平面和平面平行的判定

1、例2 下面兩組平面哪一組看上去象平行平面？ （） （） ab c d 1 d 1 a 1 b 1 c ? ? 兩個平面可能有哪幾種位置關(guān)系 你能根據(jù)公共點的情況進行分類嗎 (2) (1)平行 相交 知識探究知識探究 1.兩個平面的位置關(guān)系兩個平面的位置關(guān)系: 有一條公共直線有一條公共直線. 兩個平面平行兩個平面平行 如果兩個平面沒有公共點，那么這如果兩個平面沒有公共點，那么這 兩個平面兩個平面互相平行互相平行. 兩個平面相交兩個平面相交 a / a 二、兩個平面二、兩個平面 :兩個平面的位置關(guān)系有 位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交 公共點 符號表示 圖形表示 沒有公共點 有一條公共直線 / a a

2、 探究問題探究問題 ？ 2（ ）平面 內(nèi)有兩條直線與平面 平行， 與 平行嗎？ 1（）平面 內(nèi)有一條直線與平面 平行， 與 平行嗎？ 3（ ）平面 內(nèi)有無數(shù)條直線與平面 平行， 與 平行嗎？ 探究思考探究思考 （兩平面平行）（兩平面平行） （兩平面相交）（兩平面相交） a a 1a （ ）若 內(nèi)有與一條平行， 則與 直線 平行嗎？ 探究：探究： （兩平面平行）（兩平面平行） （兩平面相交）（兩平面相交） a b a b ,ab 若 內(nèi)有兩條直線 、 分別與 平行 則 與 平行嗎？ /ab若時 ， 則與平 行 嗎 ？ 探究：探究： a b p abp若時，則 與 平行嗎？ ,ab 若 內(nèi)有兩條直

3、線 、 分別與 平行 則 與 平行嗎？ （二）（二） 兩個平面平行的判定定理兩個平面平行的判定定理 1. 由兩個平面平行的定義可得由兩個平面平行的定義可得: a. 如果兩個平面平行如果兩個平面平行,那么在其中一個平面內(nèi)的所有那么在其中一個平面內(nèi)的所有 直線一定都和另一個平面平行直線一定都和另一個平面平行; b. 返過來返過來,如果一個平面內(nèi)的所有直線都和另一個平如果一個平面內(nèi)的所有直線都和另一個平 面平行面平行,那么這兩個平面平行那么這兩個平面平行. 平面平面 內(nèi)有兩條相交直線與平面內(nèi)有兩條相交直線與平面 平行，情況如何呢？平行，情況如何呢？ a 探究問題，歸納結(jié)論探究問題，歸納結(jié)論 d 1

4、c 1 b 1 a 1 dc b a 1?怎樣判定兩個平面平行 知識探究知識探究 平面與平面平行的判定定理平面與平面平行的判定定理： 符號表示符號表示： 歸納結(jié)論歸納結(jié)論 如果如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平 面平行，則這兩個平面平行面平行，則這兩個平面平行 . ab p / /,/ , ba pba ba 內(nèi)內(nèi) 交交 平行平行 證明：假設(shè)證明：假設(shè)c.c.則則c c ,c ,c aa, , a a ,a,a與與c c沒有交點沒有交點 aac.c.同理同理bbc.c. 于是在平面內(nèi)過點于是在平面內(nèi)過點p p有兩條直線與有兩條直線與c c平行，這與平行平行

5、，這與平行 公理矛盾，假設(shè)不成立公理矛盾，假設(shè)不成立. . . . a p c b 已知：已知：a,ba,b ,a ,ab=p,b=p, a,ba,b. . 求證：求證： 2.兩平面平行的判定定理兩平面平行的判定定理: 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于 另一個平面，那么這兩個平面平行。另一個平面，那么這兩個平面平行。 p b a / , / , / ababp ab 、 線面平行，則面面平行線面平行，則面面平行 3.推論推論:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于 另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行。另一

6、個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行。 p b a a bp ,ab ,ab /,/aa bb abp / 4.結(jié)論結(jié)論： 平行于同一平面的兩個平面平行平行于同一平面的兩個平面平行. /,/ 線線平行，則面面平行線線平行，則面面平行 a ,b aa bb a,b v 推論推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分 別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么 這兩個平面平行。這兩個平面平行。 a b a b ./ ./,/ , , 求證： ； ；已知： dbca dc pbaba b a d c p ./ ,/,/, ././ ,/, ba

7、pbaba ba caac 同理 證明： 應(yīng)用練習(xí)：應(yīng)用練習(xí)： 推論：推論：如果一個平面內(nèi)有如果一個平面內(nèi)有兩條兩條相交相交直線直線分別平行于分別平行于 另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行. /, /, / ababp ab 、 ,ab ,ab /, /aa bb abp / /,/ 兩個平面平行的判定方法兩個平面平行的判定方法: 定義法定義法 p b a p b a a bp 補充定理: 垂直于同一條直線的兩個平面平行 /,ll l 判斷下列命題是否正確,并說明理由. 若若平面平面 內(nèi)的無數(shù)條直線分別與平面內(nèi)的無數(shù)條直線分別與平面 平行平行,

