工程流體力學(xué)第七章氣體一維高速流動

1、第七章第七章 氣體一維高速流動氣體一維高速流動 u 第一節(jié) 微弱擾動波的傳播 u 第二節(jié) 氣體一維定常等熵流動 u 第三節(jié) 氣體一維定常等熵變截面管流 u 第四節(jié) 正激波 前幾章討論的是不可壓縮流體的流動，例如對于液體， 即使在較高的壓強(qiáng)下密度的變化也很微小，所以在一般情況 下，可以把液體看成是不可壓縮流體。對于氣體來說，可壓 縮的程度比液體要大得多。但是當(dāng)氣體流動的速度遠(yuǎn)小于在 該氣體中聲音傳播的速度（即聲速）時(shí)，密度的變化也很小。 例如空氣的速度等于50m/s，這數(shù)值比常溫20下空氣中的 聲速343m/s要小得多，這時(shí)空氣密度的相對變化僅百分之一。 所以為簡化問題起見，通常也可忽略密度的變

2、化，將密度近 似地看作是常數(shù)，即在理論上把氣體按不可壓縮流體處理。 當(dāng)氣體流動的速度或物體在氣體中運(yùn)動的速度接近甚至超過 聲速時(shí)，如果氣體受到擾動，必然會引起很大的壓強(qiáng)變化， 以致密度和溫度也會發(fā)生顯著的變化，氣體的流動狀態(tài)和流 動圖形都會有根本性的變化，這時(shí)就必須考慮壓縮性的影響。 氣體動力學(xué)就是研究可壓縮流體運(yùn)動規(guī)律以及在工程實(shí)際中 應(yīng)用的一門科學(xué)。本章中僅主要討論氣體動力學(xué)中一些最基 本的知識。 第一節(jié) 微弱擾動波的傳播 一一. 微弱擾動波的一維傳播微弱擾動波的一維傳播 如圖7-1所示，在一個(gè)截面積為a、足夠長的直圓管中充滿 了靜止的氣體，將圓管左端的活塞以微小速度 向右輕微地 推動一下

3、，使活塞右側(cè)的氣體壓強(qiáng)升高一個(gè)微小增量 ， 所產(chǎn)生的微弱壓強(qiáng)擾動向右傳播。活塞將首先壓縮緊貼活塞的 那一層氣體，這層氣體受壓后，又傳及下一層氣體，這樣依次 一層一層地傳下去，就在圓管中形成一個(gè)不連續(xù)的微弱的壓強(qiáng) 突躍，就是壓縮波mn，它以速度 向右推進(jìn)。壓縮波面mn是 受活塞微小推移的影響而被擾動過的氣體與未被擾動過的靜止 氣體的分界面。設(shè)在壓縮波前未被擾動過的靜止氣體的壓強(qiáng) 為 、密度為 、溫度為 ，波后已被擾動過的氣體以與 活塞的微小運(yùn)動同樣的微小速度 向右運(yùn)動，其壓強(qiáng)增高 到 ，密度和溫度也相應(yīng)增加到 和 。 vd pdpd p t vd ppdd ttd 圖7-1 微弱擾動波的一維傳播

4、 顯然，這是不定常流動。為了得到定常流動，可以 設(shè)想觀察者隨波面mn一起以速度c向右運(yùn)動。氣體相對 于觀察者定常地從右向左流動，經(jīng)過波面速度由c降為 c-dv，而壓強(qiáng)由p升高到p+dp，密度和溫度由 、 增 加到 、 。如圖7-1(b)所示，取包圍壓縮波的 控制面，根據(jù)連續(xù)性條件，在 時(shí)間內(nèi)流入和流出該 控制面的氣體質(zhì)量應(yīng)該相等，即 化簡后，得 （7-1） 由于壓縮波很薄，作用在該波上的摩擦力可以忽略不計(jì)。 于是對于控制面，根據(jù)動量定理，沿氣體流動的方向，質(zhì) 量為 的氣體的動量變化率等于作用在該氣體上的壓力 之和，即 或 （7-2） t dtt d t d tavctacd)d)(d(d d

5、d d c v ac appp t cvc tac)d( d )()d( d p c vd 1 d 由式（7-1）和式（7-2）得 由于是微弱擾動， 遠(yuǎn)小于 ，即 ，所以 （7-3） 式（7-3）與物理學(xué)中計(jì)算聲音在彈性介質(zhì)中傳播速度 （即聲速）的拉普拉斯公式完全相同?？梢姎怏w中微弱擾 動波的傳播速度就是聲速。 在式（7-3）的推導(dǎo)過程中，并未對介質(zhì)提出特殊要求，故 該式既適用于氣體，也適用于液體，乃至適用于一切彈性 連續(xù)介質(zhì)。不同介質(zhì)的壓縮性不同，壓縮性小的擾動波傳 播速度高，壓縮性大的擾動波傳播速度低，因此聲速值反 映了流體可壓縮性的大小。 式(7-3)是聲速的通用表達(dá)式，要計(jì)算某種流體中

