建筑力學(xué)梁變形

1、建筑力學(xué)梁變形 第十章 梁的變形 n1,了解梁的曲率公式、 n2,了解用積分法求梁的變形、 n3,掌握用疊加法求梁的變形。 n4,了解提高梁剛度的措施。 建筑力學(xué)梁變形 10.1 彎曲變形的概念彎曲變形的概念 n以圖10.1所示的簡(jiǎn)支梁為例，說(shuō)明平面 彎曲時(shí)變形的一些概念。取梁在變形前的軸 線為x軸，與x軸垂直向下的軸為y軸。 nxAy平面就是梁的縱向?qū)ΨQ面，荷載作 用在這個(gè)平面上，梁變形后的軸線將成為此 平面內(nèi)的一條曲線，這條連續(xù)而光滑的曲線 稱為梁的撓曲線。 建筑力學(xué)梁變形 圖10.1 建筑力學(xué)梁變形 n梁的彎曲變形可用兩個(gè)基本量來(lái)度量： n(1) 撓度 n梁任一橫截面的形心C，沿y軸方向

2、的線位移CC， 稱為該截面的撓度，通常用y來(lái)表示。以向下的撓度為 正，向上的撓度為負(fù)。 n(2) 轉(zhuǎn)角 n梁的任一橫截面C，在梁變形后繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角 度，稱為該截面的轉(zhuǎn)角，用表示。以順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn) 角為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。 10.1.1 撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 建筑力學(xué)梁變形 n梁上各橫截面的撓度y，隨著截面位置x的不同而 改變，這種變化規(guī)律用撓曲線方程表示為 ny=f(x) n撓曲線上任意一點(diǎn)處的斜率為 n tan=dy/dx n在工程實(shí)際中，梁的變形極小，即極小，所以有 tan，則 n=dy/dx=f(x) n稱為轉(zhuǎn)角方程，反映了撓曲線上任意一點(diǎn)處切線 的斜率等于該點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角。

3、 10.1.2 撓曲線方程撓曲線方程 建筑力學(xué)梁變形 n n式中的正負(fù)號(hào)取決于坐標(biāo)系的選擇和彎矩的符號(hào) 規(guī)定。在圖10.2所示的坐標(biāo)系中，彎矩的符號(hào)仍用第9 章中的規(guī)定：M為正，撓曲線向下凸，二階導(dǎo)數(shù) d2y/dx2 為負(fù)；M為負(fù)，撓曲線向上凸，二階導(dǎo)數(shù) d2y/dx2 為正。 n n上式稱為梁的撓曲線近似微分方程。 10.1.3 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程 2 2 ( ) z d yM x dxEI 2 2 ( ) z d yM x dxEI 建筑力學(xué)梁變形 圖10.2 建筑力學(xué)梁變形 10.2 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形 n為了計(jì)算梁的變形，可以直接對(duì)撓曲線近 似微分方

4、程式進(jìn)行積分。對(duì)于等截面梁，抗彎 剛度EI為常量，積分一次，可以得到轉(zhuǎn)角方程 n再積分一次，可以得到撓曲線方程 1 ( ) z dy M x dx C dxEI 1 ( ) z yM x dx dxCxD EI 建筑力學(xué)梁變形 n【例 10.1】簡(jiǎn)支梁受均布荷載q作用，如圖10.3所示，EI為常數(shù)。 試求此梁的轉(zhuǎn)角和撓曲線方程，以及此梁的最大撓度ymax(通常用 符號(hào)f表示)和兩端截面的轉(zhuǎn)角A和B。 n【解】(1) 列出撓曲線的近似微分方程 n RA=RB= ql/2 n M(x)= qlx/2 - qx2/2 n EId2y/dx2 =-M(x)=- qlx/2 +qx2/2 n(2) 積分

5、 n將上式連續(xù)積分兩次，可以得到 n EI dy/dx =EI=- qlx2/4 + qx3/6 +C n EIy=- qlx3/12 + qx4/24 +Cx+D 建筑力學(xué)梁變形 圖10.3 建筑力學(xué)梁變形 n(3) 確定積分常數(shù) n簡(jiǎn)支梁的邊界條件是在左、右兩端鉸支座處的撓度為零，即 nx=0，y=0 nx=l，y=0 n代入式(b)得 nD=0，C= ql3/24 n(4) 列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程 n將C、D值代入式(a)和式(b)，得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程 分別為： n= -1/EI (qlx2/4 - qx3/6- ql3/24 ) ny= -1/EI(qlx3/12 - qx4