8、 ,則則 與與 平行平行. . 平行于同一直線的兩個平面平行平行于同一直線的兩個平面平行. 若平面若平面 內(nèi)的兩條直線分別與平面內(nèi)的兩條直線分別與平面 平平 行行, ,則則 與與 平行平行. . 兩個平面分別經(jīng)過兩條平行直線兩個平面分別經(jīng)過兩條平行直線, ,則則 這兩個平面平行這兩個平面平行. . 過已知平面外一條直線過已知平面外一條直線, ,必能作出與已知必能作出與已知 平面平行的平面平面平行的平面. . () () () () () a b d c d c b a 如圖如圖,在長方體在長方體 中中, 求證求證: . 只要證一個平面內(nèi)有只要證一個平面內(nèi)有 兩條相交直線兩條相交直線和另一個平面

9、和另一個平面 平平 行即可行即可 面面平行面面平行線面平行線面平行 線線平行線線平行 abcda b c d /c dbb d平面平面a 分析：分析： 平面平面 如圖，在長方體如圖，在長方體 中，中， 求證：平面求證：平面 c db /ab d ab c d a b c d /bcad bcab d adab d 平 面 平 面 /bcab d平 面 同理同理:/cdabd 平面 bccdc /c dbab d 平面平面 /abdcd c abdcd c abc d 是平行四邊形 證明證明: abcda b c d ab c d a b c d 如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線和如果一個平面內(nèi)的兩

10、條相交直線和 另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行, ,那那 么這兩個平面是否平行？么這兩個平面是否平行？ 小結(jié)：小結(jié)： 面面平行的判面面平行的判 定方法共有兩種：定方法共有兩種： 運用定義運用定義 運用判定定理運用判定定理 棱長為棱長為a的正方體的正方體ac1中，設(shè)中，設(shè)m、n、e、f 分別為棱分別為棱a1b1、a1d1、c1d1、b1c1的中點的中點. (1)求證：求證：e、f、b、d四點共面；四點共面； (2)求證：面求證：面amn 面面efbd. 練練 習(xí)習(xí) a d d1 a1 b1 c1 b c e f n m 例例1.下列命題正確的是（下列命題正確的

11、是（ ） a.兩個平面有無數(shù)個公共點，則這兩個平面重合兩個平面有無數(shù)個公共點，則這兩個平面重合 b.若一個平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面，則這若一個平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面，則這 兩個平面平行。兩個平面平行。 d.若兩個平面平行，則其中的一個平面與另一個平面若兩個平面平行，則其中的一個平面與另一個平面 內(nèi)的無數(shù)條直線平行。內(nèi)的無數(shù)條直線平行。 c.若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面，則若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面，則 這兩個平面平行。這兩個平面平行。 d 1111 dcbaabcd / 11d ab 1 bdc ,/,/ 111111 badcbaab 為平行四邊形

12、即 1111 ,/dabcdcab 11 /.adbc , 1111 bdcadbdcbc平面平面又 ./ 11 bdcad平面 111111 11 , , adab d abab d adaba 又平面平面 ./ 111 bdcdab平面平面 1 c1 d 1 a 1 b d c b a 例例2.已知正方體已知正方體 中，如圖，中，如圖， 平面平面 證明：證明： 11 /.abbdc平平 面面同理同理 求證：平面求證：平面 典例分析典例分析 例例2 2 在三棱錐在三棱錐p-abcp-abc中，點中，點d d、e e、 f f分別是分別是pabpab、pbcpbc、pacpac的的 重心，求證

13、：平面重心，求證：平面def/def/平面平面abc.abc. p p a a b b c c d d e e f f m m n n 2. 如圖如圖 : 已知已知 正方體正方體 求證求證: dbcadb 111 /平面平面 1111 dcbaabcd ab 1 d 1 c 1 b 1 a d c 定理的應(yīng)用定理的應(yīng)用 證明：證明： 為正方體為正方體 d d1 1c c1 1/ / abab ， d d1 1c c1 1/ ab / ab d d1 1c c1 1abab為平行四邊形，則為平行四邊形，則d d1 1a/ca/c1 1b b 1111 dcbaabcd 1111 d ac bdc

14、 bc bd又平面，平面， 1111, d ad bd又 所以所以 平面平面a a1 1bd/bd/平面平面c c1 1bdbd 所以，所以，d d1 1a/a/平面平面c c1 1bdbd， 同理，同理，d d1 1b b1 1/平面平面c c1 1bdbd， 嘗試性練習(xí)：嘗試性練習(xí)： 1、下面的說法正確嗎？、下面的說法正確嗎？ (1)、如果一個平面內(nèi)有兩條直線分別平行于另、如果一個平面內(nèi)有兩條直線分別平行于另 一個平面一個平面,那么這兩個平面平行那么這兩個平面平行.( ) (2)、如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別平行于、如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別平行于 另一個平面另一個平面,那么這兩個平

