第15章時間序列回歸

1、1 本章我們討論分析時間序列數(shù)據(jù)（檢驗(yàn)序列相關(guān)性，估 計arma模型，使用分布滯后，非平穩(wěn)時間序列的單位根檢 驗(yàn)）的單方程回歸方法。 2 時間序列回歸中的一個普遍現(xiàn)象是：殘差和它自己的滯后值相關(guān)。這種 序列相關(guān)性違背了回歸理論的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)：不同時點(diǎn)的擾動項(xiàng)互不相關(guān)。與序 列相關(guān)相聯(lián)系的主要問題有： 在線性估計中ols不再是有效的； 使用ols公式計算出的標(biāo)準(zhǔn)差不正確； 如果在方程右邊有滯后因變量，ols估計是有偏的且不一致。 eviews提供了檢測序列相關(guān)和估計方法的工具。但首先必須排除虛假序 列相關(guān)。虛假序列相關(guān)是指模型的序列相關(guān)是由于省略了顯著的解釋變量而 引起的。例如，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如

2、果省略了資本這個重要的解釋變量， 資本對產(chǎn)出的影響就被歸入隨機(jī)誤差項(xiàng)。由于資本在時間上的連續(xù)性，以及 對產(chǎn)出影響的連續(xù)性，必然導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)。所以在這種情況下， 要把顯著的變量引入到解釋變量中。 3 如果隨機(jī)過程 的均值和方 差、自協(xié)方差都不取決于 t，則稱 y t 是協(xié)方差平穩(wěn)的或弱平穩(wěn)的： , 12101 ttt yyyyyyy )( t ye 2 )( t yvar 對所有的 t 對所有的 t 對所有的 t 和 s 注意，如果一個隨機(jī)過程是弱平穩(wěn)的，則y t與y t- s之間的協(xié)方差僅取決 于s ，即僅與觀測值之間的間隔長度s有關(guān)，而與時期t 無關(guān)。一般所說的 “平穩(wěn)性”含義就

3、是上述的弱平穩(wěn)定義。給定一個樣本值為t 的時間序列可 以看作是隨機(jī)過程 y t 的一個實(shí)現(xiàn)，仍記為 。 , 21tt yyyy sstt yye )( 4 一般地，我們考慮如下形式： ttt uxy ttt zu 1 是在t時刻的解釋變量向量； 是前期已知變量向量； 是參數(shù)向量； 是殘差； 是殘差的擾動項(xiàng)； 可能包含 的滯后值或 的滯后值。 是無條件殘差,它是基于結(jié)構(gòu)成分 的殘差，但它不使用 中包 含的信息。 是一步預(yù)測誤差，它是因變量真實(shí)值和以解釋變量以及以前預(yù)測誤 差為基礎(chǔ)的預(yù)測值之差。 t x 1t z, t u 1t z ),( t x t u t t t u 1t z t 5 最簡單

4、且最常用的序列相關(guān)模型是一階自回歸ar(1)模型。定義如下： ttt uxy ttt uu 1 參數(shù) 是一階序列相關(guān)系數(shù)，實(shí)際上，ar(1)模型是將以前觀測值的殘差 包含到現(xiàn)觀測值的回歸模型中。 更為一般，帶有p階自回歸的模型，ar(p)誤差由下式給出： ttt uxy tptpttt uuuu 2211 ar(p)的自相關(guān)將漸漸衰減至零，同時高于p階的偏自相關(guān)也是零。 6 在使用估計方程進(jìn)行統(tǒng)計推斷（如假設(shè)檢驗(yàn)和預(yù)測）之前，一般應(yīng)檢驗(yàn) 殘差（序列相關(guān)的證據(jù)），eviews提供了幾種方法來檢驗(yàn)當(dāng)前序列相關(guān)。 eviews將d-w統(tǒng)計量視為標(biāo)準(zhǔn)回歸輸出的一部分。 還可估算回歸模型鄰近殘差的線性

5、聯(lián)系。d-w統(tǒng)計量是在下面定義中檢驗(yàn)原假設(shè): 0 ttt uu 1 如果序列不相關(guān)，d-w值在2附近。如果存在正序列相關(guān)，d-w值將小于 2（最小為0），如果存在負(fù)序列相關(guān)，d-w值將在2 - 4之間。 正序列相關(guān)最為普遍，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，對于有大于50個數(shù)據(jù)和較少的解釋變 量，d-w值小于1.5的情況，說明存在強(qiáng)正一階序列相關(guān)。參考johnston and dinardo（1997版6.6.1章）關(guān)于d-w檢驗(yàn)和統(tǒng)計量顯著性的論述。 7 1d-w統(tǒng)計量的擾動項(xiàng)在原假設(shè)下依賴于數(shù)據(jù)矩陣x。 2回歸方程右邊如果存在滯后因變量，d-w檢驗(yàn)不再有效。 3僅僅檢驗(yàn)原假設(shè)（無序列相關(guān)）與備選假設(shè)（一階序列相關(guān)