6、/24X- ql3x/24) 建筑力學(xué)梁變形 n(5) 求ymax、A和B n由對(duì)稱性，可知梁的最大撓度ymax(或f)在跨中截面，將x= l/2 代入式(d)，得 nf=ymax= 5ql4/384EI n正號(hào)表示f的方向向下。 n將x=0代入式(c)，得 nA= ql3/24EI n正號(hào)表示A為順時(shí)針轉(zhuǎn)向。 n將x=l代入式(c)，得 nB=- ql3/24EI n負(fù)號(hào)表示B為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向。 建筑力學(xué)梁變形 n【例 11.2】承受集中荷載P的簡(jiǎn)支梁如圖10.4所示， EI為常數(shù)。試 求此梁的最大撓度ymax和兩端截面的轉(zhuǎn)角A和B。 n【解】(1) 列彎矩方程 n支座反力： nRA= Pb/l

7、 ，RB= Pa/l n因?yàn)榧泻奢dP將梁分為兩段，各段的彎矩方程不同，因此 需分別寫出它們的彎矩方程。 nAC段： M(x1)= Pb/l x1(0 x1a) nCB段： M(x2)= Pb/l x2-P(x2-a)(ax2l) 建筑力學(xué)梁變形 n(2) 列出撓曲線近似微分方程 nAC段： EId2y1/dx12=-M(x1)=- Pb/lx1 n積分后可得 n EIdy1/dx1=EI1=- Pb/lx12/2 +C1 n EIy1=- Pb/lx13/6 +C1x1+D1 nCB段: EId2y2/dx22=-M(x2)=- Pb/lx2+P(x2-a) n積分后可得 nEIdy2/dx

8、2 =EI2=- Pb/l x22/2 +P (x2-a)2/2 +C2 nEIy2=- Pb/lx23/6 +P (x2-a)3/6 +C2x2+D2 建筑力學(xué)梁變形 n(3) 確定積分常數(shù) n為了確定積分出現(xiàn)的四個(gè)積分常數(shù)，除了要利用邊界條件外， 還要利用相鄰兩段梁在交接外變形的連續(xù)條件。 n邊界條件： nx1=0，y1=0 nx2=l，y2=0 n連續(xù)條件： nx1=x2=a，1=2y1=y2 n將以上條件代入式(a)、(b)、(c)、(d)，聯(lián)立求解，可得積分 常數(shù) nD1=D2=0C1=C2= Pb/6l (l2-b2) 建筑力學(xué)梁變形 n(4) 列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程 n將所求得

9、的四個(gè)積分常數(shù)代回式(a)、(b)、(c)、(d)，得轉(zhuǎn)角 和撓曲線方程。 nAC段： n 1=dy1/dx1 = Pb/6lEI(l2-3x21-b2) n y1= Pbx/6lEI (l2-x21-b2) nCB段： n 2= Pa/6lEI (2l2+3x22-6lx2+a2) n y2= Pa(l-x)/6lEI (2lx2-x22-a2) 建筑力學(xué)梁變形 n(5) 計(jì)算A、B和ymax n將x=0代入式(e)，得 nA= Pab(l+b)/6lEI n將x=l代入式(g)，得 nB=- Pab(l+a)/6lEI n當(dāng)= dy/dx =0時(shí)，y為極值，所以應(yīng)首先確定轉(zhuǎn)角為零的截 面的

10、位置。在本例題中，設(shè)ab。由式(e)知，當(dāng)x1=0時(shí)，10； 當(dāng)x1=a時(shí)，10。因此=0的截面必然在AC段內(nèi)。 n令dy1/dx1 =1=0 n解得 x1=l2-b2/3 建筑力學(xué)梁變形 n將上式x1的值代入式(f)，得 nymax= 3Pb/27lEI (l2-b2)3 n從式(i)可知： n當(dāng)b0時(shí) nx1=l2/3 =0.577l n當(dāng)b= l/2 時(shí) n x1=0.5l n從式(j)和式(k)可以看出，集中荷載P的位置對(duì)于最大撓度位 置的影響并不大。因此，為了實(shí)用上的方便，不管集中荷載P的 位置如何，都可用跨度中點(diǎn)的撓度代替最大撓度，并且不會(huì)引起 很大誤差。 建筑力學(xué)梁變形 10.3

