數(shù)學(xué)概念方法題型易誤點技巧總結(jié)之排列組合和二項式定理

1、數(shù)學(xué)概念方法題型易誤點技巧總結(jié)之排列組合和二項式定理 1.排列數(shù)中、組合數(shù)中。 (1)排列數(shù)公式 ；。如（1）1！+2！+3！+n?。ǎ┑膫€位數(shù)字為 （答：3）；（2）滿足的 （答：8） (2)組合數(shù)公式；規(guī)定，。如已知，求 n，m的值（答：mn2） (3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：；。2.解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加（每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事），分步相乘（一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的），有序排列，無序組合。比如：（1）將5封信投

2、入3個郵筒，不同的投法共有 種（答：）；（2）從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有 種（答：70）；（3）從集合和中各取一個元素作為點的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點的個數(shù)是_（答：23）；（4）72的正約數(shù)（包括1和72）共有 個（答：12）；（5）的一邊ab上有4個點，另一邊ac上有5個點，連同的頂點共10個點，以這些點為頂點，可以構(gòu)成_個三角形（答：90）；（6）用六種不同顏色把右圖中a、b、c、d四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有 種不同涂法（答：480）；（7）同室4人各寫1張賀年卡，然

3、后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有 種（答：9）；（8）是集合到集合的映射，且，則不同的映射共有 個（答：7）（9）滿足的集合a、b、c共有 組（答：）3.解排列組合問題的方法有：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。比如某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有_種（答：300）；某銀行儲蓄卡的密碼是一個4

4、位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個位上的數(shù)字（如2816）的方法設(shè)計密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0. 千位、百位上都能取0. 這樣設(shè)計出來的密碼共有_種（答：100）；用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)_個（答：156）；某班上午要上語、數(shù)、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為_（答：6）；四個不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個盒中。恰有兩個空盒的放法有_種；甲球只能放入第2或3號盒，而乙球不能放入第4號盒的不同放法有_種（答：84；96）；設(shè)有編號為1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為1

5、、2、3、4、5的5個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有_種（答：31）（2）間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）)。如在平面直角坐標(biāo)系中，由六個點(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1,2)，(2,1)可以確定三角形的個數(shù)為_（答：15）。（3）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。比如：把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為_（答：2880）；某人射擊槍，命中槍，槍命中中恰好有槍連

6、在一起的情況的不同種數(shù)為_（答：20）；把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是_（答：144）（4）不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。比如：3人坐在一排八個座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_種（答：24）；某班新年聯(lián)歡晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_（答：42）。

7、（5）多排問題單排法。如若2n個學(xué)生排成一排的排法數(shù)為x，這2 n個學(xué)生排成前后兩排，每排各n個學(xué)生的排法數(shù)為y，則x,y的大小關(guān)系為_（答：相等）；（6）多元問題分類法。比如：某化工廠實驗生產(chǎn)中需依次投入2種化工原料，現(xiàn)有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時使用，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必須先投放. 那么不同的實驗方案共有_種（答：15）；某公司新招聘進8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門.其中兩名英語翻譯人員不能同給一個部門；另三名電腦編程人員也不能同給一個部門，則不同的分配方案有_種（答：36）；9名翻譯中，6個懂英語，4個懂日語，從中選撥5人參加外事活動，要求其中3人擔(dān)任英

8、語翻譯，選撥的方法有_種（答：90）；（7）有序問題組合法。比如：書架上有3本不同的書，如果保持這些書的相對順序不便，再放上2本不同的書，有 種不同的放法（答：20）；百米決賽有6名運動a、b、c、d、e、f參賽，每個運動員的速度都不同，則運動員a比運動員f先到終點的比賽結(jié)果共有_種（答：360）；學(xué)號為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績且滿足，則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況有_種（答：15）；設(shè)集合，對任意，有，則映射的個數(shù)是_（答：）；如果一個三位正整數(shù)形如“”滿足，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120、363、374等），那么所有凸數(shù)個數(shù)為_（答：240）；離心率等于(其中且)的不同形狀

9、的的雙曲線的個數(shù)為_（答：26）。（8）選取問題先選后排法。如某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是_（答：576）。（9）至多至少問題間接法。如從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人，至少有2名女同學(xué)當(dāng)選的選法有_種（答：596）（10）相同元素分組可采用隔板法。比如：10個相同的球各分給3個人，每人至少一個，有多少種分發(fā)？每人至少兩個呢？（答：36；15）；某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車都多于4輛且型號相同，要從這7個車隊中抽出10輛車組成一運輸車隊，每個車隊至少抽1輛車，

10、則不同的抽法有多少種？（答：84）4、分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！。如4名醫(yī)生和6名護士組成一個醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學(xué)校去為學(xué)生體檢，每所學(xué)校需要一名醫(yī)生和至少一名護士的不同選派方法有_種（答：37440）；5.二項式定理：，其中組合數(shù)叫做第r+1項的二項式系數(shù)；展開式共有n+1項，其中第r+l項稱為二項展開式的通項，二項展開式通項的主要用途是求指定的項.特別提醒：（1）項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當(dāng)二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。如在的展開式中，第項的二項式系數(shù)為，第項的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項式系

11、數(shù)；（2）當(dāng)n的數(shù)值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)；（3）審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？比如：的展開式中常數(shù)項是_（答：14）；的展開式中的的系數(shù)為_ （答：330）；數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個數(shù)是_（答：3）；展開后所得的的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有_項（答：7）；若的值能被5整除，則的可取值的個數(shù)有_個（答：5）；若二項式按降冪展開后，其第二項不大于第三項，則 的取值范圍是 （答：）；函數(shù)的最大值是_（答：1024）。6、二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當(dāng)時，二項式系數(shù)c的

12、值逐漸增大，當(dāng)時,c的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項（第1項）的二項式系數(shù)取得最大值。當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項（第和1項）的二項式系數(shù)相等并同時取最大值。比如：在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為_（答：426）；在的展開式中，第十項是二項式系數(shù)最大的項，則_（答：17,18或19）。（3）二項式系數(shù)的和：；。比如：如果，則 （答：128）；化簡（答：）7、賦值法：應(yīng)用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和為、“奇數(shù) (偶次)項”系數(shù)和為，以及“偶數(shù) (奇次)項”系數(shù)和為。比如：已知，則等于_（答：）；，則_（答：2004）；設(shè),則_（答：）。8、系數(shù)最大項的求法：設(shè)第項的系數(shù)最大，由不等式組確定。如求的展開式中，系數(shù)的絕對值最