6、）。 其他兩種檢驗(yàn)序列相關(guān)方法：q-統(tǒng)計量和breush-godfrey lm檢驗(yàn)克 服了上述不足，應(yīng)用于大多數(shù)場合。 例子：工作文件15_1eq_cs 8 在方程工具欄選擇view/residual tests/correlogram-q-statistics 。 eviews將顯示殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)以及對應(yīng)于高階序列相關(guān)的 ljung-box q統(tǒng)計量。如果殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和 偏自相關(guān)值都接近于零。所有的q-統(tǒng)計量不顯著，并且有大的p值。 k 階滯后的。計算 式如下 k j j lb jt r ttq 1 2 2 是 j 階自相關(guān)系數(shù)，t是觀測值的個數(shù)。 j

7、r 9 下面是這些檢驗(yàn)程序應(yīng)用的例子，考慮用普通最小二乘估計的簡單消費(fèi) 函數(shù)的結(jié)果： 10 瀏覽這些結(jié)果：系數(shù)在統(tǒng)計上是很顯著的，并且擬合得很好。但是，如果 誤差項(xiàng)是序列相關(guān)的，那么估計ols標(biāo)準(zhǔn)誤差將是無效的，并且估計系數(shù)由于 在方程右端有滯后因變量會發(fā)生偏倚和不一致。在這種情況下d-w統(tǒng)計量作為 序列相關(guān)的檢驗(yàn)是不合適的，因?yàn)樵诜匠逃叶舜嬖谥粋€滯后因變量。選擇 view/residual test/correlogram-q-statistice會產(chǎn)生如下情況 11 選擇view/residual tests/serial correlation lm test，一般地 對高階的，含有a

8、rma誤差項(xiàng)的情況執(zhí)行breush-godfrey lm （lagrange multiplier，拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)）。在滯后定義對話 框，輸入要檢驗(yàn)序列的最高階數(shù)。 eviews將給出兩個統(tǒng)計量：f統(tǒng)計量和nr2（觀測值個數(shù)乘 以r2），nr2在原假設(shè)下服從 分布。f統(tǒng)計量分布未知，但常 用來對原假設(shè)進(jìn)行非正規(guī)檢驗(yàn)。 2 12 上一例子中相關(guān)圖在滯后值3時出現(xiàn)峰值。q統(tǒng)計量在各階滯后值中都 具有顯著性，它顯示的是殘差中的顯著序列相關(guān)。 進(jìn)行序列相關(guān)的lm檢驗(yàn)，選擇view/residual tests/serial correlation lm test，輸入滯后2產(chǎn)生如下結(jié)果： 此檢驗(yàn)拒絕

9、直至2階的無序列相關(guān)的假設(shè)。q-統(tǒng)計和lm檢驗(yàn)都表明： 殘差是序列相關(guān)的，并且方程在被用于假設(shè)檢驗(yàn)和預(yù)測之前應(yīng)該重新定 義。 13 在使用本章描述的工具之前，可以首先檢驗(yàn)?zāi)Ｐ推渌矫娴腻e誤。誤差存 在序列相關(guān)是模型定義存在的嚴(yán)重問題。特別地，應(yīng)注意使用ols得出的過分 限制的定義。有時，在回歸方程中添加不應(yīng)被排除的變量會消除序列相關(guān)。 在eviews中估計一個ar(1)模型，選擇quick/estimate equation打開一個方 程，用列表法輸入方程后，最后將ar(1)項(xiàng)加到列表中。例如：估計一個帶有 ar(1)誤差的簡單消費(fèi)函數(shù) ttt uu 1 應(yīng)定義方程為： cs c gdp cs

10、(-1) ar(1)。例子：工作文件15_1eq_cs_ar1 tttt ucscgdpcccs 1321 cst = -22.35 + 0.0924 * gdpt + 0.874 * cst-1 ut = 0.2789 * ut-1 14 估計高階ar模型稍稍復(fù)雜些，為估計ar(k)，應(yīng)輸入模型的定義和所包 括的各階ar值。如果想估計一個有1-5階自回歸的模型 tttt uuu 5511 應(yīng)輸入： cs c gdp cs(-1) ar(1) ar(2) ar(3) ar(4) ar(5) 例子：工作文件15_1eq_cs_ar5 可以輸入在模型中想包括的各個自回歸，eviews在消除序列相關(guān)

11、時給予 很大靈活性。例如，如果有季度數(shù)據(jù)而且想用一個單項(xiàng)來說明季節(jié)自回歸， 可以輸入：cs c gdp cs(-1) ar(4)。 tttt ucscgdpcccs 1321 15 15.3.3 存在序列相關(guān)的非線性模型存在序列相關(guān)的非線性模型 eviews可以估計帶有ar誤差項(xiàng)的非線性回歸模型。例如：估計如下的帶 有附加ar(2)誤差的非線性方程 t c tt ugdpccs 2 1 tttt ucucu 2413 使用eviews表達(dá)式定義模型，在后面的方括號內(nèi)描述ar修正項(xiàng)，對每 一階ar滯后項(xiàng)都應(yīng)包括一個系數(shù)，每項(xiàng)之間用逗號隔開。 cs=c(1)+gdpc(2)+ar(1)=c(3),

