【W(wǎng)ord版導(dǎo)學(xué)案】學(xué)案77

1、A % H魅亶東方工咋愛(ài)樓2備棵紐劇冷學(xué)案77不等式選講（二）證明不等式的基本方法導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法2會(huì)用比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法證明比較簡(jiǎn)單的不等式.東方工昨莖核2 備課紐制作1 .三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式：如果a , b ,c0 ,那么，當(dāng)且僅當(dāng) a= b = c時(shí)等號(hào)成立.2. 基本不等式(基本不等式的推廣)：對(duì)于n個(gè)正數(shù)ai, a2,，an,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即才* “ ai a2 - - n,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.3. 二維形式的柯西不等式及推論：若 a, b, c, d都是實(shí)數(shù)，則(a2

2、+ b2)(c2 + d2)(ac + bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad= bc時(shí)等號(hào)成立；-a2 + b2 , c2 + d2 |ac+ bd|,當(dāng)且僅當(dāng)ad= bc時(shí)等號(hào) 成立；，a2 + b2，c2 + d2 |ac|+ |bd|,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.4. 證明不等式的常用五種方法(1)比較法：比較法是證明不等式最基本的方法，具體有作差比較和作商比較兩種，其 基本思想是 與0比較大小或 與1比較大小.綜合法：從已知條件出發(fā)，禾U用定義、 、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫綜合法.也叫順推證法或由因?qū)Ч?(3) 分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的 條件，直

3、至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí) (定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等 )，從而得出要證 的命題成立為止，這種證明方法叫分析法.也叫逆推證法或執(zhí)果索因法.(4) 反證法 反證法的定義先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法. 反證法的特點(diǎn)先假設(shè)原命題不成立，再在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)等矛盾.(5) 放縮法 定義：證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式

4、中的某些部分的值 或,簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法. 思路：分析觀察證明式的特點(diǎn)，適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵.東方工昨莖核2備裸紐制件I H XCX1.已知M = a2+ b2, N= ab+ a + b 1,貝V M , N的大小關(guān)系為（ A.2.A.C.MNB . Mb 0,pw qB.pND. MwNp = . a , b, q = a b,那么（ p qq大小關(guān)系不定3 .若a、b、c、d、x、y均是正實(shí)數(shù),I b d且 P = Vab Vcd, Q =ax+cy、j j+則（B . P Q4.已知 ab0, n N*,則使不等式B. 8C. 10C. P w

5、 Q4a2 n 成立的b2 abD . 16PQn的最大值為（）5. （2011南陽(yáng)月考）已知a, b, c0,且 a+ bc,設(shè) M =4h+4,N=攔,則與N的大小關(guān)系是東方工咋愛(ài)樓2備棵紐劇冷A % H魅亶1東方工昨畫(huà)核2備課紐制作探究點(diǎn)一比較法證明不等式例ab已知a0, b0 ,求證:變式遷移1 (2011福建)設(shè)不等式|2x 1| 8x3.探究點(diǎn)三用分析法證明不等式東方工作愛(ài)樓心參裸紐劇冷3a b 2 a+ ba b 2（2011武漢模擬）已知 ab0,求證:變式遷移3 已知a0,求證:東方工咋愛(ài)樓2備棵紐劇冷A % H魅亶轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用(10 分)已知 f(x) = x2 +

6、 px+ q.求證:1 東看工昨衰核備課紐制作A H XX(1)f(1) + f(3) - 2f(2) = 2;1|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于 2.多 角 度 審 題已知 f(x),要證 f(1) + f(3) - 2f(2) = 2,只須化簡(jiǎn)左邊式子，看是怎樣的形式，然后才能視情況而定如何證明求證|f(1)|、f(2)|、|f(3)|中1至少有一個(gè)不小于2 包括：1 1 1|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一個(gè)大于等于2,其余兩個(gè)小于2；三個(gè)中有2個(gè)大于等于2另一1 1個(gè)小于2；三個(gè)都大于等于2如果從正面證明，將有7種情況需要證明，非常繁雜，可考慮用反

7、證法證明.【答題模板】證明 (1)f(1) + f(3) - 2f(2) = (1 + p + q)+ (9 + 3p + q) - 2(4 + 2p + q) = 2.2 分1(2)假設(shè) |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 都小于 2,則 |f(1)| + 2|f(2)| + |f(3)| |f(1) + f(3) - 2f(2)|= 1(1 + p + q) + (9 + 3p+ q)-(8 + 4p + 2q)|= 2,與假設(shè)矛盾.9 分1 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于210分【突破思維障礙】1根據(jù)正難則反的證明原則，|f(1)|、|f(2)|、|f(

