灰度預(yù)測模型詳解舉例分析

1、灰色系統(tǒng)預(yù)測重點內(nèi)容：灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生和發(fā)展動態(tài)，灰色系統(tǒng)的基 本概念，灰色系統(tǒng)與模糊數(shù)學(xué)、黑箱方法的區(qū)別，灰色系統(tǒng)預(yù)測 GM( 1, 1)模型,GM( 1, N)模型，灰色系統(tǒng)模型的檢驗，應(yīng)用 舉例。1灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生和發(fā)展動態(tài)1982鄧聚龍發(fā)表第一篇中文論文灰色控制系統(tǒng)標(biāo)志著灰 色系統(tǒng)這一學(xué)科誕生。1985灰色系統(tǒng)研究會成立，灰色系統(tǒng)相關(guān)研究發(fā)展迅速。1989海洋出版社出版英文版灰色系統(tǒng)論文集，同年，英文 版國際刊物灰色系統(tǒng)雜志正式創(chuàng)刊。目前，國際、國內(nèi)200多種期刊發(fā)表灰色系統(tǒng)論文，許多國際會議把灰色系統(tǒng)列為討論 專題。國際著名檢索已檢索我國學(xué)者的灰色系統(tǒng)論著 500多次。 灰色系統(tǒng)

2、理論已應(yīng)用范圍已拓展到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會、經(jīng)濟、能 源、地質(zhì)、石油等眾多科學(xué)領(lǐng)域，成功地解決了生產(chǎn)、生活和科 學(xué)研究中的大量實際問題，取得了顯著成果。2灰色系統(tǒng)的基本原理2.1灰色系統(tǒng)的基本概念我們將信息完全明確的系統(tǒng)稱為白色系統(tǒng)，信息未知的系統(tǒng) 稱為黑色系統(tǒng)，部分信息明確、部分信息不明確的系統(tǒng)稱為灰色 系統(tǒng)。系統(tǒng)信息不完全的情況有以下四種：1. 元素信息不完全2. 結(jié)構(gòu)信息不完全3. 邊界信息不完全4. 運行行為信息不完全2.2灰色系統(tǒng)與模糊數(shù)學(xué)、黑箱方法的區(qū)別 主要在于對系統(tǒng)內(nèi)涵與外延處理態(tài)度不同； 研究對象內(nèi)涵與外延的性質(zhì)不同。 灰色系統(tǒng)著重外延明確、內(nèi)涵不明確的對象，模糊數(shù)學(xué)著重外延 不

3、明確、內(nèi)涵明確的對象?！昂谙洹狈椒ㄖ叵到y(tǒng)外部行為數(shù)據(jù)的處理方法，是因果關(guān)系的兩戶方法，使揚外延而棄內(nèi)涵的處理方法，而灰色系統(tǒng)方法是外 延內(nèi)涵均注重的方法。2.3灰色系統(tǒng)的基本原理公理1:差異信息原理?！安町悺笔切畔ⅲ残畔⒈赜胁町?。 公理2:解的非唯一性原理。信息不完全，不明確地解是非唯一的。公理3:最少信息原理?；疑到y(tǒng)理論的特點是充分開發(fā)利用已有 的“最少信息”。公理4：認(rèn)知根據(jù)原理。信息是認(rèn)知的根據(jù)。公理5：新信息優(yōu)先原理。新信息對認(rèn)知的作用大于老信息。 公理6：灰性不滅原理。“信息不完全”是絕對的。2.4灰色系統(tǒng)理論的主要內(nèi)容灰色系統(tǒng)理論經(jīng)過10多年的發(fā)展，已基本建立起了一門新興 學(xué)

4、科的結(jié)構(gòu)體系，其主要內(nèi)容包括以“灰色朦朧集”為基礎(chǔ)的理 論體系、以晦澀關(guān)聯(lián)空間為依托的分析體系、以晦澀序列生成為 基礎(chǔ)的方法體系，以灰色模型（G, M）為核心的模型體系。以系 統(tǒng)分析、評估、建模、預(yù)測、決策、控制、優(yōu)化為主體的技術(shù)體 系?；疑P(guān)聯(lián)分析灰色統(tǒng)計灰色聚類3灰色系統(tǒng)預(yù)測模型灰色預(yù)測方法的特點表現(xiàn)在：首先是它把離散數(shù)據(jù)視為連續(xù) 變量在其變化過程中所取的離散值，從而可利用微分方程式處理 數(shù)據(jù)；而不直接使用原始數(shù)據(jù)而是由它產(chǎn)生累加生成數(shù)，對生成 數(shù)列使用微分方程模型。這樣，可以抵消大部分隨機誤差，顯示 出規(guī)律性。3.1灰色系統(tǒng)理論的建模思想下面舉一個例子，說明灰色理論的建模思想?？紤] 4個