15、面平行那么這兩個平面平行.( ) (3)、如果一個平面內(nèi)任意一條直線平行于另一、如果一個平面內(nèi)任意一條直線平行于另一 個平面?zhèn)€平面,那么這兩個平面平行那么這兩個平面平行.( ) 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí): 1.判斷下列命題是否正確，正確的說明理由，錯誤的判斷下列命題是否正確，正確的說明理由，錯誤的 舉例說明：舉例說明： （1）已知平面）已知平面 和直線和直線 ， 若若 ，則，則 , ,m n ,/, /mnmn/ （2）一個平面）一個平面 內(nèi)兩條不平行的直線內(nèi)兩條不平行的直線 都平行于另一平面都平行于另一平面 ，則，則/ 錯誤錯誤 正確正確 m n a b p 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí): 2.如圖如圖,正方體

16、正方體abcd-a1b1c1d1中，中，m,n,e,f分別是分別是 棱棱a1b1, a1d1,b1c1,c1d1的中點，求證的中點，求證:平面平面amn/平平 面面efdb. ab 1 d 1 c 1 b 1 a d c e f m n 3.選擇題：選擇題： （1）經(jīng)過平面外兩點可作該平面的平行平面的）經(jīng)過平面外兩點可作該平面的平行平面的 個數(shù)為（個數(shù)為（ ） (a). 0 (b). 1 (c). 0 或或 1 (d). 1 或或 2 2 ./, :(1) / ,(2),(3) (4), mnambn ababab ab （ ） 平面平面直線直線 下面四種情形與 異面 與 相交其中可能出現(xiàn)的情

17、形有其中可能出現(xiàn)的情形有 ( ) (a). 1 種種 (b). 2種種 (c). 3種種 (d). 4種種 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí): c c 定理的理解定理的理解: : 1.判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確 （1）已知平面已知平面 和直線和直線 ， 若若 ，則，則 ,m n /, /mn/. （2）一個平面一個平面 內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另 一平面一平面 ，則，則/. 錯誤錯誤 正確正確 ,mn 2、平面和平面平行的條件可以是（平面和平面平行的條件可以是（ ） （a） 內(nèi)有無數(shù)多條直線都與內(nèi)有無數(shù)多條直線都與 平行平行 （b）直線直線 （c）直線直線 ，直線，

18、直線 ，且，且 （d） 內(nèi)的任何一條直線都與內(nèi)的任何一條直線都與 平行平行 /,/aa ab/, /ab d 定理的理解定理的理解: : 例例1 如圖如圖 : : 已知正方體已知正方體 求證求證: : 111 /.b adbc d平面平面 1111. abcdabc d 定理的應(yīng)用定理的應(yīng)用 證明證明: : 為正方體為正方體 d d1 1c c1 1/ ab/ ab ，且，且 d d1 1c c1 1 = ab = ab， d d1 1c c1 1abab為平行四邊形，為平行四邊形， 則則d d1 1a/ca/c1 1b.b. 1111 dcbaabcd 1111 d ac bdc bc bd

19、又平面，平面， 1111, d ad bd又 所以所以 平面平面abab1 1d d1 1/平面平面c c1 1bd.bd. 所以，所以，d d1 1a/a/平面平面c c1 1bdbd， 同理同理，d d1 1b b1 1/平面平面c c1 1bdbd， d1 c1 a1 a b c d b1 變式：已知正方體變式：已知正方體 a1 1 b1 1 g a b c d d1 1 c1 1h f e , 平面平面 1111 dcbaabcd hgfe、分別是棱分別是棱 11111111 ,dccbbada的中點的中點. /aef求證求證:平面平面ghdb. 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí): (3).平面和平面

20、平行的條件可以是（平面和平面平行的條件可以是（ ） （a） 內(nèi)有無窮多條直線都與平行內(nèi)有無窮多條直線都與平行 （b）直線）直線 ，且直線，且直線 不在不在 內(nèi)，也內(nèi)，也 不在不在 內(nèi)內(nèi) （c）直線）直線 ，直線，直線 ，且，且 （d） 內(nèi)的任何條直線都與內(nèi)的任何條直線都與 平行平行 a/,/aa ab/, /ab d ./ 111 1111 dabbdc dcbaabcd 平面證明平面 中，正方體 例題例題1： 1 d d 1 a a 1 c c b 1 b 分析分析 只要證明只要證明：一個平面內(nèi)一個平面內(nèi) 有兩條相交的直線有兩條相交的直線 與另一個平面平行與另一個平面平行 ./ 111 1111 dabbdc dcbaabcd 平面證明平面 中，正方體 例題例題2： 1 d d 1 a a 1 c c b 1 b abcd c1d1是平行四邊形 11d ab