11、 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 n從上節(jié)可知，梁的轉(zhuǎn)角和撓度都與梁上的荷載成 線性關(guān)系。于是，可以用疊加法來(lái)計(jì)算梁的變形。即 梁在幾個(gè)荷載同時(shí)作用時(shí)，其任一截面處的轉(zhuǎn)角或撓 度等于各個(gè)荷載分別單獨(dú)作用時(shí)梁在該截面處的轉(zhuǎn)角 或撓度的代數(shù)和。 n梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的轉(zhuǎn)角和撓度可從表11.1中查 得。 建筑力學(xué)梁變形 n【例10.3】簡(jiǎn)支梁受荷載作用如圖10.5(a)所示。試用疊加法求梁 跨中點(diǎn)處的撓度和支座處截面的轉(zhuǎn)角。 n【解】梁的變形是均布荷載q和集中力偶M共同作用引起的。把作 用在梁上的荷載分為兩種簡(jiǎn)單的荷載，如圖10.5(b)、(c)所示。 n在均布荷載q單獨(dú)作用下，由表11.1查

12、得： nyCq= 5ql4/384EI，Aq= ql3/24EI ， nBq=- ql3/24EI n在集中力偶M單獨(dú)作用下，由表11.1查得： nyCM= Ml2/16EI，AM= Ml/3EI， nBM=- Ml/6EI 建筑力學(xué)梁變形 圖10.5 建筑力學(xué)梁變形 n根據(jù)疊加原理，在均布荷載q和集中力偶M共同作用時(shí) n yC=yCq+yCM= 5ql4/384EI + Ml2/16EI n A=Aq+AM= ql3/24EI + Ml/3EI n B=Bq+BM=- ql3/24EI - Ml/6EI 建筑力學(xué)梁變形 n【例11.4】一懸臂梁受荷載作用如圖10.6(a)所示。試用疊加法求

13、自由端B截面的撓度yB和轉(zhuǎn)角B。 n【解】為了直接利用表11.1的結(jié)果，將均布荷載從BC延長(zhǎng)到A， 為了不改變?cè)旱膶?shí)際荷載作用情況，從A至C加上荷載集度相同 而方向相反的均布荷載，如圖10.6(b)所示。這樣，圖10.6(b)所示 的梁與原梁的受力和變形是完全相同的。 n作用在圖10.6(b)梁上的荷載可分解為圖10.6(c)和圖10.6(d)所 示的兩種簡(jiǎn)單荷載。 n圖10.6(c)所示的梁，自由端B截面的撓度和轉(zhuǎn)角可由表10.1查 得： nyB1= ql4/8EI，B1= ql3/6EI 建筑力學(xué)梁變形 圖10.6 建筑力學(xué)梁變形 n圖10.6(d)所示的梁，C截面的撓度和轉(zhuǎn)角可由表11

14、.1查得： n yC=- q（l/2）4/8EI =-ql4/128EI n C=- q（l/2）3/6EI =-ql3/48EI n由于CB段梁上沒(méi)有荷載，在這一段梁上的彎矩為零，因而這 一段梁不會(huì)發(fā)生彎曲變形，但它卻會(huì)受AC段梁變形的影響而發(fā)生 位移。由圖10.6(d)可見(jiàn)，B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為 n yB2=yC+Cl/2 =- ql4/128EI -ql3/48EIl/2 =- 7ql4/384EI n B2=C=- ql3/48EI 建筑力學(xué)梁變形 n根據(jù)疊加原理，原梁B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為 n yB=yB1+yB2= ql4/8EI-7ql4/384EI= 41ql4/384EI n

