2009年高考數(shù)學理(全國卷1全解析)10頁

1、20092009 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試高高. .考考. .資資. .源源. .網網 理科數(shù)學（必修理科數(shù)學（必修+ +選修選修）高高. .考考. .資資. .源源. .網網 高.考.資.源.考考.資資.源源.網網 第第卷卷高高.考考.資資.源源.網網 考生注意：考生注意：高高.考考.資資.源源.網網 1答題前，考生在答題卡上務必用答題前，考生在答題卡上務必用 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、 填寫清楚填寫清楚 ，并貼好條形碼請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目，并貼好條形碼請認真核準條形碼上

2、的準考證號、姓名和科目高高.考考.資資.源源.網網 2每小題選出答案后，用每小題選出答案后，用 2鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用 橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號在試題卷上作答無效在試題卷上作答無效高高.考考.資資.源源.網網 3本卷共本卷共 12 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是分在每小題給出的四個選項中，只有一項是 符合題目要求的符合題目要求的高高.考考.資資.源源.網網 高高.考考.資資.源源.網網 參考公式：參考公式：高高.考考.

3、資資.源源.網網 如果事件互斥，那么球的表面積公式高.考.資.源.網AB， 高.考.資.源.網()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互獨立，那么其中表示球的半徑高.考.資.源.網AB，R 球的體積公式高.考.資.源.網()( )( )P A BP A P B 如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么高.考.資.源.網AP 3 4 3 VR 次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率其中表示球的半徑高.nkR 考.資.一、選擇題一、選擇題 (1)設集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集 U=AB，則集合中的() u AB I 元素共有（A） （A）3 個 （B）4

4、個 （C）5 個 （D）6 個w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：，故選故選 A A。也可用摩根。也可用摩根3,4,5,7,8,9AB 4,7,9()3,5,8 U ABCAB 律：律：()()() UUU CABC AC B （2）已知=2+i,則復數(shù) z=（B ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1i Z （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：解： 故選故選 B B。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) (2)1 3 ,1 3ziiizi (3) 不等式1 的解集為（ D ） 1 1 X X （A） x (B) 011xx x 01xx

5、（C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10 xx 0 x x 解：驗 x=-1 即可。 (4)設雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切，則該雙曲線的離心 22 22 1 xy ab 率等于( C ) （A） （B）2 （C） （D） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 356 解：設切點，則切線的斜率為.由題意有又 00 (,)P xy 0 0 |2 x x yx 0 0 0 2 y x x 2 00 1yx 解得: . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22 0 1,2,1 ( )5 bb xe aa (5) 甲組有 5 名男同學，3 名女同學

6、；乙組有 6 名男同學、2 名女同學。若從甲、乙兩組中各 選出 2 名同學，則選出的 4 人中恰有 1 名女同學的不同選法共有( D ) （A）150 種 （B）180 種 （C）300 種 (D)345 種w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解: 分兩類(1) 甲組中選出一名女生有種選法; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 112 536 225CCC (2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有 345 種選法.選 D 211 562 120CCC （6）設、是單位向量，且0，則的最小值為 ( D )abcab acbc （A） （B） （C） (D)222112 解: 是單位向量

7、 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m , ,a b c 2 ()acbca bab cc 故選| | | 12cos,121 |abcab c D. （7）已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在 111 ABCABC 1 A 底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的ABCBCAB 1 CC 角的余弦值為（ D ） B C B C A1 1 1 A D （A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 4 5 4 7 4 3 4 解：設的中點為 D，連結D，AD，易知即為異面直線與所成的角,BC 1 A 1 A AB AB 1 CC 由三角余弦定理，易知.故選 D w

8、.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB （8）如果函數(shù)的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為cos 2yx3 4 3 ，0| （A） （A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6 4 3 2 解: 函數(shù)的圖像關于點中心對稱w.w.w.k.s.5.u.c.o.m cos 2yx3 4 3 ，0 由此易得.故選 A k 23 4 2)( 3 4 2 2 Zkk 6 min (9) 已知直線 y=x+1 與曲線相切，則 的值為( B ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m yln()xa (

9、A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:設切點，則,又 00 (,)P xy 0000 ln1,()yxayx 0 0 1 |1 x x y xa .故答案選 B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 000 10,12xayxa （10）已知二面角 -l- 為 ，動點 P、Q 分別在面 、 內，P 到 的距離為，60o3 Q 到 的距離為，則 P、Q 兩點之間距離的最小值2 3 為（ C ） (A) (B)2 (C) (D)4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 3 解:如圖分別作 ,QAA AClC PBB于于于 ，連PDlD 于,60 ,CQ BDACQPBD 則 ，2

10、 3,3AQBP2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 當且僅當，即重合時取最小值。故答案選 C。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0AP AP點與點 （11）函數(shù)的定義域為 R，若與都是奇函數(shù)，則( D ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )f x(1)f x(1)f x (A) 是偶函數(shù) (B) 是奇函數(shù) (C) (D) 是奇函數(shù)( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x 解: 與都是奇函數(shù)，(1)f x(1)f x(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x 函數(shù)關于點，及點對稱，函數(shù)是周期的周期函( )f x(1,0)( 1,0)( )