12、 ar(2)=c(4) eviews通過差分來轉(zhuǎn)換這種非線性模型且使用gauss-newton迭代法來估 計轉(zhuǎn)換后的非線性模型。 16 15.3.4 存在序列相關(guān)的二階段回歸模型存在序列相關(guān)的二階段回歸模型 通過把二階段最小二乘法或二階段非線性最小二乘法和ar項(xiàng)結(jié)合起來， 對于在回歸因子和擾動項(xiàng)存在相關(guān)性的情況和殘差存在序列相關(guān)一樣估計模 型。 如果原始回歸模型是線性的，eviews使用marquardt算法來估計變形后模 型的參數(shù)。 如果原始回歸模型是非線性的，eviews使用gauss-newton算法來估計ar 修正后的模型。 對于存在序列相關(guān)的情況，可以通過向方程添加ar項(xiàng)來調(diào)整tsl

13、s。 eviews會自動將模型轉(zhuǎn)化為非線性最小二乘問題，并用工具變量估計模型。 估計對話框中的options 鈕用來改變非線性工具變量過程的迭代次數(shù)限制和收 斂標(biāo)準(zhǔn)。 17 例子：例子：15_1eq_cs_tsls_ar 假設(shè)用二階段最小二乘估計消費(fèi)函數(shù)，考慮存在一階序列相關(guān)。 二階段最小二乘變量列表為： cs c gdp ar (1) 工具變量列表為： c gov log(m1) cs(-1) gdp(-1) 注意因變量的滯后（cs(-1)）和內(nèi)生變量的滯后（gdp(-1)）都包括 在工具變量表中。 類似地，考慮消費(fèi)函數(shù)， cs c cs(-1) gdp ar(1) 有效的工具變量表為： c

14、 gov log(m1) cs(-1) cs(-2) gdp(-1) 18 當(dāng)估計某個含有ar項(xiàng)的模型時，在解釋結(jié)果時一定要小心。在用通常的方 法解釋估計系數(shù)，系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差和t-統(tǒng)計量時，涉及殘差的結(jié)果會不同于ols的 估計結(jié)果。 要理解這些差別，記住一個含有ar項(xiàng)的模型有兩種殘差： 第一種是 bxyu ttt 通過原始變量以及估計參數(shù) 算出。在用同期信息對y t值進(jìn)行預(yù)測時， 這些殘差是可以觀測出的誤差，但要忽略滯后殘差中包含的信息。 19 第二種殘差是估計的 。如名所示，這種殘差代表預(yù) 測誤差。如果使用前期數(shù)據(jù)殘差和當(dāng)前信息作預(yù)測，實(shí)際上，通過利用滯后 殘差的預(yù)測能力，改善了無條件預(yù)測和殘

15、差。 對于含有ar項(xiàng)的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計量，如r2 (回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差)和 d-w值都是以一期向前預(yù)測誤差為基礎(chǔ)的。含有ar項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計量是 估計的ar系數(shù) 。對于簡單ar(1)模型， 是無條件殘差的序列相關(guān)系數(shù)。 對于平穩(wěn)ar(1)模型， 在-1（極端負(fù)序列相關(guān)）和+1（極端正序列相關(guān)）之 間。 eviews在回歸輸出的底部給出這些根：inverted ar roots。如果存在虛 根，根的模應(yīng)該小于1。 i 20 課本上經(jīng)常描述估計ar模型的技術(shù)。探討最多的方法，如cochrane- orcutt (科克蘭內(nèi)-奧克特) 、prais-winsten、hatanaka以及hildre

16、th-lu程序 都是使用標(biāo)準(zhǔn)線性回歸進(jìn)行估計的多步方法。當(dāng)使用滯后因變量作為回 歸自變量或使用高階ar項(xiàng)定義模型時所有這些方法都有嚴(yán)重的缺點(diǎn)。見 davidson& mackinnon (1994, pp.329-341), greene(1997, p.600-607)。 eviews估計ar模型采用非線性回歸方法。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于：易 被理解，應(yīng)用廣泛，易被擴(kuò)展為非線性定義的模型。注意：非線性最小 二乘估計漸進(jìn)等于極大似然估計且漸進(jìn)有效。 21 為估計ar(1)模型，eviews通過將線性模型 ttt ttt uu uxy 1 轉(zhuǎn)換成非線性模型。將第二個方程代入第一個方程，整理 tttt

17、t xxyy )( 11 參數(shù)通過應(yīng)用marquarat非線性最小二乘法估計。 對于非線性定義，eviews將非線性模型 ttt ttt uu uxfy 1 ),( 轉(zhuǎn)換成： ttttt xfxfyy ),(),( 11 使用gauss-newton算法來估計參數(shù)。 22 高階ar定義情況也類似。例如，在方程中運(yùn)用非線性最小二乘估計的 非線性ar(3)如下： ),(),()( 11332211 ttttyt xfxfyyyy ttt xfxf ),(),( 3322 23 arma估計理論都是基于平穩(wěn)時間序列。如果一個序列的均值和自協(xié)方 差不依賴于時間，就說它是平穩(wěn)的。 非平穩(wěn)序列的典型例子是

