一元二次方程應(yīng)用題經(jīng)典題型匯總含答案35711學(xué)習(xí)資料

1、一元二次方程應(yīng)用題經(jīng)典題型匯總含答案35711一元二次方程應(yīng)用題經(jīng)典題型匯總同學(xué)們知道，學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法以后，就會(huì)經(jīng)常遇到解決與一元二次方程有關(guān)的生活中的應(yīng)用問題，即列一元二次方程解應(yīng)用題，不少同學(xué)遇到這類問題總是左右為難，難以下筆，事實(shí)上，同學(xué)們只要能認(rèn)真地閱讀題目，分析題意，并能學(xué)會(huì)分解題目，各個(gè)擊破，從而找到已知的條件和未知問題，必要時(shí)可以通過畫圖、列表等方法來幫助我們理順已知與未知之間的關(guān)系，找到一個(gè)或幾個(gè)相等的式子，從而列出方程求解，同時(shí)還要及時(shí)地檢驗(yàn)答案的正確性并作答 .現(xiàn)就列一元二次方程解應(yīng)用題中遇到的常見的十大典型題目，舉例說明.一、增長率問題例1恒利商廈九月份的銷售額

2、為200 萬元，十月份的銷售額下降了份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達(dá)到了個(gè)月的平均增長率 .20% ，商廈從十一月193.6 萬元，求這兩解設(shè)這兩個(gè)月的平均增長率是x .，則根據(jù)題意，得200(1 20%)(1+ x)2 193.6 ，即(1+ x)2 1.21 ，解這個(gè)方程，得 x 1 0.1 ，x2 2.1 （舍去） .答這兩個(gè)月的平均增長率是10%.說明這是一道正增長率問題，對(duì)于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數(shù)和問題中每一個(gè)數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+ x)2 n求解，其中m n.對(duì)于負(fù)的增長率問題，若經(jīng)過兩次相等下降后，則有公式m (1 x)2 n 即

3、可求解，其中m n .二、商品定價(jià)例2益群精品店以每件 21 元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià) a 元，則可賣出（ 350 10 a）件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤不得超過20% ，商店計(jì)劃要盈利 400 元，需要進(jìn)貨多少件？每件商品應(yīng)定價(jià)多少？解根據(jù)題意，得(a21)(350 10a) 400 ，整理，得a2 56 a+7750 ，解這個(gè)方程，得 a1 25 ，a2 31.因?yàn)?21 (1+20%) 25.2 ，所以 a2=31 不合題意，舍去 .所以 350 10a350 10 25 100 （件） .答需要進(jìn)貨 100 件，每件商品應(yīng)定價(jià) 25 元.說明商品的定價(jià)

4、問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點(diǎn).三、儲(chǔ)蓄問題例3王紅梅同學(xué)將 1000 元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行 ” ，到期后將本金和利息取出，并將其中的500 元捐給 “希望工程 ”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90% ，這樣到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款時(shí)的年利率 .（假設(shè)不計(jì)利息稅）解設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x .則根據(jù)題意，得 1000(1+ x) 500(1+0.9 x)530. 整理，得 90x2 +145 x 3 0.解這個(gè)方程，得 x 1 0.0204 2.04% ，x2 1.63. 由于存款利率不

5、能為負(fù)數(shù)，所以將x2 1.63 舍去 .答第一次存款的年利率約是2.04%.說明這里是按教育儲(chǔ)蓄求解的，應(yīng)注意不計(jì)利息稅.四、趣味問題例4一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)城，橫著怎么也拿不進(jìn)去，量竹竿長比城門寬4米，旁邊一個(gè)醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進(jìn)去啦，結(jié)果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請(qǐng)教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對(duì)角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進(jìn)城，你知道竹竿有多長嗎？解設(shè)渠道的深度為xm ，那么渠底寬為 (x +0.1)m ，上口寬為 (x +0.1+1.4)m.則根據(jù)題意，得(x+0.1+ x+1.4+0.1) x1.8 ，整理，得 x2 +0.8 x 1.8 0.

