈時(shí)，到達(dá)點(diǎn)B的最短長度為 2丁9+6川（或 J36 + 64）cm“風(fēng)車的外圍周長7% 13+6）=726. 2血卩7. 解析；（1）片法一：設(shè)ABCD的交點(diǎn)為