6、具有的聲 速值，尚需確定 和 的關(guān)系，以求出 的值。 d dd 1 2 p c d 1 d d d p c pdd d dp 由于微弱擾動波的傳播過程進(jìn)行得很迅速，與外界來 不及進(jìn)行熱交換，而且其中的壓強(qiáng)、密度和溫度變化極為 微小，所以這個(gè)傳播過程可以近似地認(rèn)為是一個(gè)可逆的絕 熱過程，即等熵過程。假定氣體是熱力學(xué)中的完全氣體， 則根據(jù)等熵過程關(guān)系式 =常數(shù)和完全氣體狀態(tài)方 程 ，可得 代入式（7-3），得 （7-4） p rtp rt pp d d rt p c 為絕熱指數(shù) 為氣體常數(shù)，j/(kgk) 為熱力學(xué)絕對溫度，k 對于空氣， , r= 287 j/(kgk)。4.1 由式（7-4）可

7、知，氣體中的聲速隨氣體的狀態(tài)參數(shù) 的變化而變化。于是在同一流場中，各點(diǎn)的狀態(tài)參數(shù)若 不同，則各點(diǎn)的聲速也不同。所以聲速指的是流場中某 一點(diǎn)在某一瞬時(shí)的聲速，稱為當(dāng)?shù)芈曀佟?在實(shí)際計(jì)算中，通常用氣體速度 與當(dāng)?shù)芈曀?的比值 來作為判斷氣體壓縮性對流動影響的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，即 （7-5） 稱為馬赫數(shù)，是一個(gè)無量綱數(shù)，也是氣體動力學(xué)中一 個(gè)重要參數(shù)。 我們常根據(jù)馬赫數(shù)的大小,把氣流分為亞聲速流 1， 跨聲速流 1，超聲速流1 3等 幾類。亞聲速流動和超聲速流動有許多顯著的差別，我 們將在以后各節(jié)中逐一介紹。 vcma ma ma ma ma ma c v ma 二二 微弱擾動波的空間傳播微弱擾動波的空間傳

8、播 前面討論了微弱擾動波的一維傳播，下面進(jìn)一步討論 微弱擾動波在空間流場中的傳播。 為了便于分析問題，假設(shè)流場中某點(diǎn)有一固定的擾動源， 每隔1s發(fā)生一次微弱擾動，現(xiàn)在分析前3s產(chǎn)生的微弱擾動 波在空間的傳播情況。由于不論流場是靜止的還是運(yùn)動的， 是亞聲速的還是超聲速的，都將對微弱擾動波在空間的傳 播情況產(chǎn)生影響，所以下面分四種情況來討論。 1靜止流場(v=0) 在靜止流場中，擾動源產(chǎn)生的微弱擾動波以聲速c向四周 傳播，形成以擾動源所在位置為中心的同心球面波，微弱 擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(a)所示。如果不考慮微弱 擾動波在傳播過程中的損失，隨著時(shí)間的延續(xù)，擾動必將 傳遍整個(gè)流場。也就

9、是說，微弱擾動波在靜止氣體中的傳 播是無界的。 2亞聲速流場(vc) 在亞聲速流場中，擾動源產(chǎn)生的微弱擾動波在3s 末的傳播情況如圖7-2(b)所示。由于擾動源本身以 速度運(yùn)動，故微弱擾動波在各個(gè)方向上傳播的絕對 速度不再是當(dāng)?shù)芈曀賑，而是這兩個(gè)速度的矢量 和。這樣，球面擾動波在順流和逆流方向上的傳播 就不對稱了。但是由于vc） 在超聲速流場中，擾動源產(chǎn)生的微弱擾動波在3s末的 傳播情況如圖7-2(d)所示。由圖可見，由于vc，所以相 對氣流傳播的擾動波不僅不能向上游傳播，反而被氣流帶 向擾動源的下游，所有擾動波面是自擾動源點(diǎn)出發(fā)的圓錐 面的一系列內(nèi)切球面，這個(gè)圓錐面就是馬赫錐。隨著時(shí)間 的延

10、續(xù)，球面擾動波不斷向外擴(kuò)大，但也只能在馬赫錐內(nèi) 傳播，永遠(yuǎn)不會傳播到馬赫錐以外的空間。也就是說，微 弱擾動波在超聲速氣流中的傳播也是有界的，界限就是馬 赫錐。 馬赫錐的半頂角，即圓錐的母線與氣流速度方向之間 的夾角，稱為馬赫角，用 表示。由圖7-2(d)可以容易地 看出，馬赫角 與馬赫數(shù) 之間的關(guān)系為 （7-6） 馬赫角從90這時(shí)相當(dāng)于擾動源以聲速v=c流動的情況， 如圖7-2(c)所示 開始，隨著馬赫數(shù)的增大而逐漸減小。由 于圓錐頂就是擾動源，所以當(dāng)物體以超聲速運(yùn)動時(shí)，它所 引起的擾動不能傳到物體的前面。馬赫錐外面的氣體不受 擾動的影響，微弱擾動波的影響僅在馬赫錐內(nèi)部，即微弱 擾動波不能向馬