8、3)|至少有一個(gè)不小于的反面為|f(1)|、|f(2)|、1|f(3)|都小于*所以用反證法證明只有一種情況，如果這一種情況不成立，則原命題成立.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在證明(2)中如果不知道用反證法證，而是從正面分七種情況證明，往往會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的失誤.1. 證明不等式的常用方法有五種，即比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法.2應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面幾個(gè)步驟：(1)分清命題的條件和結(jié)論；(2)作出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；(3)由條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；(4)斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開(kāi)始所作的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從 而間接地證明了命題為真.3放縮法證明

9、不等式時(shí)，常見(jiàn)的放縮法依據(jù)或技巧主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(母)異分母(子)的兩個(gè)分式大小的比較.縮小分母、 擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子、擴(kuò)大分母，分式值減?。蝗坎簧儆诓糠?；每一次 縮小其和變小，但需大于所求；每一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過(guò)頭，同時(shí)放縮有時(shí)需便于求和.1 2 31 24.放縮法的常用措施：(1)舍去或加上一些項(xiàng)，如a + 2 2+ 4 a + 2 2； (2)將分子或分1111 1 2 1 2k .k+；k-1，S+- k+ 1 (kC N且母放大(縮小)，女口書(shū)，1)等.Io東方工昨堂核2備課爼*-作

10、（滿分：75分）一、選擇題（每小題5分，共20分）1. （2011煙臺(tái)月考）已知a、b、m R +且ab，則（）a a+ mA. b b+ ma a + mB. = b b + ma a+ mC. bb+mD. a與 a間的大小不能確定b b + m2. （2010黃岡期中）設(shè)a、b R，且b, a + b= 2，則必有（）a2 + b2A. 2-ab1_a2 + b2a2+ b2B . ab 21a2+ b2D . 1 a2 a + 12 m2 + 1m2D .（H+V22、? 逅C. ab10 , y0, lg 2x + lg 8x= Ig 2，則X +齊的最小值為 .設(shè)x = a2b2

11、+ 5 , y = 2ab a2 - 4a ,若xy ,則實(shí)數(shù)a , b應(yīng)滿足的條件為三、解答題（共 43分）& （10分）已知x, y, z均為正數(shù)，求證:東方工作愛(ài)樓Z備課紐制作東方工作皇.核Z 備裸 M制昨x + y+z1+】+1yz zx xy x y z9. （10分）（2011包頭模擬）已知正數(shù)a、b、c滿足a + b2c,求證: c c2 abac+ c2- ab.10. （10 分）若 a+ b = 1,求證：；a + 1 + : b+ ；|（x+ y+ z）.學(xué)案77不等式選講（二）證明不等式的基本方法自主梳理a | b | c 31. 3.abc 2.a1 = a2= an

12、3.ad= bc且 abed0 4.(1)差 商 (2)公理理(3)充分(5)放大 縮小自我檢測(cè)1. C N= a2 + b2 ab a b+ 1a2+ 2b2 2ab 2a 2b+ 2)=1(a2-2ab+ b2)+ (a2 2a+ 1) + (b2 2b + 1)1=2【(a b)2+ (a 1)2+ (b 1)2 0,當(dāng)且僅當(dāng) a = b = 1 時(shí)成立.二 M N.2. Ap2 q2= a+ b 2 ,ab a + b3. C Q= . ax+ cy =2 b( b . a) w 0.p 0).b a b42a2+4 a2+1;62 :- a212= 8(a= 2, b= 1 時(shí)取“=

13、”).b a ba a2 4即a+爲(wèi)b的最小值為8，Anmax= 8.5. MN解析 Ta, b, c0,且 a+ bc.M =亠+丄+=一4 + a 4 + b 4+ a+ b 4 + b+ a 4 + a+ bx設(shè) f(x)=4+ x4+ x x 4(x0)，Tf(x)=k=7+7，即f（x）在（0，+ g）上為增函數(shù),a + b c-f(a+b)f(c)，即 k；7；MN.課堂活動(dòng)區(qū)東芳工昨宜核0備裸U制悖解題導(dǎo)引 不等式左、右兩邊是多項(xiàng)式形式，可用作差或作商比較法，也可用分析法、綜合法.證明 主+ 士 (也 + Vb).a 3+ b 3+ ;b , abVabya+ve ya_ &2;