18、隨機(jī)游動: ttt yy 1 是平穩(wěn)隨機(jī)擾動項(xiàng)。序列y的方差隨時間增長，若設(shè) ，則 的方差 是 。但是隨機(jī)游動是差分平穩(wěn)序列，因?yàn)閥一階差分后平穩(wěn)： t tttt ylyy )1 ( 1 差分平穩(wěn)序列稱為單整，記為i(d)，d為單整階數(shù)。單整階數(shù)是使序列平穩(wěn) 而差分的階數(shù)。對于上面的隨機(jī)游動，有一個單位根，所以是i(1)，同樣，平 穩(wěn)序列是i(0)。檢查序列平穩(wěn)性的標(biāo)準(zhǔn)方法是單位根檢驗(yàn)。 0 0 y t y 2 t 24 arima（autoregressive integrated moving average, 自回歸單整動平均）模 型是簡單的ar模型的一般化，使用三種工具來為擾動項(xiàng)的序列

19、相關(guān)建模。 上述的ar(1)模型只運(yùn)用了一階ar項(xiàng)，一般地，可以使用高 階ar項(xiàng)。每一個ar項(xiàng)對應(yīng)于在無條件殘差預(yù)測方法中的滯后值。p 階的自回歸 模型ar(p)有下面的形式： tptpt t t uuuu 22 1 1 每一單整階數(shù)對應(yīng)于對序列進(jìn)行差分。一階單整意味著對原 始序列進(jìn)行一次差分，二階單整對應(yīng)于進(jìn)行兩次差分，依此類推。 25 動平均預(yù)測模型使用預(yù)測誤差的滯后值來改善當(dāng)前預(yù)測。一 階動平均利用前期預(yù)測誤差，二階動平均利用前兩期預(yù)測誤差，以此類推。 ma(q)有如下形式： qtqttt u 11 請注意，一些教科書和軟件包的系數(shù)使用的是與常規(guī)相反的符號，因此 ma系數(shù)也可能是相反的。

20、 自回歸和動平均可以結(jié)合在一起形成arma(p , q)定義為： tptpttt uuuu 2211 qtqtt 2211 盡管計量經(jīng)濟(jì)學(xué)家常應(yīng)用arma模型于回歸模型殘差分析，它也可直接應(yīng) 用于序列。后種方法提供了一種單變量模型，將條件序列均值設(shè)定為一個常數(shù)， 將殘差估計成均值的序列差分。 26 在arima預(yù)測中，用上述的三種程序塊的結(jié)合來建立一個完整的預(yù) 測模型。建立殘差序列arima模型的是看其自相關(guān)性，可以使用 相關(guān)圖來達(dá)到這一目的。arima模型建模過程被稱為識別（勿與有關(guān)聯(lián) 立方程的著作中使用的同一詞混淆）。殘差當(dāng)前值與過去值之間的相關(guān)性 為選擇arima形式提供了導(dǎo)向。自相關(guān)很

21、容易解釋每一值是序列當(dāng) 前值和滯后一定區(qū)間的值的相關(guān)系數(shù)。偏自相關(guān)有些復(fù)雜，它們是考慮了 序列所有值滯后后的預(yù)測能力后，計算當(dāng)前和滯后序列的相關(guān)性。例如滯 后6階偏自相關(guān)是計算當(dāng) 已在預(yù)測模型中時， 的預(yù)測能力。 實(shí)際上， 如果懷疑左側(cè)的因變量和其他的預(yù)測值之間存在一個分布滯后關(guān)系， 那么可以在執(zhí)行估計前看它們的交叉相關(guān)。 51tt uu 6t u 6t u t u 27 是決定使用何種arima模型。如果自相關(guān)函數(shù)以幾何速率衰減， 偏自相關(guān)函數(shù)一階滯后后為零，即為一階自回歸模型。同樣，如果自相關(guān)一 階滯后后為零，而偏自相關(guān)以幾何速率衰減，即為一階動平均。如果自相關(guān) 有季節(jié)特征，這說明存在季節(jié)

22、arma結(jié)構(gòu)。例如：選擇eviews example filesdatahshs序列工作欄中view/correlogram便可以檢驗(yàn)基本住房序列相 關(guān)圖。 28 上圖中存在季節(jié)頻度的波動循環(huán)，建議用季節(jié)arma模型擬合hs序列。 arima分析的目的是控制殘差過程的一種過度節(jié)約的表示法。也可 僅用ar或ma來擬和殘差的特性。使用aic 準(zhǔn)則和schwarz準(zhǔn)則來選擇滯 后階數(shù)。 建立合適的arima模型后，應(yīng)當(dāng)確認(rèn)模型沒有殘差自相關(guān)。檢查擾 動項(xiàng)的自相關(guān)和偏自相關(guān)，還要考慮是否有重要的預(yù)測能力被忽略。 eviews提供了估計之后的診斷檢查方案。 29 eviews估計的是考慮到具有右側(cè)解釋變

23、量的arima(p, d, q)設(shè)定形式，盡 管這樣的模型有時叫做arimax模型： arima模型是arimax模型的特例，但是我們把這一類的模型都叫做arima 模型。 為建立arima模型，首先需要做以下兩點(diǎn)： 1確定單整階數(shù)，差分因變量序列； 2描述結(jié)構(gòu)回歸模型（因變量和解釋變量），用前面介紹的方式加入ar 或ma項(xiàng)。 qtqttptpttt tktkttt uuuu uxxxy 112211 2211 30 d算子被用來定義序列差分。定義一階差分，僅把序列名寫入d后的括 號。例如，d(gdp)定義gdp的一階差分，或gdp-gdp(-1)。更復(fù)雜的差分形 式可以使用兩個參數(shù) n，s。