11、赫錐外傳播。這就說明了，為什么以超聲 速飛行的彈丸在附著于它頭部的波未到達(dá)觀察者的耳朵以 前聽不到聲音的原故。 ma mav c1 sin 上述關(guān)系也適用于氣流流過一靜止微小障礙 物時(shí)的情況。假如氣體以與上述擾動源的運(yùn)動速 度數(shù)值相等而方向相反的速度作等速直線運(yùn)動， 則擾動源就成為靜止微小障礙物，即圖7-2中的3 點(diǎn)就是靜止擾動源，而擾動源所發(fā)出的擾動波 （圖中的各圓）不斷地被氣流以速度-v帶走。很 明顯，在 （即 ）的亞聲速流動時(shí)，帶 走的各擾動波在一定時(shí)間后可達(dá)到空間中的任何 一點(diǎn)。也就是說，擾動波不僅能順流傳播，而且 也能逆流傳播。但在 （即 ）的超聲速 流動時(shí)，帶走的各擾動波只能在馬赫

12、錐內(nèi)順流傳 播，不能逆流傳播，也就是說在超聲速流動中的 微弱擾動不能傳播到整個(gè)空間。這就是超聲速流 動和亞聲速流動的一個(gè)重要差別，從而使這兩種 流動的圖形有著根本的不同。 cv 1ma cv 1ma 第二節(jié) 氣體一維定常等熵流動 在討論不可壓縮流體流動時(shí)，應(yīng)用連續(xù)性方程和伯努 利方程就可以對許多問題求解。但是對于可壓縮流體 氣體流動僅僅應(yīng)用上面兩個(gè)基本方程還不足以求解，因?yàn)?由于氣體密度的變化必然會引起熱力學(xué)狀態(tài)發(fā)生相應(yīng)的變 化。就是說在氣流流動中，不僅它的力學(xué)狀態(tài)在發(fā)生變化， 而且熱力學(xué)狀態(tài)也在隨著改變。因此必須把熱力學(xué)中的狀 態(tài)方程和過程方程一并考慮，才能解決氣體流動問題。 本節(jié)將只討論氣

13、體的一維定常等熵流動，即假定氣體 是完全氣體，在流動過程中與外界無熱交換，摩擦影響很 小可以忽略不計(jì)。在一般情況下還認(rèn)為各參數(shù)僅在一個(gè)方 向上有顯著的變化，而且變化是連續(xù)的、不隨時(shí)間而變化， 這就是一維定常等熵流動。在許多實(shí)際流動問題中，例如 氣體在噴管、擴(kuò)壓管和短葉柵中的流動都可以近似地認(rèn)為 是一維定常等熵流動。 一、氣體一維定常流動的基本方程一、氣體一維定常流動的基本方程 1連續(xù)性方程 由于氣體的密度在流動中是發(fā)生變化的，所以它的連續(xù) 性方程不能像不可壓縮流體那樣按體積流量來計(jì)算，而需 要用質(zhì)量流量來計(jì)算，即氣體在流管中流動時(shí)，每單位時(shí) 間內(nèi)流過流管中任意兩個(gè)有效截面的質(zhì)量流量必定相等，

14、即 (7-7) 也可以把連續(xù)性方程寫成微分形式，即對式(7-7)取對數(shù)后 微分，得 (7-8) 常數(shù)va avav 222111 0 ddd a a v v 2能量方程 由于氣體的密度很小，所以質(zhì)量力可以忽略不計(jì)。氣 體是一維定常流動，并令 ， ，則歐拉運(yùn)動微 分方程可寫成 或 （7-9） 將式（7-9）沿流管（或流線）進(jìn)行積分，得 對于等熵流動，將等熵過程關(guān)系式 常數(shù)，代入上式， 得完全氣體一維定常等熵流動的能量方程為 （7-10） 顯然，這個(gè)方程只能用于可逆的絕熱流動。 vu 0wv x p x v v d d1 d d 0d 1 dpvv 常數(shù) 2 d 2 vp p 常數(shù) 21 2 vp

15、 熱力學(xué)第一定律用于流體流動的能量關(guān)系式為 在絕熱流動的條件下， ，上式可寫成 ，積 分可得能量方程的另一表達(dá)式 （7-11） 這個(gè)方程可用于可逆的絕熱流動，也可用于不可逆的絕熱 流動，即式（7-11）在熵有增加（有摩擦或其他不可逆因 素）的絕熱流動中也是正確的。因?yàn)樵谂c外界無熱交換的 絕熱過程中，消耗于抵抗摩擦所作的功完全轉(zhuǎn)換為熱能， 該熱能重又加入氣流中，使氣流中的熵增加。所以在絕熱 流動中總能量不變，摩擦損失的存在只會使氣流中不同形 式的能量重新分配，即一部分機(jī)械能不可逆地轉(zhuǎn)化為熱能， 因而能量方程（7-11）的形式不變。 vvhqddd 0d q0ddvvh 常數(shù) 2 2 v h 對于

16、完全氣體，存在下列關(guān)系 代入式（7-11），也可得到與式（7-10）同一形式的完全 氣體一維定常等熵流動的能量方程。現(xiàn)在來分析一下這個(gè) 方程中各項(xiàng)的物理意義，可將式（7-10）改寫成 （7-12） 根據(jù)熱力學(xué)可知，對于完全氣體上式第一項(xiàng)是單位質(zhì)量氣 體所具有的內(nèi)能u，即 pp cc c p r c tch vp pp p 1 utc p r cp cc cp v v vp v 1 常數(shù) 21 2 vpp 而式（7-12）的后兩項(xiàng)是單位質(zhì)量氣體的壓強(qiáng)勢能和動能。 所以完全氣體一維定常等熵流動的能量方程的物理意義是： 在完全氣體一維定常等熵流動中，氣流流管任一有效截面 （或流線的任一點(diǎn)）上單位質(zhì)量

