專題三第3講推理與證明

1、第3講推理與證明自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1. （2012 -江西）觀察下列各式：a+ b= 1, a2+ b2 = 3, a3 + b3 = 4, a4 + b4= 7, a5 + b5= 11,，貝U a10+ b10 =A. 28B . 76C. 123D. 199解析 觀察規(guī)律，歸納推理.從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個(gè)式子的右 端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10 + b10= 123.答案 C2. （2012 -福建）某地區(qū)規(guī)劃道路建設(shè)，考慮道路鋪設(shè)方案.方案設(shè)計(jì)圖中，點(diǎn)表示城市，兩點(diǎn)之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)

2、道路的費(fèi)用，要求從任一城市都能到達(dá)其余各城市，并且鋪設(shè)道路的總費(fèi)用最 小.例如：在三個(gè)城市道路設(shè)計(jì)中，若城市間可鋪設(shè)道路的線路圖如圖（1），則最優(yōu)設(shè)計(jì)方案如圖（2）,此時(shí)鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為10.現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖（3），則鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為解析 根據(jù)題目中圖（3）給出的信息及題意, 且從任一城市都能到達(dá)其余各城市，可將圖 的數(shù)字為兩城市之間鋪設(shè)道路的費(fèi)用）.要求的是鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用，調(diào)整為如圖所示的結(jié)構(gòu)（線段下方此時(shí)鋪設(shè)道路的總費(fèi)用為答案 16考題分析具備一定的推理與證明能力是高考的一項(xiàng)基本要求.歸納推理是高考考查的熱點(diǎn)，這類題目具有很好的區(qū)分度，考查形式一般為選擇

3、題或填空題. 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建合情推理 與演繹推理直接證明 與間接證明合情推理歸納推理類比推理演繹推理一段論間接證明一反證法 廠-數(shù)學(xué)歸納法的原理數(shù)學(xué)歸納法-數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用高頻考點(diǎn)突破 考點(diǎn)一：合情推理【例11 (1)(2012 -武昌模擬)設(shè)fk(x) = sin2kx+ cosfkx(x R)，利用三角變換，估計(jì)fk(x)在k= 1,2,3時(shí)的取值情況，對(duì)k N +時(shí)推測(cè)fk(x)的取值范圍是(結(jié)果用k表示).(2)在平面幾何里，有“若 ABC的三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，1則三角形面積為Smbc = 2(a+ b+ c)r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體ABCD的四個(gè)面的面

4、積分別為 S1, 9, S3，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體 的體積為審題導(dǎo)引(1)由f1(x) f2(x)、f3(x)的取值范圍觀察規(guī)律可得；(2)注意發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律總結(jié)出共性加以推廣，或?qū)⒔Y(jié)論類比到其他方面，得出 結(jié)論.規(guī)范解答(1)當(dāng) k= 1，f1(x) = sin2x+ cos2x= 1.當(dāng) k= 2 時(shí)，f2(x)= sin4x+ cosx22 22212=(sin x+ cos x) 2sin xcos x= 1 ?sin 2x.T0W sin22x 1，二 f2(x) g，1.當(dāng) k= 3 時(shí)，f3(x)= sin6x+ cosx224224=(sin x+ cosx)(sin x

5、 sin xcosx+ cosx)2232=1 3sin xcos x= 1 sin 2x.V 0 sin22xw 1,a fs(x) 百，1 ,1故可推測(cè)W fk(x) 0,則有通項(xiàng)為dn(n N +)的數(shù)列dn也是等比數(shù)列.解析 V Cn是等比數(shù)列，且Cn 0,二lg Cn是等差數(shù)列，令dn Cl C2，lg ci + lg C2+ - + lg Cn 則 lg dn n，由題意知lg dn為等差數(shù)列， dn時(shí) Cn為等比數(shù)列.答案 Cl C2Cn2. 平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條都不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，試歸納 它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù).解析 n 2時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)：f(2) 1.n 3時(shí)，交點(diǎn)