6、解這個(gè)方程，得 x 1 1.8 （舍去）， x2 1.所以 x+1.4+0.1 1+1.4+0.1 2.5.答渠道的上口寬 2.5m ，渠深 1m.說明求解本題開始時(shí)好象無從下筆，但只要能仔細(xì)地閱讀和口味，就能從中找到等量關(guān)系，列出方程求解 .五、古詩問題例5讀詩詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡）.大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符；哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？解設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x ，則十位數(shù)字為 x3.則根據(jù)題意，得 x 2 10( x3)+ x，即 x 2-11x+30 0 ，解這個(gè)方程，得x 5或

7、x 6.當(dāng) x 5時(shí)，周瑜的年齡 25 歲，非而立之年，不合題意，舍去；當(dāng) x 6時(shí)，周瑜年齡為 36 歲，完全符合題意 .答周瑜去世的年齡為 36 歲.說明本題雖然是一道古詩問題，但它涉及到數(shù)字和年齡問題，通過求解同學(xué)們應(yīng)從中認(rèn)真口味 .六、象棋比賽例6象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記 0 分.如果平局，兩個(gè)選手各記1 分，領(lǐng)司有四個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了中全部選手的得分總數(shù)，分別是1979 ，1980 ，1984 ，1985. 經(jīng)核實(shí)，有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無誤.試計(jì)算這次比賽共有多少個(gè)選手參加.解設(shè)共有 n 個(gè)選手參加比賽，每個(gè)選手都要與(n 1)個(gè)選手比賽一局，共計(jì)n

8、(n 1)局，但兩個(gè)選手的對(duì)局從每個(gè)選手的角度各自統(tǒng)計(jì)了一次，因此實(shí)際比賽總局?jǐn)?shù)應(yīng)為n (n 1) 局 .由于每局共計(jì) 2 分，所以全部選手得分總共為 n(n 1) 分 .顯然 (n 1) 與 n 為相鄰的自然數(shù)，容易驗(yàn)證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0 ，2，6 ，故總分不可能是1979 ，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n1) 1980 ，得n2 n 1980 0，解得n 1 45 ，n 2 44 （舍去） .答參加比賽的選手共有45人.說明類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈(zèng)賀年片等問題，都可以仿照些方法求解 .七、情景對(duì)話例7春秋旅行社為吸引市民組團(tuán)去天

9、水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如圖1對(duì)話中收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費(fèi)用27000元 .請(qǐng)問該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游？解設(shè)該單位這次共有x 名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.因?yàn)?1000 25 25000 27000 ，所以員工人數(shù)一定超過 25 人.則根據(jù)題意，得 1000 20( x 25) x27000.整理，得 x 2 75x+1350 0 ，解這個(gè)方程，得x1 45 ，x2 30.當(dāng) x 45 時(shí)， 1000 20( x 25) 600 700 ，故舍去 x1 ；當(dāng) x 2 30 時(shí)， 1000 20( x25) 900 700 ，符合題意

10、.答：該單位這次共有 30 名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.說明求解本題要時(shí)刻注意對(duì)話框中的數(shù)量關(guān)系，求得的解還要注意分類討論，從中找出符合題意的結(jié)論 .八、等積變形例8將一塊長 18 米，寬 15 米的矩形荒地修建成一個(gè)花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二 .（精確到 0.1m ）（1）設(shè)計(jì)方案 1 （如圖 2 ）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.（2）設(shè)計(jì)方案 2 （如圖 3 ）花園中每個(gè)角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請(qǐng)計(jì)算出圖 2中的小路的寬和圖 3 中扇形的半徑；若不能符合條件，請(qǐng)說明理由.解都能 .（1 ）設(shè)小路寬為 x ，則 18 x+16 x x

11、 2 18 15 ，即 x2 34 x+180 0 ，解這個(gè)方程，得 x ，即 x6.6.（）設(shè)扇形半徑為2，即257.32，所以 r7.6.2r ，則 3.14 r18 15r說明等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，但重量不變，等等 .九、動(dòng)態(tài)幾何問題例9如圖 4 所示，在 ABC 中， C90?/SPAN ，AC 6cm ， BC 8cm ，點(diǎn) P 從點(diǎn)A 出發(fā)沿邊 AC 向點(diǎn) C 以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q 從 C 點(diǎn)出發(fā)沿 CB 邊向點(diǎn) B 以 2cm/s 的速度移動(dòng) .（1）如果 P、Q 同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使 PCQ 的面積為 8

12、平方厘米？（2）點(diǎn)、Q在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得 PCQ的面積等于 ABC的面P積的一半 .若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說明理由.解因?yàn)?C90?/SPAN ，所以 AB 10 （cm ） .（1）設(shè) xs 后，可使 PCQ 的面積為 8cm 2，所以 AP xcm ，PC(6 x)cm ，CQ 2xcm.則根據(jù)題意，得(6 x)2x8.整理，得 x26x+8 0，解這個(gè)方程，得 x1 2，x 2 4.所以P、Q 同時(shí)出發(fā)， 2s 或 4s 后可使 PCQ 的面積為 8cm2 .（2）設(shè)點(diǎn) P 出發(fā) x 秒后， PCQ 的面積等于 ABC 面積的一半 .則根據(jù)題意，得(6x)2