17、氣體的壓強(qiáng)勢能、動能和 內(nèi)能之和保持不變。 由于 ，代入式（7-10）得到完全氣體能量方程 的又一個(gè)表達(dá)式 （7-13） 2 c p 常數(shù) 21 22 vc 二、滯止參數(shù)二、滯止參數(shù) 在實(shí)際工程上，為了分析和計(jì)算流動問題方便起見， 常使用滯止參數(shù)這個(gè)概念，而且由于它比較容易測量，所以 滯止參數(shù)得到廣泛的應(yīng)用。設(shè)想氣體流過流管的兩個(gè)有效截 面時(shí)，在一個(gè)截面上完全滯止下來，也就是說，在這個(gè)截面 上的氣流速度等于零。則這個(gè)截面上的氣流狀態(tài)稱為滯止?fàn)?態(tài)，滯止?fàn)顟B(tài)下各相應(yīng)參數(shù)稱為滯止參數(shù)，分別 以 、 、 、 等表示之。氣體繞過一個(gè)物體時(shí)，在駐點(diǎn)處氣 流受到阻滯，速度等于零，這一點(diǎn)的氣流狀態(tài)也是滯止?fàn)?/p>

18、 態(tài)。在滯止?fàn)顟B(tài)下式（7-10）、式（7-11）和式（7-13）可 寫成 （7-14） （7-15） （7-16） 0 p 0 0 t 0 c 常數(shù) 00 0 0 2 1121 tcrt pvp p 常數(shù) 0 2 2 h v h 常數(shù) 121 2 0 22 cvc 由式（7-14）和式（7-15）可知，在滯止?fàn)顟B(tài)下氣流 的動能全部轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?，可以用滯止?表示之， 它表示單位質(zhì)量的氣流所具有的總能量，稱為總焓。 式（7-15）又可改寫成 （7-17） 上式表明，滯止溫度要比氣流的溫度t高出 ，對于 j/（kgk）的空氣，則高出 0 2 2 t c v t p 00 tch p p c v 2

19、2 1005 p c 2010 2 0 v ttt 例如速度為100m/s的空氣流，滯止溫度超過氣流的溫度約 5k，也即約5?？梢姡瑢⒁粋€(gè)帶小玻璃球的普通水銀溫 度計(jì)或熱電偶溫度計(jì)放在氣流中來測量氣流的溫度，讀出 的溫度比氣流的溫度t要高。但小玻璃球上駐點(diǎn)處的溫度雖 達(dá)到滯止溫度，但其上的其他各點(diǎn)的溫度升高要小一些， 所以普通水銀溫度計(jì)上讀出的平均溫度比滯止溫度稍低一 些。因此用任何靜止溫度計(jì)都不能直接測得氣流的真實(shí)溫 度了，只有用與氣流同樣速度運(yùn)動的溫度計(jì)才能直接測得 利用關(guān)系式 和 可將式（7-17） 改寫為 或 （7-18） 對于等熵氣流 和 rc p 1 rt v c v ma 2 2

20、 2 2 0 2 2 1 1tmat 20 2 1 1ma t t 1 00 t t p p 1 1 00 t t 將式（7-18）代入上兩式，得 （7-19） （7-20） 這樣，只要知道氣流的滯止參數(shù)和 值，就可由式（7- 18）、式（7-19）和式（7-20）以及 ，求得流管 內(nèi)氣流在某指定截面上的溫度 、壓強(qiáng) 、密度 和速 度 。反之，若已知 、 、 和 也可求得 、滯止參 數(shù) 、 和 。所以這三個(gè)公式是計(jì)算氣體一維定常等熵流 動問題的基本公式。 1 20 2 1 1 ma p p 1 1 20 2 1 1 ma ma rt v ma 2 2 t p v tp vma 0 t 0 p

21、0 第三節(jié) 氣體一維定常等熵變截面管流 一、氣流速度與密度的關(guān)系一、氣流速度與密度的關(guān)系 由一維流動的運(yùn)動微分方程式 （7-9） 得 變形得 （7-21） 由式（7-21）和能量方程式（7-9）可看出： （1）不管ma1，或 ma 0，則 0， 0； 反之 0， 0。 這說明加速氣流（ 0），必引起壓強(qiáng)降低（ 0）和氣 體膨脹（ 0）；而減速氣流（ 0）和氣體壓縮（ 0），即氣體流動伴隨著密度的 變化。亞聲速氣流和超聲速氣流都具有上述性質(zhì)，但當(dāng) 不 同時(shí)， 與 的變化值不同。 0d 1 dpvv dd d d d 2 c p vv v v ma v v c v c vvdddd 2 2 2 2

22、 vdpdd vdpdd vd vd pd pd d d v vd d ma （2）mal時(shí)密度相對變化量是小于速度的相對變 化量，即 1時(shí)，密度的相對變化量大于速度的相對 變化量，即 。 這種亞聲速和超聲速在變化數(shù)量上的差別，導(dǎo)致 了亞聲速和超聲速在速度與通道截面形狀關(guān)系上 本質(zhì)的差別。 d v vd d v vd 二、氣流速度與通道截面的關(guān)系二、氣流速度與通道截面的關(guān)系 由一維流動的運(yùn)動微分方程（7-9），并利用 和 得 以上兩式與連續(xù)性方程的微分形式（7-8）各聯(lián)立一次， 消去 和 ，得到氣體的壓強(qiáng)變化率和速度變化率與通 道截面變化率的兩個(gè)關(guān)系式，即 （7-22） （7-23） p ma