6、個(gè)數(shù)：f(3) 3.n = 4時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)：f(4) = 6.n = 5時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)：f(5) = 10.1猜想歸納：f(n )=刃(門一1)(門2).考點(diǎn)二：演繹推理【例2求證：a, b, c為正實(shí)數(shù)的充要條件是 a+ b+ c 0,且ab + bc+ ca0 和 abc 0.審題導(dǎo)引 由a、b、c為正實(shí)數(shù)，顯然易得 a+ b+ c0, ab+ bc+ ca0, abc 0,即“必要性”的證明用直接法易于完成.證明 “充分性”時(shí)，要綜合三個(gè) 不等式推出a、b、c是正實(shí)數(shù)，有些難度、需用反證法.規(guī)范解答(1)證必要性(直接證法)：因?yàn)閍、b、c為正實(shí)數(shù)，所以a + b+ c0, ab+ bc+

7、 ca0, abc0.所以必要性成立.(2)證充分性(反證法):假設(shè)a、b、c不全為正實(shí)數(shù)(原結(jié)論是a、b、c都是正實(shí)數(shù)), 由于abc0,則它們只能是二負(fù)一正.不妨設(shè) av0, bv0, c0,又由于 ab+ bc+ ac0? a(b+ c) + bc0,因?yàn)閎cv 0,所以a(b+ c)0.又av0,所以b+ cv 0.而 a + b+ c0,所以 a+ (b + c)0.所以a0,與av0的假設(shè)矛盾.故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即 a、b、c均為正實(shí)數(shù).【規(guī)律總結(jié)1演繹推理問題的處理方法從思維過程的指向來看，演繹推理是以某一類事物的一般判斷為前提，而作出關(guān)于該類事物的判斷的思維形式，因此是

8、從一般到特殊的推理.數(shù)學(xué)中的演繹法一 般是以三段論的格式進(jìn)行的.三段論由大前提、小前提和結(jié)論三個(gè)命題組成，大 前提是一個(gè)一般性原理，小前提給出了適合于這個(gè)原理的一個(gè)特殊情形，結(jié)論則是大前提和小前提的邏輯結(jié)果.2.適用反證法證明的六種題型反證法是一種重要的間接證明方法，適用反證法證明的題型有：(1)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；否定性命題；(3)唯一性命題；至少至多型命題；(5)些基 本定理；(6)必然性命題等.【變式訓(xùn)練3. 若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對(duì)于D上的n個(gè)值X1, X2,，Xn,總滿 足$f(X1)+ f(X2) + f(xn) f土兇稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)現(xiàn)已知f(x) = s

9、in x在(0,冗上是凸函數(shù)，則在 ABC中，sin A+ sin B+ sin C的最大 值是.解析因?yàn)橥购瘮?shù)滿足 1f(X1) + f(X2)+-+ f(xn) f X1 + X2n+ Xn ,(大前提)f(x) = sin x在(0, n上是凸函數(shù)，(小前提)所以 f(A) + f(B) + f(C) 3f A+ |+ C ,(結(jié)論)n 33即 sin A+ sin B + sin C3sin 3=_.因此sin A+ sin B+ sin C的最大值是 穿.考點(diǎn)三：數(shù)學(xué)歸納法【例3】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn (an+ 2)Sn + 1 0,1 Sn anbn(n N+).(1

10、)求a1, a2的值和數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若正項(xiàng)數(shù)列Cn滿足:V 1.審題導(dǎo)引(1)由于Sn-(an+ 2)Sn+ 1 0中含有g(shù) ,通過升降角標(biāo)的方法無 法把Sn轉(zhuǎn)化為an,這樣就需要把a(bǔ)n轉(zhuǎn)化為Sn-Sn- 1(n2),通過探求Sn,然后根 據(jù)求得的Sn求an的通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)(1)求得的結(jié)果，根據(jù) 話的結(jié)構(gòu)確定放縮的方法求證.2 1規(guī)范解答(1)g(自 + 2)$+ 1 0? a1 2s2 (a2 + 2)S2 + 1 0? a2石.Sn (an + 2)Sn + 1 0,當(dāng) n2 時(shí)，an Sn Sn-1，代入式，得 SSn-1 -2Sn+ 1 0,又由 S1-, s? a1