24、d(x, n)定義序列x的n 階差分 xlnxd n )1 (),( l是滯后算子。例如：d(gdp, 2)定義了gdp的2階差分： d(gdp, 2)=gdp - 2*gdp(-1)+gdp(-2) d(x, n, s)定義序列x的n階普通差分，帶有滯后s階的季節(jié)差分： xllsnxd sn )1 ()1 (),( 例如：d(gdp, 0, 4)定義帶有滯后4階季節(jié)差分的零階普通差分，即gdp- gdp(-4)。 如果需要對數(shù)形式，可以使用dlog算子，它以對數(shù)值返回差分。例如： dlog(gdp)定義log(gdp)的一階差分，即 log(gdp)-log(gdp(-1)。 31 可以直接

25、在估計定義式中包含差分算子d。例如：gdpi(1)，即gdp是 一階單整序列。對gdp估計arima(1,1,1)模型，可以輸入列表(15_1eq_dy)： d(gdp) c ar(1) ma(1) 使用因變量差分因子d(gdp)定義模型， eviews將提供水平變量gdp的預(yù)測值。 模型中ar和ma部分應(yīng)使用關(guān)鍵詞ar和ma定義。在上面ar定義中，我們 已見過這種方法的例子。這對ma也同樣適用。 32 例如，估計一個2階自回歸和1階動平均過程arma(2,1)，應(yīng)將ar(1), ma(1), ar(2)和其它解釋變量一起包含在回歸因子列表中： y c gov ar(1) ar(2) ma(1

26、) 不必連續(xù)使用ar和ma項(xiàng)。例如想用4階季節(jié)自回歸模型來擬合季節(jié) 變化，可以僅使用ar(4)： y c gov ar(4 ) 也可僅用ma項(xiàng)來定義純動平均模型。如可以表示出殘差的ma(2)模型。 y c gov ma(1) ma(2) 在這種情況下，解釋變量將僅包含一個c加上ar，ma項(xiàng)，例如： y c ar(1) ar(2) ma(1) ma(2) 這是標(biāo)準(zhǔn)的box-jenkins arma(2, 2)模型。 33 對于帶有季節(jié)因素的季度數(shù)據(jù)，box and jenkins(1976) 建議使用季節(jié)自 回歸sar和季節(jié)動平均sma。sar(p)定義為帶有p階滯后的季節(jié)自回歸項(xiàng)。 估計中使用

27、的滯后多項(xiàng)式是ar項(xiàng)和sar項(xiàng)定義的結(jié)合。 與此類似，sma(q)定義為帶有q階滯后的季節(jié)動平均。估計中使用的滯 后多項(xiàng)式是ma項(xiàng)和sma項(xiàng)定義的結(jié)合。存在sar項(xiàng)則允許建立一個滯后多項(xiàng) 式。 例如：沒有季節(jié)項(xiàng)的2階ar過程 tttt uuu 2211 ntt n xxll , 用滯后算子 ，則上式可表示為： tt ull)1 ( 2 21 可以通過回歸自變量的ar(1)，ar(2)項(xiàng)來估計這個過程。 34 對于季度數(shù)據(jù)，可以加入sar(4)來表示季節(jié)因素，定義方程： y c x ar(1) ar(2) sar(4) 估計誤差結(jié)構(gòu)為： tt ulll)1)(1 ( 42 21 等價于 tttt

28、ttt uuuuuu 625142211 參數(shù) 和季節(jié)因素相聯(lián)系。注意：這是對系數(shù)有非線性約束的ar(6)模型。 在另一個例子中，無季節(jié)性的二階ma過程如下 , 2211 tttt u 可以通過包含ma(1)和ma(2)來估計二階ma過程。 35 對季度數(shù)據(jù)，可以添加sma(4)考慮季節(jié)性。例如定義方程： y c x ma(1 ) ma(2) sma(4) 估計模型為： tt lllu)1)(1 ( 42 21 等價于： 625142211 ttttttt u 參數(shù) 和季節(jié)因素相聯(lián)系。這是對系數(shù)有非線性約束的ma(6)模型。還可以 在方程說明中同時包括sar，sma項(xiàng)。 ttt uxy 21

29、36 含有ar或ma項(xiàng)的模型的估計輸出和ols模型一樣，只是在底部增加了一 個ar，ma多項(xiàng)式的根的倒數(shù)。如果我們利用滯后多項(xiàng)式 和 寫一般 的arma模型： )(l)(l tt lul)()( 輸出表中報告的結(jié)果相當(dāng)于下列多項(xiàng)式 0)( 1 x和0)( 1 x 如果 有絕對值大于1的實(shí)根或一對復(fù)根的逆在單位圓外（即模大于1）， 這意味著自回歸過程是發(fā)散的。如果 的根的倒數(shù)在單位圓外，說明ma過程是 不可逆的，應(yīng)使用不同的初值重新估計模型，直到得到滿足可逆性的動平均。 如果估計的ma模型的根的模接近于1，有可能是對數(shù)據(jù)差分過多，這就很難估 計和預(yù)測 。如果可能的話，應(yīng)減少差分階數(shù)重新估計。 的