23、macv d d 2 p c 0 d1ddd 22 p p mav v v p v v 0 d1dd d d1d 22 mav vp vv v v vd d a a ma ma p pd 1 d 2 2 a a mav vd 1 1d 2 （1）ma1，超聲速流動。 與 異號，而 與 同 號。當(dāng)壓強(qiáng)降低時(shí)，通道截面積隨著氣流速度的增加而擴(kuò) 大，這就是超聲速噴管。這是由于超聲速氣體在壓強(qiáng)下降 時(shí)，密度劇烈減小、體積迅速增大，這時(shí)通道截面積必須 擴(kuò)大，才能使劇烈膨脹的加速氣流通過。反之，當(dāng)壓強(qiáng)升 高時(shí)，通道截面積隨著氣流速度的減小而縮小，這就是超 聲速擴(kuò)壓管。 由式（由式（7-22）和式（）和式（

24、7-23）可以得到三個(gè)重要結(jié)論：）可以得到三個(gè)重要結(jié)論： p pd p pd a ad a ad a ad a ad v vd v vd （3） =1，這時(shí) 。從以上兩種情況知道，當(dāng)降壓加 速的氣流由亞聲速連續(xù)變?yōu)槌曀贂r(shí)，通道截面先收縮后擴(kuò) 大，在最小截面（ ）處速度達(dá)到聲速（ ），該最 小截面稱為臨界截面，也稱為喉部截面，簡稱喉部。當(dāng)升壓 減速的氣流由超聲速連續(xù)地變?yōu)閬喡曀贂r(shí)，通道截面也是先 收縮后擴(kuò)大，在最小截面處速度達(dá)到聲速。 在臨界截面上的相應(yīng)參數(shù)稱為臨界參數(shù)，分別以 、 和 等表示之。可將 代入式（7-18）、式（7-19）和 式（7-20），得到臨界截面上氣流的臨界溫度、臨界壓強(qiáng)

25、和 臨界密度各與滯止溫度、滯止壓強(qiáng)和滯止密度之間的關(guān)系式 （7-24） （7-25） （7-26） 常用氣體的物理性質(zhì)見表7-2。 ma 0da cv 0da t p 1ma 0 1 2 tt 0 1 1 2 pp 0 1 1 2 表表7-1 氣流參數(shù)變化與通道截面變化之間關(guān)系氣流參數(shù)變化與通道截面變化之間關(guān)系 表表7-2 常用氣體的物理性質(zhì)（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)、常用氣體的物理性質(zhì)（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)、20） 三、氣體經(jīng)漸縮噴管和縮放噴管的流動三、氣體經(jīng)漸縮噴管和縮放噴管的流動 由上面可知，要使氣流加速，當(dāng)流速尚未達(dá)到當(dāng)?shù)芈?速時(shí)，噴管截面應(yīng)逐漸收縮，直至流速達(dá)到當(dāng)?shù)芈曀贂r(shí)， 截面收縮到最小值，這種噴管稱

26、為漸縮噴管。漸縮噴管 出口處的流速最大只能達(dá)到當(dāng)?shù)芈曀佟Ｒ箽饬鲝膩喡?速加速到超聲速，必須將噴管做成先逐漸收縮而后逐漸 擴(kuò)大形（在最小截面處流速達(dá)到當(dāng)?shù)芈曀伲@種噴管 稱為縮放噴管。縮放噴管是瑞典工程師拉伐爾（de laval）在研制汽輪機(jī)時(shí)發(fā)明的，所以又稱為拉伐爾噴管。 這種利用管道截面的變化來加速氣流的幾何噴管，在汽 輪機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)、噴氣發(fā)動機(jī)和流量測量中被廣泛地應(yīng) 用，本節(jié)以完全氣體為對象，來討論漸縮噴管和縮放噴 管基本設(shè)計(jì)關(guān)系式。 1、漸縮噴管 假定氣體在等熵條件下從大容器中經(jīng)漸縮噴管流出，如 圖7-3所示。由于容器的容量很大，可近似地把容器中的 氣體速度看作是零（ ），即容器中的

27、氣體處于滯止 狀態(tài)（ 、 、 ），而噴管出口截面上的氣流參 數(shù)為 、 和 。對0-0，2-2截面列一維定常等熵流動的 能量方程（7-10），得 或 0 0 v 0 p 0 0 t 2 p 2 2 t 211 2 2 2 2 0 0 vpp 2 0 0 2 0 0 2 1 1 2 p pp v 圖7-3 漸縮噴管 將等熵過程關(guān)系式 代入上式，得出口截面處的流速為 或 又 ，則出口截面上的馬赫數(shù)為 （7-29） 2 2 0 0 pp 或 1 2 0 2 0 p p 1 0 2 0 0 2 1 1 2 p pp v 1 1 2 1 2 0 2 2 2 p pp v 2 2 2 p c 1 1 2 1