5、數(shù)據(jù),記為 X (0)(1), X (0)(2), X (0)(3), X(0)，其數(shù)據(jù)見下表:序號1234符號X(0)(1)X(0)X(0)X(0)數(shù)據(jù)121.53將上表數(shù)據(jù)作圖得X上圖表明原始數(shù)據(jù)X(0)沒有明顯的規(guī)律性，其發(fā)展態(tài)勢是擺動 的。如果將原始數(shù)據(jù)作累加生成，記第 K個累加生成為X(K),并 且，X=x(0)=1X (2) = X(0) X(0)(2) =1 2=3X (3) =X(0)(1)X(0)(2)X(0) (3) =12 1.5 = 4.5X (4) =X(0)(1)X(0)(2)X(0) (3) X(0)-12 1.5 3=7.5得到數(shù)據(jù)如下表所示序號1234符號(1

6、)X (1)(1)X (2)(1)X (3)(1)X數(shù)據(jù)134.57.53.2灰色系統(tǒng)預(yù)測模型建立1. 數(shù)列預(yù)測GM (1, 1)模型灰色系統(tǒng)理論的微分方程成為 Gm模型，G表示gray (灰色), m表示model (模型)，Gm( 1，1)表示1階的、1個變量的微分 方程模型。Gm( 1，1)建模過程和機理如下： 記原始數(shù)據(jù)序列x(0)為非負(fù)序列X(。)= 0(。h2 ), x&),./汗)其中，x(o)(k) _0,k=1,2,L ,n 其相應(yīng)的生成數(shù)據(jù)序列為XX(1)=M1 ),小2),小3),.,從鮎) 其中，x(k)=f x(o)(i),k =1,2,L ,nz為X的緊鄰均值生成序

7、列Z(z(1),z(1 )(2),L ,z(1) (n)1 其中，Z (k) =0.5x(k) 0.5x (k-1),k =1,2,L n 稱x(o)(k) az(k)二b為Gm(1,1)模型，其中a，b是需要通過建 模求解的參數(shù)，若a=(a,b)-為參數(shù)列，且(2),L ,x(00) (n)- x?(0) (n)x(0)(2)- z(1()1)(2) 1Y,Z1|(o)M-z(13 1X (nk-z(1)(5)則求微分方程x(0)(k) az(1)(kb的最小二乘估計系數(shù)列，滿足T _A Ta = (B B) B Y稱dx ax(1) =b為灰微分方程，x(0)(k) az(k) =b的白化

8、方程, dt也叫影子方程。如上所述，則有(1)1白化方程dx ax(1)二b的解或稱時間響應(yīng)函數(shù)為dtx?(t) =(x(0) -beba a2.Gm(1,1)灰微分方程x(0)(k) az(1)(kb的時間響應(yīng)序列為x?(1)(k 1) =(x(0) -b )e環(huán) b,k =1,2,L ,na a3取 x(O)=x(0)(1)，則x?(k 1) (x(1) -b )評 b,k =1,2丄，na a4.還原值?(0) (k 1) = 0(k 1?(1)(k),k =1,2,L , n2. 系統(tǒng)綜合預(yù)測GM( 1，N)模型P1344灰色系統(tǒng)模型的檢驗定義1.設(shè)原始序列(0) / (0) (0)

9、(0)X(1),x ,L ,x (n) /相應(yīng)的模型模擬序列為X?(0) =S0)(1),x?(0)(2),L ,o0)(n)殘差序列l(wèi)x (1)；W(1), ；(2),L ；(n)1 = x(0)(1) 相對誤差序列= 丄 k n 11. 對于kv n,稱蟲k = 一補k)為k點模擬相對誤差，稱x(0)(k)小眷l|為濾波相對誤差，稱瓦=4氐為平均模擬相對誤差；|x()(n)|n 匕2. 稱1二為平均相對精度，1 一 .訂為濾波精度；3. 給定當(dāng)T ：:.,且.):成立時，稱模型為殘差合格模型。定義2設(shè)X(0)為原始序列，x?(0)為相應(yīng)的模擬誤差序列，；為x(0)與 (0)的絕對關(guān)聯(lián)度，若

10、對于給定的，則稱模型為關(guān)聯(lián)合 格模型。定義3設(shè)X(0)為原始序列，X?(0)為相應(yīng)的模擬誤差序列，J0)為殘差 序列。-遼x(0) (k)為X(0)的均值，xk 1nS12 / - (x(0)(k)T2為 X(0)的方差,n k4n ； (k)為殘差均值， n k壬S2 =丄 (； (k) J )2為殘差方差，n心1. 稱c二蘭為均方差比值；對于給定的C0 0，當(dāng)c ： C0時，稱模S1型為均方差比合格模型。2. 稱p = pQg(k)-耳V0.6745S1 )為小誤差概率，對于給定的p0,當(dāng) p P0時，稱模型為小誤差概率合格模型。精度檢驗等級參照表f指標(biāo)臨界性精度等級相對誤差關(guān)聯(lián)度均方差比

