第六節(jié)矩陣的初等變換(下).

1、4帶箕換的QR：方 設(shè)A是一個(gè)”階矩陣，則可按如下方法判斷4是否 可逆，且在可逆時(shí)求其逆矩陣: 第1步將4與E放在一起，構(gòu)作一個(gè)/IX 2/1矩陣(A,E) 第2步:對(duì)矩陣(A,E)作初等行變換，直到將其化為行 簡化階梯形不妨記后者為(C,),則艮卩 初等行變換 T(C,) 第3步：如果心=；,則4可逆且4=B;否則M不可逆. 交換E的第行（列）得到的初等矩陣記作 （2）用非零數(shù)I乘以的第F行（列）得到的初等矩陣，記 作卩仇） （3）將E的第/行的去倍加到第行（或第洌的攵倍加到 第/列）得到的初等矩陣，記作尸匕丿）. 0、 0 1 z 52,3)= 0 0 0、 0 1 1 () 0 如jP(

2、3(Q)=0 0、 0 1 0 0 1 k 0) 碼= 0 1 0 l+2U) P(l,2(fc)- 0 1 0 (0 0 1J 1 1J (1 0 0 T 廠1 00) 例如,P(2,3)r = 0 0 1 = 0 () 1 = P(2,3); 1 1 1 0 丿 1 0 0、 T 1 0 0、 3 仏)= 0 10 = 0 1 0 =n； 3 0 0 J 0 1 Q (1 k -1 -k 0 0 1 0 = 0 1 0 = P(2,l(-) 1。 0 1丿 1 0 1 = P(2,3); 設(shè)A = (a0 )是一個(gè)m xn矩陣，貝U (1)對(duì)A進(jìn)行一次初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的加階 初等矩

3、陣左乘4； (2)對(duì)A進(jìn)行一次初等列變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的立階 初等矩陣右乘A. 示例 設(shè)矩陣 aanai3%4、 A =a21a22a23a24 掄論1 對(duì)于任意加X死矩陣4,存在加階初等矩陣P,P“、匕 和階初等矩陣0, ，Q，使得 片 池輪2 對(duì)于任意祝xn矩陣A,存在加階可逆矩陣和m階可 逆矩陣Q,使得PAQ =反 艙雄3 n階矩陣4可逆o A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形入=E 推論4 n階矩陣A可逆o A可表為有限個(gè)初等矩陣的乘積. 初竽行變換 設(shè)A是一個(gè)光階矩陣，并設(shè)(4疋)一TC,B)則 M可逆oC = E且在C = E時(shí) 初縛行變換 如果C = E,即(：,),則 根據(jù)定理16,存在初等矩陣片迅

4、,上,使得 Pf2P$(A,E) = (E,B) 即PJ2代A = E、Pf2PsE = B這意味著B4 = E 再根據(jù)第5節(jié)定理15的推論可知4可逆且= 根據(jù)定理17的推論4,存在初等矩陣G“G“ S使得 進(jìn)而， Gfi2 (4, E) = A (4, E) = (E, A-1). 再根據(jù)定理1.6,這相當(dāng)于說， 女次初等行變換 (AQT一HE,a) 初等行變換 設(shè)矩陣方程AX=B9并設(shè)G4,B)tt(C,D) 如果C = E,貝IjAX = B有唯一解，且X = A lB = D 示例 求解矩陣方程 0 1 2、 1 r 114 X = 0 1 二-1 0? 一1 01211、 解1)構(gòu)作矩陣(A,B)= 11401; 2 -1 0 -1 0? 2)對(duì)(A.B)作初等行變換，將其化為簡化階梯形: 卩 1 2 1 I ri 1 4 0 1 1 1 4 0 1 0 1 2 1 1 (2-1 0 -1 0J 2 -1 0 -1 0丿 一1/2 丿 3)方物X = 有唯一解= AlB = 32 1/2, 練習(xí) 求解矩陣方程AX = A + 2X,其中 廠 42 3、 A =110 -J 2 , 解 4X=A + 2Xo AX - 2X = 4 (A - 2E)X = A 對(duì)(A-2E,A)