28、 2 0 2 2 2 p pp ma 222 avqm 2 a 通過噴管的質(zhì)量流量 式中 噴管出口截面積。 將 和式（7-27）代入上式，得 (7-30） 1 0 2 02 p p 1 0 2 0 0 2 1 0 2 0 1 1 2 p pp a p p qm 1 0 2 2 0 2 0 0 20 1 2 p p p pp a 由上式可知，當(dāng)氣體的滯止參數(shù)和噴管的出口截面積保持不 變時(shí).質(zhì)量流量 僅隨壓強(qiáng)比 而變化，由式（7-30） 描繪出的 與 的關(guān)系曲線如圖7-4（a）所示。 m q 0 2 p p m q 0 2 p p 圖7-4 氣體流過漸縮噴管時(shí)流量與設(shè)計(jì)出口壓強(qiáng)和環(huán)境壓強(qiáng)的變化 當(dāng)

29、氣體經(jīng)過設(shè)計(jì)成的漸縮噴管時(shí)，實(shí)際上質(zhì)量流量 隨著 而變化, 為噴管出口截面外的氣流壓強(qiáng)， 稱為環(huán)境壓強(qiáng)。 與 的關(guān)系曲線如圖7-4（b） 所示， 與圖7-4（a）中的 - 曲線相比，兩者有 明顯的差異。從中我們得到如下結(jié)論： m q 0 amb p p amb p m q 0 amb p p m q （1） = =1到 最大值時(shí)對應(yīng)的壓強(qiáng)與 相比，兩曲線ab完全吻合。 0 2 p p 0 amb p p m q （2） =1時(shí)， =0，即當(dāng)噴管的進(jìn)、出口壓強(qiáng)相等 時(shí)，氣體不流動， 出口馬赫數(shù) 。 0 amb p p m q 0 2 ma 0 2 p p m q （3） l時(shí)， 逐漸降低，出口馬

30、赫數(shù) 逐漸增加， 沿曲 線ab逐漸增加，當(dāng)出口截面上的流速增加到聲速時(shí)，即 時(shí)，流量達(dá)到最大值 ，此時(shí)的壓強(qiáng)比 稱為臨界壓強(qiáng)比 。 可由下法求得，即將 代入式（7-29），得臨界壓強(qiáng)比 （7-31） 也可通過直接對式（7-30）求導(dǎo)，并令 的方法求得。 再將式（7-31）代入式（7-30）和式（7-27）中，即分別 得到臨界流量 ，也就是最大流量 和臨界速度 （也稱 為臨界聲速 ）. （7-32） （7-33） 0 amb p p 0 amb p p 2 ma 1 2 ma m q m q 0 amb p p 1 2 mamax q 1 00 2 1 2 p p p p p0 d d 2 p

31、qm m q v c maxm q )1(2 1 002max 1 2 paqq mm 0 0 1 2 p cv （4） 從 再繼續(xù)降低，即 ，則在整個(gè)噴管內(nèi)部是亞聲速氣 流，如圖7-5中ode曲線所示，這時(shí)的縮放噴管相當(dāng)于文 丘里管。 amb p 2 p 0 p amb p 0 p amb p 0 p amb p 0 p 1 p p1 p p 圖7-5 縮放噴管內(nèi)的壓強(qiáng)和流量變化 返回(2) 返回(4) （3）如果環(huán)境壓強(qiáng) 繼續(xù)下降到使最小截面上的壓強(qiáng)達(dá) 到臨界壓強(qiáng) ，則流量達(dá)到如式（7-34）所示的最大值 這時(shí)在噴管擴(kuò)張部分可能有兩種流動狀況：當(dāng) = （ 為噴管中氣流只在喉部達(dá)到聲速其余全

32、為亞聲速時(shí)出口 截面的壓強(qiáng)）時(shí)，在整個(gè)噴管擴(kuò)張部分中仍然都是亞聲速氣 流，如圖7-5中ocf曲線所示；而當(dāng)環(huán)境壓強(qiáng)等于噴管出口 截面上的設(shè)計(jì)壓強(qiáng)時(shí)，即 = ，在整個(gè)噴管的擴(kuò)張部分 中都是超聲速氣流，如圖705中ocj曲線所示，即氣流在縮 放噴管內(nèi)壓強(qiáng)從 下降到 （即亞聲速連續(xù)變到超聲速） 的連續(xù)變化曲線。 amb p p maxm q amb p m p 2 m p 2 amb p 2 p 2 p 0 p （4）當(dāng)環(huán)境壓強(qiáng)在 和 之間，即 ，氣流在擴(kuò) 張部分會出現(xiàn)壓強(qiáng)的不連續(xù)變化，也就是形成一個(gè)所謂正 激波，正激波的位置隨著 的下降，從最小截面處移到 噴管出口處， 就是正激波移到噴管最小截面時(shí)

33、的出口 壓強(qiáng)，氣流通過正激波從超聲速變成亞聲速，一直到出口 截面處，如圖7-5中ocs1s2h線所示。 顯然，對于縮放噴管，只要 ，不論環(huán)境壓強(qiáng) 怎 樣變化，氣流通過縮放噴管的流量將始終保持為最大流量， 這是由于噴管最小截面處的臨界參數(shù)沒有變化；當(dāng) 時(shí)，流量將減小；當(dāng) = 時(shí)，流量等于零. 如圖7-5的右圖所示。 m p2 m p 2 m p2 m p2 m p2 2 p 2 p amb p amb p amb p amb p amb p amb p 0 p 第四節(jié) 正 激 波 一、正激波形成一、正激波形成 本節(jié)以氣體中的微弱擾動波在直圓管中傳播的情況為例來 說明正激波形成的物理過程。 如圖7