11、+a23, Ss 2-*F面用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)n 1時(shí)，顯然成立； 假設(shè)當(dāng)n-k時(shí)，Sk-古,則 n= k+ 1 時(shí)，Sk+ iSk 2Sk+1 + 1 = 0,1k+1缶亠Sk+1 成立.k k+ 1 + 12 k+1綜合，可知猜想成立.1所以當(dāng)n2時(shí)，an = Sn Sn-1 =，當(dāng)n= 1時(shí)也滿足,n(n+ 1)1故 9n = E E N+)-(2)證明由(1),得bn= n,1 11 + n 1 a二 1v n，+ n 1 an ckn 1 1則二-v X- = 1 v 1.Q k+ 1 Q k k+ 1n+ 1【規(guī)律總結(jié)】使用數(shù)學(xué)歸納法需要注意的三個(gè)問題在使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)還要明確

12、：(1) 數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其中前兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可；(2) 在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，要注意起點(diǎn) n,并非一定取1,也可能取0,2等值，要 看清題目；(3) 第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清楚由k到k+ 1時(shí)命題變化的情況.【變式訓(xùn)練】4. (2012 青島二模)已知集合 A= xl x= 2n 1, n N + , B= x| x= 6n + 3, n N +,設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若an的任一項(xiàng)an AH B且首 項(xiàng)a1是AH B中的最大數(shù)，750V Sw2x 3+ 1,242x 4+ 1,可猜想當(dāng)n3時(shí)，

13、2n2n+1,證明如下：證法一 當(dāng)n 3時(shí)，由上驗(yàn)算可知成立.假設(shè)n k時(shí)，2k2k+ 1,則 2k+1 2 2k2(2k+ 1) 4k + 2 2(k+ 1)+ 1 + (2k 1)2(k+ 1)+ 1, 所以當(dāng)n k+ 1時(shí)猜想也成立.根據(jù)可知，對(duì)一切n3的正整數(shù)， 都有 2n2n+ 1,當(dāng) n 1,2 時(shí)，TnV熬，當(dāng) n3 時(shí)，Tn證法二當(dāng)n3時(shí)，2n(1 + 1)n c0+cn1+cc0 + Cn+ Cn 1 + Cn 2n + 2 2n+ 1,當(dāng) n= 1,2 時(shí)，Tn277，名師押題咼考【押題1】 已知 整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：(1,1), (1,2), (2,1), (1,

14、3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1),，則第 60 個(gè)整數(shù)對(duì)是A. (7,5)C. (2,10)B. (5,7)D. (10,1)解析 依題意，就每組整數(shù)對(duì)的和相同的分為一組， 不難得知每組整數(shù)對(duì)的 和為n+1,且每組共有n個(gè)整數(shù)對(duì)，這樣的前n組一共有卩號(hào)丄個(gè)整數(shù)對(duì)，注 意到10律+ 1 60 11 12+ 1，因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)處于第11組(每對(duì)整數(shù)對(duì)的 和為12的組)的第5個(gè)位置，結(jié)合題意可知每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為 12的組中的各對(duì) 數(shù)依次為(1,11), (2,10), (3,9), (4,8), (5,7),因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)是(5,7).故選B.答案 B押題依據(jù)能用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理是高考對(duì)合情推理的基本要求.相 比較而言，歸納推理是高考的一個(gè)熱點(diǎn).本題體現(xiàn)了歸納對(duì)推理的思想，需從所 給的數(shù)對(duì)中總結(jié)歸納出其規(guī)律，進(jìn)而推導(dǎo)出第