14、ab，又.a+ . b0, ab0, (.a .b)20, ab + ba-( a+ b)0故 ab +a + b.變式遷移1 解 由|2x 1|1得12x 11,解得0x1 ,所以 M = x|0x1.由(1)和 a, b M 可知 0a1,0b0,故 ab+ 1a+ b.解題導(dǎo)引本例不等式中的a、b、c具有利用基本不等式進(jìn)行放縮，得到同等的地位，證明此類型不等式往往需要通過(guò)系數(shù)的變化, 要證明的結(jié)論.證明 Ta、b、c均為正數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等號(hào)成立；1 1 1 1 1 同理：1甘云巫囂，當(dāng)且僅當(dāng)b = c時(shí)等號(hào)成立；1 1 1 、 1 、 1+ . -2 2c 2a 2 ,ca c

15、+ a，當(dāng)且僅當(dāng)a = c時(shí)等號(hào)成立.三個(gè)不等式相加即得1 1 1、 1 1 1+ + + _2a 2b 2c b + c c+ a a + b當(dāng)且僅當(dāng)a = b= c時(shí)等號(hào)成立.變式遷移2 證明 x是正實(shí)數(shù)，由基本不等式知,x+ 1 2 x, 1 + x22x, x解題導(dǎo)引 當(dāng)要證的不等式較復(fù)雜，已知條件信息量太少，已知與待證間的聯(lián)系不明顯時(shí)，一般可采用分析法. 分析法是步步尋求不等式成立的充分條件， 而實(shí)際操作時(shí)往往是先從要證的不等式出發(fā)，尋找使不等式成立的必要條件，再考慮這個(gè)必要條件是否充分，這種“逆求”過(guò)程能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力， + 1 2 x3,故(x+ 1)(x2+ 1)(x3

16、+ 1)2 x2x2 x3= 8x3(當(dāng)且僅當(dāng)x= 1時(shí)等號(hào)成立).東方工作愛(ài)樓備裸紐制冷也是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題時(shí)常用的思考方法.a b 2 a + ba b 2證明 欲證8廠T ab8，8aa b 2 逅一甘 a b 2 只需證b0,a b JaJb a b只需證一: 2 寸2a22p2b,a+ . b a +.b a+ b 即1.欲證1,2血2電只需證,a+ b2 .a,即b .a.該式顯然成立.Va+/b欲證作石丁，只需證2.b . a+ . b，即，b ,a.該式顯然成立.a + b ,a+ , b-1成立，且以上各步均可逆.2, a2,ba b 2 a + b a b 2、飛 aba

17、+ 1 2,2a211,a2+ /+ 2 a + a+ 丿 2,2 1 2、 a + 2+ 2 a只須證a +1 +，從而只要證21a+ a2 1 2 1 只要證 4 a2+ 2 a2 + 2 + 二, aa即a2+吉2，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立.a課后練習(xí)區(qū)a a + m ab+ am ab bm m a bb b+ m1. A 叭-不=bb+ m=，a a+ m.b b+ m2. C 當(dāng) a0，b0 時(shí)，2= a + b2 ab，.0ab1; 當(dāng) abw 0 時(shí)，ab1.又(a + b)2= a2+ b2+ 2ab2，1，又b.選 C.13. A 只有 a2+ 221，故選 A

18、.a車看工作畫(huà)核2備課紐制作2,48a 4 ,4. D 取 a b 1,顯然有 84b 8 41 42ab.a b _ a a ba a b b當(dāng)ab1 , 4884 , A 不成立;b b _ a a ba b ,a abib 1,B不一定成立；a3 a2+ a 1 （a 1）（a2+ 1）,當(dāng)a1時(shí)，C不成立；（ 5+ .2）2 7+ 2 . 10,12_羽 2= （2 + 3）2= 7+ 2尿, 5 + 迄，又 m2m2+ 1,2寸3一m2 +15+ 2）m2y,得 a2b2 + 5 2ab+ a2 + 4a(ab 1)2+ (a + 2)20 ,所以有 ab工 1 或 az 2.&證明因?yàn)閤, y, z均為正數(shù)，x y 1 x y 所以_ +丄=_ _ +yz zx z y xy z 2同理可得 同理可得zx+ xy x， 2z，z x 2八xy+yz y，（5 分）當(dāng)且僅當(dāng)x y z時(shí)，以上三式等號(hào)都成立，將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以xvz111八得+亠 + 一一+一+一.（10 分）yzzxxyx