30、根。這些根（可能是虛根）的模應(yīng)小于1，如果不滿足這個條件，輸出表中將 顯示警告信息。 37 38 這個arma估計輸出例子的結(jié)果對應(yīng)于如下定義： 或等同于： 注意：ma項(xiàng)的符號和教科書中的符號可能相反。倒根的模接近于1，這對 于許多宏觀經(jīng)濟(jì)序列是很典型的。 541 57. 091. 063. 0 ttt tt tt llull ur )91. 01)(63. 01 ()93. 01)(86. 01 ( 21. 7 44 ttttt rrrr 541 80. 093. 086. 007. 0 39 如前所述，帶有ar或ma的模型用非線性最小二乘法估計。非線性估計 方法對所有系數(shù)估計都要求初值。e

31、views自行確定初值。 有時當(dāng)?shù)畲笾颠_(dá)到時，方程終止迭代，盡管還未達(dá)到收斂。從前一 步初值重新開始方程，使方程從中止處開始而不是從開始處開始。也可以試 試不同的初值來保證估計是全部而不是局部平方誤差最小，可以通過提供初 值加速估計過程。 為控制arma估計初值，在方程定義對話框單擊options。在eviews提供 的選項(xiàng)中，有幾項(xiàng)設(shè)置初值的選擇。 eviews缺省方法是ols/tsls，這種方法先進(jìn)行沒有arma項(xiàng)的預(yù)備估計， 再從這些值開始非線性估計。另一選擇是使用ols或tsls系數(shù)的一部分作為 初值?？梢赃x擇0.3，0.5，0.8或者可以將所有初值設(shè)為零。 用戶確定初值選項(xiàng)是us

32、er supplied。在這個選項(xiàng)下，eviews使用c系數(shù)向 量中的值。為設(shè)置初值，雙擊圖標(biāo)，為c系數(shù)向量開一窗口，進(jìn)行編輯。 40 為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值，需對eviews如何為arma設(shè)置系數(shù)多些了解。eviews 使用c系數(shù)向量。它按下列規(guī)則為變量安排系數(shù)： 1. 變量系數(shù)，以輸入為序。 2. 定義的ar項(xiàng)，以輸入為序。 3sar，ma，sma系數(shù)（以輸入為序） 這樣，下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù) y c x ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) y sma(4 ) c ar(1) ma(2) x ma(1) 也可使用程序指令安排c向量值 param c(1) 50 c(2 )

33、 0.8 c(3) 0.2 c(4) 0.6 c(5) 0.1 c(6) 0.5 初值：常數(shù)是50， x系數(shù)的初值是0.8， ar(1)、ma(2)、ma(1)、sma(4) 系數(shù) 的初值分別是0.2 ， 0.6，0.1，0.5。 估計后，可在方程表達(dá)式representation選項(xiàng)見到系數(shù)安排。也可以從估計 方程中填寫c向量，選擇pros/update/ coefs from equations。 41 對于arma模型估計，要考慮一些問題。首先，ma模型很難估計。 特別的，應(yīng)避免高階ma，除非模型非常需要，因?yàn)樗鼈兛赡芤鸸烙嬂?難。例如，相關(guān)圖上滯后57有一個大波峰并不要求必須在模型中

34、包括 ma(57)，除非知道每57期都有特別事情發(fā)生。相關(guān)圖中的突起很可能是序 列中的一個或多個奇異值的結(jié)果。模型中含有許多ma項(xiàng)，將會喪失自由 度，并且可能犧牲估計的穩(wěn)定性和可靠性。 如果ma過程的根的模接近于1，可能會遇到估計困難。eviews會報告 在迭代到最大次數(shù)時，不能收斂或不能提高平方和，這說明可能對數(shù)據(jù)差 分過多，應(yīng)檢查序列相關(guān)圖來看是否可以減少差分階數(shù)來重新估計。 42 對arima進(jìn)行二階段最小二乘法或工具變量法沒有什么特殊困難。 eviews將估計帶有自回歸項(xiàng)的非線性最小二乘模型。 eviews目前不估計有ma誤差的非線性模型。然而，可以運(yùn)用狀態(tài)空 間方法來定義估計這些模型

35、。 eviews不會自動估計帶有arma誤差項(xiàng)的加權(quán)模型如果對一加權(quán) 模型加入ar項(xiàng)，加權(quán)序列會被忽略。 43 如果arma模型定義正確，模型殘差將為白噪聲。這意味著殘差中應(yīng)不存 在序列相關(guān)。d-w統(tǒng)計量是當(dāng)方程右邊沒有滯后變量時對一階序列相關(guān)的檢驗(yàn)。 如上所述，對殘差中序列相關(guān)更多的檢驗(yàn)可以如：view/residual tests/ corre- logram-q-statistic和view/residual tests/serial correlation lm test。 44 在經(jīng)濟(jì)分析中人們發(fā)現(xiàn)，一些經(jīng)濟(jì)變量，它們的數(shù)值是由自身的滯后量 或者其他變量的滯后量所決定的，表現(xiàn)在計量經(jīng)