11、值小誤差概率一級0.010.900.350.95二級0.050.800.500.80三級0.100.700.650.70四級0.200.600.800.60般情況下，最常用的是相對誤差檢驗指標(biāo)5應(yīng)用舉例例1設(shè)原始序列X 八x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5)1=：2874,3.278,3.337,3.390,3.679建立Gm(1,1)模型，并進行檢驗。解：1)對 X(0)作 1-AGO,得D為X的一次累加生成算子，記為1-AGO，A cumulatedGen erat in g OperatorX(1) = x(1),x(2),x(3), X(1)(

12、4),X(1)(5)2.874,6.152,9.489,12.579,16.5582)對X(1)作緊鄰均值生成，令 Z (k) 0.5x(k) 0.5x(1) (k -1)Z 譏(1), z(2), z(3), z(4), z(5)二 2.874,4.513,7.820,11.84,14.718于是，B5)-4.513 B =二仲1- 11 1，x.|L(4)4.7181-7.820 -11.184Xx)(23)27 13.337(0)- 3.390x(-3.6790-14.71)81. 1-7.8201 1 1 1 .-11.84 38 235-4.513 14.71811(B B)4 =4

13、6655i2 106552371_|423230.969 38.235 423.221 |423.221 J38.235 II-14II召=(B B)丄 B Y二 0.017318 0J655424.513 -7.820 -11.184c，ccccf110.1665542 1.832371 -1 14.718 . 3.337113.390_3.679二 .Q85280 0.037833 - O.Q29053-0.0893441 |33337310.604076 3.3903.6793）確定模型dx（1）dt-0.037156X-3.065318及時間響應(yīng)式x?(1)(k 1) =(x(0)(1

14、)/ ba a85.3728e.37156k -82.49864)求X(1)的模擬值攵=収？,&1)(2), ?(1) (3), ?(4), ?1)=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)5)還原出X(0)的模擬值，由 ?(0) (k+1) =0(k+1)(k)得 只(0)=収?(0) (1), x?(0) (2), x嚴(yán)(3), x?0) (4), x?(5)=(2.8740, 3.2318, 3.3541, 3.4811, 3.6128)6 ）誤差檢驗序號實際數(shù)據(jù)模擬數(shù) 據(jù)殘差相對誤差(0) / k )(x (k)欽k) = x(0)(k) x糾(k)

15、k =鞏k) x(0) (k)23.2783.23180.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%殘差平方和s = ； ； - ；(2)1-(2) 名e b(3) F l一0.0462 1-10.0462 -0.0171 -0.0911 0.0662】 -。綁1I 0.0662 一=0.0151085平均相對誤差,1y5lk 二(1.41% 0.51% 2.69% 1.80%)k 144_= 1.0625%計算X與刃的灰色關(guān)聯(lián)度t (x(k)-x(1)+1(x(5)-x(1)

16、2k=2=(3.278 2.874) + (3.337 2.874) + (3.390 2.874) + * (3.679 2.874)彳0.404 0.463 0.516 0.4025= 1.7855冷乞(x?k)x?1)1+ (x?5)*彳1一 2k=2=3.2312.874(3.3542.874(3.4812.8741(3.6122.874：= |0.3578 0.4801 0.6071 0.3694= 1.8144-S =t【(x(k) - x(1) - (X(k) - X(1)】1 2【(x(5) - x(1) - g5) - 01)】kz21=(0.3578 -0.404) + (

17、0.4801 - 0.463) + (0.6071 - 0.516) + ? (0.3694 - 0.4025)=| - 0.0462 0.0171 0.091-0.01655=0.0453511 +1.7855 + 1.81444.5999g * 一+|S| + S?書-S1 +1.7855 + 1.8144 + 0.04535 4.64525=0.9902 0.90精度為一級，可以用? (k 185.3728e0037156k -82.4986? (k 1) =0)(k 1) X(k)預(yù)測。例2某大型企業(yè)1997-2000年四年產(chǎn)值資料年份199719981992000產(chǎn)值(萬元)27260295473241135388試建立Gm(1,1)模型的白化方程及時間響應(yīng)式，并對 Gm(1,1) 模型進行檢驗，預(yù)測該企業(yè)2001-2005年產(chǎn)值。解：設(shè)時間序列為(0)2600290547,(624；1, 35388),(1),x (2),x (3),x(1)(4)二 27260,56807,89218,1246062)對X作緊鄰均值生成，令 Z(1) (k) =0.5x(1)(k) 0.5x(1) (k -1) Z = 0.90精度為一級，關(guān)聯(lián)度為一級，可以用f ? (k +1) =7.6阿 _5.93x(0)(k 1) x(1)(k 1)