13、x 68.整理，得 x2 6x+12 0.由于此方程沒有實(shí)數(shù)根，所以不存在使PCQ 的面積等于 ABC 面積一半的時(shí)刻 .說明本題雖然是一道動(dòng)態(tài)型應(yīng)用題，但它又要運(yùn)用到行程的知識(shí)，求解時(shí)必須依據(jù)路程速度 時(shí)間 .十、梯子問題例10一個(gè)長為 10m 的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.（1）若梯子的頂端下滑 1m ，求梯子的底端水平滑動(dòng)多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑動(dòng)1m ，梯子的頂端滑動(dòng)多少米？（3）如果梯子頂端向下滑動(dòng)的距離等于底端向外滑動(dòng)的距離，那么滑動(dòng)的距離是多少米？解依題意，梯子的頂端距墻角 8（ m ）.（1）若梯子頂端下滑 1m ，則頂端距地面 7m. 設(shè)梯子底端滑動(dòng) x

14、m.則根據(jù)勾股定理，列方程7 2+(6+ x)2 10 2，整理，得 x2+12 x 15 0，解這個(gè)方程，得 x 1 1.14 ，x2 13.14 （舍去），所以梯子頂端下滑 1m ，底端水平滑動(dòng)約 1.14m.（2）當(dāng)梯子底端水平向外滑動(dòng)1m 時(shí)，設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程(8x)2+(6+1) 2 100. 整理，得 x2 16 x+13 0.解這個(gè)方程，得 x 1 0.86 ，x2 15.14 （舍去） .所以若梯子底端水平向外滑動(dòng)1m ，則頂端下滑約 0.86m.（3）設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm 時(shí)，底端向外也滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程 (8 x)2+(6+ x

15、)210 2 ，整理，得 2x24x0 ，解這個(gè)方程，得 x 1 0（舍去）， x2 2.所以梯子頂端向下滑動(dòng) 2m 時(shí)，底端向外也滑動(dòng) 2m.說明求解時(shí)應(yīng)注意無論梯子沿墻如何上下滑動(dòng)，梯子始終與墻上、地面構(gòu)成直角三角形.十一、航海問題例 11 如圖 5所示，我海軍基地位于 A 處，在其正南方向 200 海里處有一重要目標(biāo) B，在 B 的正東方向 200 海里處有一重要目標(biāo) C，小島 D 恰好位于 AC 的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭；小島F 位于 BC 上且恰好處于小島D 的正南方向，一艘軍艦從A 出發(fā)，經(jīng) B 到 C 勻速巡航一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D 出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍

16、艦 .（1）小島 D 和小島 F 相距多少海里？（2）已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B 到 C 的途中與補(bǔ)給船相遇于E 處，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？（精確到0.1 海里）解（ 1）F 位于 D 的正南方向，則DFBC.因?yàn)?AB BC，D 為 AC 的中點(diǎn)，所以 DFAB 100 海里，所以，小島D 與小島 F 相距 100 海里 .（2）設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了x 海里，那么 DEx 海里， AB+ BE 2x 海里， EFAB+ BC(AB+ BE) CF (300 2x)海里 .在 Rt DEF 中，根據(jù)勾股定理可得方程x2 100 2 +(300 2x)2，整理，得 3x2

17、 1200 x+100000 0.解這個(gè)方程，得 x 1 200 118.4 ，x2 200+（不合題意，舍去） .所以，相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了118.4 海里 .說明求解本題時(shí)，一定要認(rèn)真地分析題意，及時(shí)發(fā)現(xiàn)題目中的等量關(guān)系，并能從圖形中尋找直角三角形，以便正確運(yùn)用勾股定理布列一元二次方程.十二、圖表信息例12如圖 6 所示，正方形 ABCD 的邊長為 12 ，劃分成 12 12 個(gè)小正方形格，將邊長為n（n 為整數(shù)，且 2n 11 ）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地?cái)[放，第一張n n 的紙片正好蓋住正方形ABCD 左上角的 nn 個(gè)小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好