36、濟(jì)模型中，解釋變量中經(jīng)常 包含某些滯后變量。以投資函數(shù)為例，分析中國的投資問題發(fā)現(xiàn)，當(dāng)年的投 資額除了取決于當(dāng)年的收入（即國內(nèi)生產(chǎn)總值）外，由于投資的連續(xù)性，它 還受到前1 個、2個、3個時期投資額的影響。已經(jīng)開工的項(xiàng)目總是要繼續(xù)下 去的，而每個時期的投資額又取決于每個時期的收入，所以可以建立如下關(guān) 于投資的計量經(jīng)濟(jì)方程 其中i 表示投資額，y 表示國內(nèi)生產(chǎn)總值。 ttttt yyyi 22110 45 對于有限滯后長度的情形，分布滯后模型的一般形式如下 tktktttt xxxy 110 系數(shù) 描述x對y作用的滯后。在模型中解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的 情況下，可以直接使用ols估計參數(shù)。但

37、是，一個顯然的問題是解釋變量之 間，即x的當(dāng)前和滯后值之間具有高度共線性，而共線性問題的一個直接后 果是參數(shù)估計量失去意義，不能揭示x的各個滯后量對因變量的影響，所以 必須尋求另外的估計方法。 可以使用多項(xiàng)式分布滯后（polynomial distributed lags , pdls）來減少 要估計的參數(shù)個數(shù)，以此來平滑滯后系數(shù)。平滑就是要求系數(shù)服從一個相對 低階的多項(xiàng)式。p 階pdls模型限制 系數(shù)服從如下形式的p階多項(xiàng)式 p pj cjcjcj)()()( 1 2 321 j = 0 , 1 , 2 , , k (15.2) (15.1) 46 是事先定義常數(shù)： c 是偶數(shù) 是奇數(shù)（ p

38、k pk c 2/ )( 2/ ) 1( pdls有時被稱為almon分布滯后模型。常數(shù) 僅用來避免共線性引起的數(shù) 值問題，不影響 的估計。這種定義允許僅使用參數(shù) p 來估計一個x 的 k 階 滯后的模型（如果 p k，將顯示“近似奇異“錯誤信息）。 定義一個pdl模型，eviews用(15.2)式代入到(15.1)式，將產(chǎn)生如下形式方 程 c tppt zzzy 112211 其中 kt p t p t p p kttt kttt xckxcxcz xckxcxcz xxxz )()1 ()( )()1 ( 11 12 11 (15.3) 47 一旦從(15.3)式估計出 ，利用(15.2)

39、式就可得到 的各系數(shù)。這一過程 很明了，因?yàn)槭?的 線性變換。定義一個pdls要有三個元素：滯后長度k， 多項(xiàng)式階數(shù)（多項(xiàng)式最高次冪數(shù)）p和附加的約束條件。 一個近端約束限制x對y一期超前作用為零： 0)1()1()1( 1 2 3211 p p ccc 一個遠(yuǎn)端約束限制x對y的作用在大于定義滯后的數(shù)目衰減： 0)1()1()1( 1 2 3211 p pk ckckck 如果限制滯后算子的近端或遠(yuǎn)端，參數(shù)個數(shù)將減少一個來解釋這種約束。 如果對近端和遠(yuǎn)端都約束，參數(shù)個數(shù)將減少二個。 eviews缺省不加任何約束。 48 通過pdl項(xiàng)定義一個多項(xiàng)式分布滯后，信息在隨后的括號內(nèi)，按下列規(guī)則 用逗號

40、隔開： 1、序列名 2、滯后長度（序列滯后數(shù)） 3、多項(xiàng)式階數(shù) 4、一個數(shù)字限制碼來約束滯后多項(xiàng)式： 1 = 限制滯后近端為零 2 = 限制遠(yuǎn)端 3 = 兩者都限制 如果不限制滯后多項(xiàng)式，可以省略限制碼。方程中可以包含多個pdl項(xiàng)。 例如： sales c pdl(y , 8 , 3 )是用常數(shù)，解釋變量y的當(dāng)前和8階分布滯后來 擬合因變量sales，這里解釋變量y的滯后系數(shù)服從沒有約束的3階多項(xiàng)式。 49 類似地， y c pdl(x , 12 , 4 , 2) 用常數(shù)，解釋變量x的當(dāng)前和12階分布滯后擬合因變量y，這里解釋變量x的 系數(shù)服從帶有遠(yuǎn)端約束的4階多項(xiàng)式。 pdl也可用于二階段最

41、小二乘法tsls。如果pdl序列是外生變量，應(yīng)當(dāng)在工 具表中也包括序列的pdl項(xiàng)。為此目的，可以定義pdl(*)作為一個工具變量，則 所有的pdl變量都將被作為工具變量使用。例如：如果定義tsls方程為 sales c inc pdl(y(-1) , 12 , 4) 使用工具變量 z z(-1) pdl(*) 則y的分布滯后和z，z(-1)都被用作工具變量。 50 三、例子三、例子 投資inv關(guān)于關(guān)于gdp的 分布滯后模型的結(jié)果如下 51 逐個觀察，inv滯后的系數(shù)統(tǒng)計上都不顯著。但總體上講回歸具有一個合 理的r2， (盡管dw統(tǒng)計量很低)。這是回歸自變量中多重共線的典型現(xiàn)象， 建議擬合一個多