34、-6所示，在一個(gè)充滿靜止氣體的直圓管中，活塞向 右作加速運(yùn)動，活塞右側(cè)的靜止氣體受壓后被擾動形成一 個(gè)壓縮波向右移動，已被擾動的氣體的壓強(qiáng)從 升高 到 ，設(shè) - 是一個(gè)有限的壓強(qiáng)量。為了分析方便起見， 假定把這個(gè)有限的壓強(qiáng)增量看作是無數(shù)個(gè)無限小壓強(qiáng)增量 dp的總和。于是，可認(rèn)為在活塞右側(cè)形成的壓縮波是一系 列微弱擾動波連接而成的。每一個(gè)微弱擾動波壓強(qiáng)增加dp。 當(dāng)活塞開始運(yùn)動時(shí)，第一個(gè)微弱擾動波以聲速 傳到未被 擾動的靜止氣體中去，緊跟著第二個(gè)微弱擾動波以聲速 傳到已被第一個(gè)微弱擾動波擾動過的氣體中去。 1 p 2 p2 p 1 p 1 c 2 c 圖7-6 在圓管中正激波的形成過程 顯然，被

35、第二個(gè)微弱擾動波擾動過的氣體中的壓強(qiáng)、密度 和溫度都比被第一個(gè)微弱擾動波擾動過的氣體中的相應(yīng)參 數(shù)略大一些，根據(jù) ，因此 ，也就是說第二個(gè)微 弱擾動波的聲速比第一個(gè)微弱擾動波的聲速略快一些。與 此相類似，第三個(gè)微弱擾動波又以比第二個(gè)略快一些的聲 速（ ）向右傳播，。如果在某一時(shí)刻波形如圖7-6 （a）所示，經(jīng)過一段時(shí)間后，后面的微弱擾動波一個(gè)一 個(gè)追趕上前面的波，波形變得愈來愈陡，最后疊加成一個(gè) 垂直于流動方向的具有壓強(qiáng)不連續(xù)面的壓縮波，這就是正 激波，如圖7-6（c）所示。氣流通過激波除壓強(qiáng)突躍地升 高外，密度和溫度也同樣突躍地增加，而速度則下降。發(fā) 生這種突躍地不連續(xù)變化是在與氣體分子平均

36、自由行程同 一數(shù)量級（在空氣中約310-4mm左右）內(nèi)完成的，也可 以說，各氣流參數(shù)是在一個(gè)極小的激波厚度內(nèi)連續(xù)地進(jìn)行 變化的。當(dāng)然也可以認(rèn)為，是在一個(gè)幾何面上突然變化的； 這就是說，可以把激波看作是一個(gè)不連續(xù)的間斷面，氣流 參數(shù)通過激波的變化是突躍的，不連續(xù)的。 rtc 2 c 1 c 3 c 2 c 二、正激波前后氣流參數(shù)二、正激波前后氣流參數(shù) 如圖7-7所示，正激波前和正激波后各氣流參數(shù)的下標(biāo)分 別為1和2。由于圓管的截面積不變，所以連續(xù)性方程可寫成 （a） 若忽略摩擦的影響，則動量方程可寫成 或 （b） 氣流通過激波時(shí)受到急劇地壓縮，由于其時(shí)間極短，所產(chǎn) 生的熱量來不及外傳，故使氣流的

37、熵增加。所以氣流通過激 波時(shí)的突躍壓縮過程是一個(gè)不可逆的絕熱過程。于是，氣流 在激波前后的總能量相等，并保持不變，對于完全氣體能量 方程可寫成 （c） 或 （d） 式中臨界聲速 也保持不變。 2211 vv )( 121121 vvvpp 2 222 2 111 vpvp 常數(shù) 02 2 2 1 2 1 22 tctc v tc v ppp 常數(shù) 21 1 11212 2 0 0 2 2 2 2 1 1 2 1 cppvpv c 圖7-7 正激波 將氣體狀態(tài)方程應(yīng)用與正激波前、后的狀態(tài)，得 （e） 將式（b）的兩邊各除以式（a）的兩邊，得 （f） 由能量方程（d）可得 （g） （h） 將式（g

38、）和（h）代入式（f），簡化后得 由于 ，所以 （7-35） 這就是著名的普朗特公式，再由動量方程（b）和連續(xù)性方 程（a）可知 )( 112212 ttrpp 2 12 2 2 22 1 1 1 v v v p v p 2 1 2 1 1 1 1 2 1 vc p 2 2 2 2 2 1 1 2 1 vc p 2 122112 cvvvvvv 12 vv 2 21 cvv 1 22 11 2 22 2 1112 1 v v vvvpp 由于激波是壓縮波，即 ，因此 。所以由式（7- 35）可得重要結(jié)論：若正激波前是超音速流，則在正激波后 必定是亞音速氣流。 由于 和 ，則式（b）可改寫成 所