15、B=B1+B2= ql3/6EI-ql3/48EI=7ql3/48EI 建筑力學(xué)梁變形 表表10.1常用梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的變形常用梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的變形 建筑力學(xué)梁變形 建筑力學(xué)梁變形 建筑力學(xué)梁變形 建筑力學(xué)梁變形 建筑力學(xué)梁變形 11.4 梁的剛度校核梁的剛度校核 n所謂梁的剛度校核，就是檢查梁的變形是否超過(guò) 規(guī)定的允許值。 n在土建工程中通常只校核撓度，其允許值常用撓 度與梁的跨長(zhǎng)的比值f/l作為標(biāo)準(zhǔn)。以f表示梁的最 大撓度，其剛度條件可表達(dá)為 n f/l f/l nf/l的值一般限制在1/2501/1000范圍內(nèi)。根據(jù)構(gòu) 件的不同用途，在有關(guān)規(guī)范中有具體規(guī)定。 n梁必須同時(shí)滿足強(qiáng)度

16、和剛度條件，通常是先按強(qiáng) 度條件設(shè)計(jì)，然后用剛度條件校核。 建筑力學(xué)梁變形 n【例11.5】一簡(jiǎn)支梁由18號(hào)工字鋼制成，受均布荷載q的作用，如 圖10.7所示。已知材料的E=210GPa，=150MPa，f/l =1/400。試校核梁的強(qiáng)度和剛度。 n【解】(1) 由型鋼表查得18號(hào)工字鋼 n Wz=185cm3=185103mm3 n Iz=1660cm4=1660104mm4 n(2) 強(qiáng)度校核 n Mmax= ql2/8 = 2432/8kNm=27kNm n max= Mmax/Wz n = 27106/185103MPa=146MPa 建筑力學(xué)梁變形 圖10.7 建筑力學(xué)梁變形 n(

17、3) 剛度校核 n由表11.1查得梁的最大撓度為 nf= 5ql4/384EIz n所以 n f/l = 5ql3/384EIz n= 524(3103)3/3842101031660104 n=0.00242f/l n此梁滿足強(qiáng)度和剛度要求。 建筑力學(xué)梁變形 11.5 提高梁彎曲剛度的措施提高梁彎曲剛度的措施 n從表10.1可以看出，梁的變形不僅與梁的支承和載 荷有關(guān)，還與梁的材料、截面形狀和跨長(zhǎng)有關(guān)。以上 諸因素可以概括為 n變形 載荷(跨長(zhǎng))n/抗彎剛度 n因此，要提高梁的彎曲剛度可以從以下幾個(gè)方面 考慮： n(1) 增大梁的抗彎剛度EI n它包含兩個(gè)措施：增大材料的彈性模量和增大截 面

18、的慣性矩。工程中常采用工字鋼等型鋼、組合截面 及空心截面等。 建筑力學(xué)梁變形 n(2) 減小梁的跨度 n梁的變形與其跨度的n次冪成正比。因此減小梁的 跨度，能顯著地增加梁的剛度。 n減小梁的跨度有兩個(gè)辦法：一種方法是采用兩端 外伸的結(jié)構(gòu)形式，如圖10.8(a)所示；另一種方法是增 加支座數(shù)目，如圖10.8(b)所示。顯然，增加支座的梁 變成了超靜定梁，有關(guān)超靜定梁的問(wèn)題將在以后討論。 建筑力學(xué)梁變形 圖10.8 建筑力學(xué)梁變形 n（3） 改善荷載的作用方式 n在結(jié)構(gòu)允許的條件下，合理地調(diào)整荷載的作用方 式，可以降低彎矩，從而減小梁的變形。如圖10.9所示， 將集中力P分散作用在全梁上，最大彎矩Mmax就由 Pl/4 降低為 Pl/8 ，最大撓度f(wàn)就由 Pl3/48EI 減小為 5Pl3/384EI。 建筑力學(xué)梁變形 圖10.9 建筑力學(xué)梁變形 n提高梁剛度的措施 1，彎剪關(guān)系的分析 1）長(zhǎng)跨輕載，彎矩控制作用， 2）短跨重載，剪力控制作用， 2，彎撓關(guān)系的分析 1）材料的高強(qiáng)度可使強(qiáng)度滿足要求，從而減少材料的用量，但撓度且需要高的 E，所以在材料的選擇上，要求強(qiáng)度和E相適應(yīng)。 2）荷載與撓度的關(guān)系對(duì)于