42、項(xiàng)式分布滯后模型。估計一個無限制的5階多項(xiàng)式滯后模型， 輸入變量列表：log(inv) c pdl(log(gdp), 12, 5)，窗口中顯示的多項(xiàng)式估計系 數(shù)，pdl01, pdl02, pdl03 , 分別對應(yīng)方程(15.3)中z1, z 2 , 的系數(shù)。 52 方程（15.1）中的系數(shù) 在表格底部顯示。 j 表格底部的滯后值是分布滯后的估計系數(shù)值，并且在平穩(wěn)的假設(shè)下有 gdp對inv的長期影響的解釋。 53 eviews提供兩種單位根檢驗(yàn)：dickey-fuller(df)、增廣df(augmented df)檢驗(yàn)和phillips - perron（pp）檢驗(yàn)。本節(jié)提供這兩種檢驗(yàn)的一

43、些理論背 景。 為說明adf檢驗(yàn)的使用，先考慮一個ar(1)過程 ttt yy 1 是參數(shù)， 假設(shè)為白噪聲。如果-1 1，y是平穩(wěn)序列。如果 =1， y是 非平穩(wěn)序列（帶漂移的隨機(jī)游動）。如果這一過程在某一點(diǎn)開始， y的方差隨 時間增長趨于無窮。如果 的絕對值大于1，序列發(fā)散。因此，一個序列是否平 穩(wěn)，可以檢驗(yàn) 是否嚴(yán)格小于1。df和pp都用單位根作為原假設(shè)， 。 因?yàn)榘l(fā)散序列沒有經(jīng)濟(jì)學(xué)含義，所以備選假設(shè)為單邊假設(shè) 。 , t 1: 0 h 1: 1 h （15.4） 54 從方程兩邊同時減去 1t y ttt yy 1 其中 1 所以原假設(shè)和備選假設(shè)可改為 0: 0: 1 0 h h （15

44、.5） 單位根檢驗(yàn)可以看作對 進(jìn)行t 檢驗(yàn)。對于（15.5）可使用常規(guī)的ols方法 得到 的估計量和t統(tǒng)計量(即系數(shù)的估計量除以其標(biāo)準(zhǔn)偏差)，但是這時t統(tǒng)計量 不再漸近正態(tài)，甚至不對稱。dickey和fuller(1979)通過蒙特卡洛方法研究發(fā)現(xiàn)， 檢驗(yàn) 的統(tǒng)計量的臨界值依賴于回歸的形式(是否引進(jìn)了常數(shù)項(xiàng)和趨勢項(xiàng))， 并且和樣本長度n有關(guān)，一般臨界值隨著n的增大而減小。t 統(tǒng)計量在原假設(shè)下不 具有一般 t 分布。dickey和fuller對選擇的樣本序列模擬了臨界值，近年來 mackinnon又進(jìn)行了更大規(guī)模的模擬，允許d-f計算的臨界值適用于任何樣本和 任何數(shù)目的右邊變量。eviews為單

45、位根檢驗(yàn)提供了這些臨界值。 0 （15.6） 55 上面描述的簡單單位根檢驗(yàn)稱為df檢驗(yàn)，該檢驗(yàn)只有當(dāng)序列為ar(1)時才 有效。如果序列存在高階滯后相關(guān)，這就違背了擾動項(xiàng)是白噪聲的假設(shè)。adf 和pp檢驗(yàn)使用不同的方法來控制高階序列相關(guān)。 adf方法通過在回歸方程右邊加入因變量y的滯后差分項(xiàng)來控制高階相關(guān) ptptttt yyyy 1111 擴(kuò)展定義將檢驗(yàn) 0: 0: 1 0 h h eviews將df，adf檢驗(yàn)都看成為adf檢驗(yàn)。adf檢驗(yàn)考慮如下三種回歸 形式： t p i ititt yyy 1 1 t p i ititt ytayay 1 210 t p i ititt yyay

46、1 10 56 通過在模型中增加的滯后項(xiàng)來消除殘差的序列相關(guān)性 。eviews在檢驗(yàn)回 歸時,詢問是否包含有其它外生變量，即上面三種形式：包含截距，即常數(shù)項(xiàng)， 包含截距和線性趨勢項(xiàng)，或兩者都不包含。 如果序列含有趨勢（確定的或隨機(jī)的），序列回歸中應(yīng)既有常數(shù)又有趨勢。 如果序列沒有表現(xiàn)任何趨勢且有非零均值，回歸中應(yīng)僅有常數(shù)。如果序列在零 均值波動，檢驗(yàn)回歸中應(yīng)既不含有常數(shù)又不含有趨勢。 phillips和perron（1988）提出一種非參數(shù)方法來控制序列中高階序列相關(guān)。 對ar(1)的pp檢驗(yàn)為： ttt yy 1 57 adf檢驗(yàn)通過在方程右邊添加滯后差分項(xiàng)來修正高階序列相關(guān)。pp檢驗(yàn)參 數(shù)的t 統(tǒng)計量來修正ar(1)的序列相