18、為 (n 1) (n 1) 個(gè)小正方形 .如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形ABCD 的右下角為止 .請(qǐng)你認(rèn)真觀察思考后回答下列問題：（1）由于正方形紙片邊長n 的取值不同， ?完成擺放時(shí)所使用正方形紙片的張數(shù)也不同，請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚杭埰倪呴Ln23456使用的紙片張數(shù)（2）設(shè)正方形 ABCD 被紙片蓋住的面積（重合部分只計(jì)一次）為S1 ，未被蓋住的面積為 S2.當(dāng) n 2時(shí)，求 S1 S2的值；是否存在使得 S1 S2 的 n 值？若存在，請(qǐng)求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由.解（ 1）依題意可依次填表為：11 、10 、9、8 、7.（2）S1n 2 +(12 n)n 2(n 1) 2 n 2+25

19、n 12.當(dāng) n 2時(shí)， S1 22+25 212 34 ，S2 12 12 34 110.所以 S1S234 110 17 55.若 S1 S2，則有 n2 +25 n 12 12 2，即 n 2 25 n+84 0，解這個(gè)方程，得 n 1 4， n 221 （舍去） .所以當(dāng) n 4時(shí)， S1 S2.所以這樣的 n 值是存在的 .說明求解本題時(shí)要通過閱讀題設(shè)條件及提供的圖表，及時(shí)挖掘其中的隱含條件，對(duì)于求解第（ 3 ）小題，可以先假定問題的存在，進(jìn)而構(gòu)造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根來加以判斷.十三、探索在在問題例13將一條長為 20cm 的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長

20、度為周長做成一個(gè)正方形.（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm 2 ，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少 ?（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm 2嗎 ? 若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請(qǐng)說明理由 .解（ 1）設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm ，則另一段為（ 20 x）cm.則根據(jù)題意，得+17 ，解得 x1 16 ，x2 4 ，當(dāng) x16 時(shí)， 20 x4，當(dāng) x 4時(shí)， 20 x16 ，答 這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是 4cm 和16cm.（ 2）不能 .理由是：不妨設(shè)剪成兩段后其中一段為ycm ，則另一段為（ 20 y）cm. 則由題意得+12 ，整理，得 y 2 20

21、y+104 0，移項(xiàng)并配方，得 (y 10) 2 40 ，所以此方程無解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm 2 .說明本題的第（ 2）小問也可以運(yùn)用求根公式中的b 2 4ac 來判定 .若 b 2 4ac 0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若b 2 4 ac0，方程沒有實(shí)數(shù)根，本題中的b 2 4 ac 16 0即無解 .十四、平分幾何圖形的周長與面積問題例14如圖 7 ，在等腰梯形 ABCD 中， AB DC 5 ，AD 4 ，BC10. 點(diǎn) E?在下底邊 BC上，點(diǎn) F 在腰 AB 上.（1）若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周長，設(shè) BE 長為 x ，試用含 x 的代數(shù)式表示 BEF 的面積；（2

22、）是否存在線段EF 將等腰梯形 ABCD 的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）是否存在線段EF 將等腰梯形 ABCD 的周長和面積同時(shí)分成 12 的兩部分？若存在，求此時(shí) BE 的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.解（ 1 ）由已知條件得，梯形周長為12 ，高 4 ，面積為 28.過點(diǎn) F 作 FGBC 于 G，過點(diǎn) A 作 AKBC 于 K.則可得， FG4 ，所以 SBEFBEFGx 2+x（7 x10 ）.（2）存在 .由（ 1）得x2+x14 ，解這個(gè)方程，得x1 7，x 2 5（不合題意，舍去），所以存在線段 EF 將等腰梯形 ABCD 的周長與面積同時(shí)平分，此時(shí)BE7.（3）不存在 .假設(shè)存在，顯然有SBEFS 多邊形 AFECD 12 ，即(BE+ BF)(AF+ AD + DC) 1 2.則有x2 +x，整理，得 3x 2 24 x+70 0 ，此時(shí)的求根公式中的b 2 4ac576 840 0，所以不存在這樣的實(shí)數(shù)x .即不存在線段 EF 將等腰梯形 ABCD 的周長和面積同時(shí)分成12的兩部分 .說明求解本題時(shí)應(yīng)注意：一是要能正確確定x 的取值范圍；二是在求得x2 5時(shí)，并不屬于 7 x 10 ，應(yīng)及時(shí)地舍去；三是處理第（3）個(gè)問題時(shí)的實(shí)質(zhì)是利用一元二次方程