39、以 （7-36） 又由 代入式（c）得 （i） 再由于 ，所以式（i）可寫成 （7-37） 2 p 1 p 2 v 1 v p c 2 c v ma 2 11 2 22 2 11 2 2221 mapmapvvpp 2 2 2 1 1 2 1 1 ma ma p p rtmacmav 22 2 211 2 1 2 1 2 1 tcrtmatcrtma pp rcp 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 ma ma mac mac t t p p 由狀態(tài)方程和式（a） 所以 （7-38） 現(xiàn)將式（7-36）和式（7-37）代入式（7-38）得

40、 或 1 2 11 22 11 22 21 12 1 2 rt rt map map vp vp p p t t 2 11 22 1 2 map map t t 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ma ma ma ma ma ma 4 2 2 1 2 1 22 1 2 1 11 2 1 mamamama 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 121mamamamama 0 2 1 1 2 1 ma 簡化成 或 （7-39） 式（7-39）最簡單但無意義的解是 ，即上、下游的 馬赫數(shù)相等，無正激波存在的情況。式（7-39）的另一

41、個(gè)解 就是正激波前、后馬赫數(shù)的關(guān)系式 （7-40） 0 2 1 11 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 4 2 2 1 mamamamamama 0 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 mamamamama 21 mama 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 ma ma ma 將式（7-40）代入式（7-36）和式（7-37），得 （7-41） （7-42） 再將式（7-41）和式（7-42）代入式（7-38），得 （7-43） 式（7-40）至（7-43）表示正激波前、后各氣流參數(shù)之比都 是波前馬赫數(shù)的函數(shù)。所以，當(dāng)波前各氣流參數(shù)已知時(shí)，就 可以從這些公

42、式求得波后各氣流參數(shù)之值。 1 12 2 1 1 2 ma p p 1 1 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ma ma ma t t 2 1 2 1 2 1 1 2 1 12 ma ma v v 第五節(jié) 應(yīng) 用 舉 例 【例例7-1】 空氣從大容器經(jīng)喉部直徑為25mm的縮放噴管流 向大氣，設(shè)大容器中的計(jì)示壓強(qiáng)和溫度各為690kpa和 40，大氣壓強(qiáng) 101.3kpa（abs.）。若不計(jì)空氣流 過噴管時(shí)的損失，試求臨界流速、出口流速、出口馬赫數(shù) 和出口截面的直徑以及 。空氣 j/（kgk）， 1.4。 解析 【例例7-2】 在亞聲速飛行的飛機(jī)上，裝有皮托管和靜壓管， 用來測量飛

43、機(jī)的飛行速度。今測得大氣的靜壓 0.75105pa，氣溫 -10，動壓 0.25105pa。 試計(jì)算飛機(jī)的飛行速度。 解析 pt 0 p m p2 287r pp 0 【例例7-3】 核爆炸產(chǎn)生的爆震波（激波）以16000m/s的速 度在靜止的大氣中傳播，原來空氣的壓強(qiáng)為 1.0133105pa，溫度為300k，試計(jì)算： (1)激波相對靜止空氣的馬赫數(shù) ； (2)激波后相對靜止觀察者的壓強(qiáng)和溫度的滯止值。 解析 【解解】 空氣的臨界壓強(qiáng)由式（7-25） 0.528（690+101.3）=417.7（kpa） 而 101.3kpa，于是 ，故采用縮放噴管。 空氣的氣體常數(shù) j/（kgk），則 （

44、kg/m3） 臨界流速由式（7-33） （m/s） 出口速度為 返回【例例7-1】 * p 2 p * 2 pp 287r 81. 8 )40273(287 10) 3 .101690( 3 0 0 0 rt p 324 81. 8 10) 3 .101690( 08. 108. 1 3 0 0 * p cv 1 0 2 0 0 2 1 1 2 p pp v 4 . 1 14 . 1 3 3 .101690 3 .101 1 81. 8 10) 3 .101690( 14 . 1 4 . 1 2 528（m/s） 空氣的定壓比熱 j/（kgk），則 ，由式（7-11） 所以 k=-99 出口馬

45、赫數(shù)為 通過噴管的流量為 1005 p c tch p 2 00 2 2 2 2 1 2 vtc v tc pp )(2 20 2 0 2 2 ttcvv p 0 0 v)40273(10052528 2 2 t 174 2 t 2 1742874 . 1 528 2 2 2 c v ma )1(2 1 00 * max 1 2 paqqm ) 14 . 1 (2 14 . 1 3 2 14 . 1 2 81. 810) 3 .101690(4 . 114. 3 1000 25 4 1 887. 0（kg/s）返回【例例7-1】 出口密度為 （kg/m3） 出口截面積為 （m2） 出口直徑為

46、（m） （mm） 可由式（7-30）求得 經(jīng)試算，得=0.909，則 029. 2 174287 103 .101 3 2 2 2 rt p 000828. 0 528029. 2 887. 0 22 2 v q a m 0325. 0 14. 3 000828. 044 2 2 a d5 .32 1 0 2 2 0 2 002 1 2 p p p p paq mm m 4 . 1 14 . 1 0 2 4 . 1 2 0 23 81. 810) 3 .101690( 14 . 1 4 . 12 000828. 0887. 0 p p p p mm 715. 1 0 2 429. 1 0 2 5 .421 p p p p mm 719) 3 .10169