泛函分析考試題集與答案17頁

1、泛函分析復(fù)習(xí)題20121在實(shí)數(shù)軸上，令，當(dāng)為何值時，是度量空間，為何值時，是賦范空間。解：若是度量空間，所以，必須有：成立即，取，有，所以，若是賦范空間，所以，必須有：成立，即，當(dāng)時，若是度量空間，時，若是賦范空間。2若是度量空間，則，也是使成為度量空間。解：由于是度量空間，所以有：1），因此和且當(dāng)時，于是和以及若或均有成立，于是成立2），因此和3），因此以及設(shè)，所以單增，所以綜上所述和均滿足度量空間的三條件，故和均使成為度量空間。3設(shè)是內(nèi)積空間，則當(dāng)，時，即內(nèi)積關(guān)于兩變元連續(xù)。解：是內(nèi)積空間，設(shè)是由其內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)，由于，所以，使得當(dāng)時均有和同時由于，故知有界，所以有限。因此可取因此故，即4

2、設(shè)是線性賦范空間，是線性算子，則不是連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)，使得，但解：設(shè)不是連續(xù)的，則在上的每一點(diǎn)都不是連續(xù)的，因此在點(diǎn)也不是連續(xù)的。則在包含上0點(diǎn)的任何有界鄰域內(nèi)均無界，取，則在上無界，因此，使得成立。取，則在上無界，因此，使得成立。類似地過程一直進(jìn)行，直到取，則在上無界，因此，使得成立。因此，使得，但另外，如果有，當(dāng)，有由于在上不能找到一點(diǎn)，使得，因此對所有的點(diǎn)，均無法使得成立，因此，在條件下，對于所有的點(diǎn)，均不成立。所以在上的0點(diǎn)不是連續(xù)的，故不是連續(xù)的。5對于每個有界序列，定義線性算子，求解：由于有界，所以有，使得對于，從而，從而另外，有有界序列，設(shè)，則對，有，使得可取，所以，因此，由于的

3、任意性，于是有成立綜上所述有6我們知道有命題：對于算子序列，若，則，。此命題的逆命題不成立。試考慮算子序列，。解：，所以（）取，我們有（）另外，對每個固定的，我們都可以找到一個元素，有，但，因此，故不成立。7設(shè)是線性賦范空間，是線性算子，則閉，當(dāng)且僅當(dāng)，使得，時，有。解：閉，即有，則，使得另外，當(dāng)，使得因此對于，取，有，于是有，即，所以閉8證明，其中時有序列使得，解：是所有極限為0的序列全體的集合，范數(shù)，在中取基元集則對，有設(shè)，記，所以有取，其中，則且，所以令，即得，且再證反向不等式。對，對每個定義，則是上的線性泛函，且有所以，且。綜合兩個不等式得映射使得，有成立則線性保距同構(gòu)映射，因此9設(shè)是

4、Hilbert空間，是中正交集，則以下三條等價；1）收斂，2），收斂，3）收斂解：，已知收斂，取，則收斂，收斂于有限數(shù)。則，所以收斂。，已知，收斂，即，標(biāo)量列收斂，取，此時由標(biāo)量列收斂，從而收斂。若收斂，則標(biāo)量列收斂設(shè)，則由標(biāo)量列收斂，得收斂，即收斂。10設(shè)，考慮上的積分方程其中，證明此方程存在唯一連續(xù)解。解：由于是完備的，映射，所以因?yàn)?，所以映射是壓縮映射由不動點(diǎn)原理，存在唯一的一個，使得11考慮上的非線性積分方程其中，是的連續(xù)函數(shù)，滿足證明當(dāng)足夠小時，此方程存在唯一解。解：由于是完備的，映射，所以所以，當(dāng)時，映射是壓縮映射由不動點(diǎn)原理，存在唯一的一個，使得12驗(yàn)證：（1）開球是開集；（2）

5、閉球是閉集。解：（1），則，所以，即是開集，故，開球是開集。（2），則，所以，即是開集，故，閉球是閉集。13證明：有界數(shù)列集合組成的空間是完備的。解：取是空間中的基本點(diǎn)列，空間的度量取，由于取是空間中的基本點(diǎn)列，所以，當(dāng)時，有對每個固定的，當(dāng)時，有 （1）所以，數(shù)列是C中的收斂列，即當(dāng)時，由此得，由（1）中，令，則當(dāng)時，有。又因?yàn)?，故存在?shí)數(shù)，對所有的，滿足從而對每個有即是有界數(shù)列，又有故當(dāng)當(dāng)時，所以是完備的度量空間。14證明：是可分空間。解：考慮集合，即是由至多有限個坐標(biāo)不為0，且坐標(biāo)都是有理數(shù)的元素構(gòu)成。因此，是可數(shù)集。對于，有，所以，當(dāng)時，有有理數(shù)的稠密性，可取得，使得令。且即在中稠密。

6、依定義知是可分的。15舉例說明：在完備度量空間上的壓縮映射具有唯一的不動點(diǎn)的結(jié)論中，若將壓縮映射改為滿足的映射時，其結(jié)論不成立。解：例如，于是由微分中值定理得：在和之間存在使得因此成立，但其不存在不動點(diǎn)，否則若有不動點(diǎn)，那么必有成立，即成立，這個顯然是不正確的。故若將壓縮映射改為滿足的映射時，其結(jié)論不成立。16證明，其中時有序列和使得，解：是所有收斂序列全體的集合，范數(shù)，在中取基元集，對，有且收斂于，即，取， 則設(shè)，記， 對所以有取，其中，則且，所以令，即得，且再證反向不等式。對，對每個定義，則是上的線性泛函，且有所以，且。綜合兩個不等式得映射使得，有成立則線性保距同構(gòu)映射，因此17求空間上的線性泛函的范數(shù)。解：空間上的范數(shù)為，所以有可知是有界線性泛函，且，另一方面，取，知，且于是從而18設(shè)是可分的Hilbert空間，證明是中任一規(guī)范正交基至多是可列的。證明：有題設(shè)知是可分的，故必有的開列子集，且在中稠密，設(shè)是中的一組規(guī)范正交基，考察以一切為球心，為半徑的球簇，則若不是可列的，球簇也不是可列的。于是至少某兩個球簇含有同一個，即有使得，于是另一方面由勾股定理得這樣導(dǎo)出矛盾，故是可列的。19設(shè)是內(nèi)積空間中的一組規(guī)范正交基，證明：，