11、f x21 ( 1)4T 數(shù).，即是奇函數(shù)。故選 D(14)(14)fxf x (3)(3)fxf x (3)f x 12.已知橢圓的右焦點為,右準線為 ，點，線段交于點， 2 2 :1 2 x CyFlAlAFCB 若,則=3FAFB |AF (A). (B). 2 (C). (D). 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23 解:過點 B 作于 M,并設右準線 與 X 軸的交點為 N，易知 FN=1.由題意,故BMll3FAFB .又由橢圓的第二定義,得.故選 A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 | 3 BM 2 22 | 233 BF |2AF 第第 IIII 卷卷

12、二、填空題：二、填空題： 13. 的展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于 。 10 xy 73 x y 37 x y 解: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 373 101010 ()2240CCC 14. 設等差數(shù)列的前項和為，若,則= 。 n an n S 9 72S 249 aaa 解: 是等差數(shù)列,由,得 n a 9 72S 59 9,Sa 5 8a . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa 15. 直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若, 111 ABCABC 1 2ABACAA ，則此球的表面積等于 。w.w.w.k.s.5

13、.u.c.o.m 120BAC 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接ABC2ABAC120BAC2 3BC ABC 圓半徑 r=2,設此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此 O ORT OBO5R 球的表面積為. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 420R 16. 若，則函數(shù)的最大值為 。 42 x 3 tan2 tanyxx 解:令, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m tan,xt1 42 xt w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 () 244 xt yxx xt ttt 三、

14、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 小題，共小題，共 70 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17（本小題滿分 10 分） （注意：在試題卷上作答無效注意：在試題卷上作答無效） 在中，內角 A、B、C 的對邊長分別為、，已知，且ABCabc 22 2acb 求 b w.w.w.k.s.5.u.c.o.m sincos3cossin,ACAC 分析分析: :此題事實上比較簡單此題事實上比較簡單, ,但考生反應不知從何入手但考生反應不知從何入手. .對已知條件對已知條件(1)(1)左側左側 22 2acb 是二次的右側是一次的是二次的右

15、側是一次的, ,學生總感覺用余弦定理不好處理學生總感覺用余弦定理不好處理, ,而對已知條件而對已知條件(2)(2) 過多的關注兩角和與差的正弦公式過多的關注兩角和與差的正弦公式, ,甚至有的學生還想用現(xiàn)在已甚至有的學生還想用現(xiàn)在已sincos3cossin,ACAC 經不再考的積化和差經不再考的積化和差, ,導致找不到突破口而失分導致找不到突破口而失分. . 解法一：在解法一：在中中則由正弦定理及余弦定理有則由正弦定理及余弦定理有: :ABCsincos3cossin,ACAC 化簡并整理得：化簡并整理得：. .又由已知又由已知 222222 3, 22 abcbca ac abbc 222

16、2()acb . .解得解得. . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22 2acb 2 4bb40(bb或舍） 解法二解法二: :由余弦定理得由余弦定理得: : . .又又, ,。 222 2cosacbbcA 22 2acb0b 所以所以2 cos2bcA 又又，sincos3cossinACACsincoscossin4cossinACACAC ，即，即sin()4cossinACACsin4cossinBAC 由正弦定理得由正弦定理得，故，故sinsin b BC c 4 cosbcA 由由，解得解得。4b 評析評析: :從從 0808 年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的

17、考查年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查. .在備考中應注意總結、提在備考中應注意總結、提 高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力. .另外提醒：兩綱中明確不再另外提醒：兩綱中明確不再 考的知識和方法了解就行，不必強化訓練?？嫉闹R和方法了解就行，不必強化訓練。 18 （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效） 如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面， SABCDABCDSD ABCD ，點 M 在側棱上，=602AD 2DCSDSCABM （I）證明：M 在側棱的中點SC （II）求二面角

18、的大小。SAMB （I）解法一：作交于 N，作交于 E，MNSDCDNEABAB 連 ME、NB，則面，,MN ABCDMEAB2NEAD 設，則,MNxNCEBx 在中，。RT MEB60MBE3MEx 在中由RT MNE 222 MENEMN 22 32xx 解得，從而 M 為側棱的中點 M. 1x 1 2 MNSDSC 解法二:過作的平行線.MCD 解法三:利用向量處理. 詳細可見 09 年高考參考答案. （II）分析一分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了 三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定 理的方法求作二面角。 過作交于,作交于,作MMJCDSDJSHAJAJ

19、H 交于,則,面,面HKAMAMKJMCDJM SAD 面,面即為所求二面角SADMBASH AMBSKH 的補角. 分析二分析二：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點作交于點ABMBBFAMAM ，則點為 AM 的中點，取 SA 的中點 G，連 GF，易證，則即為所求FFGFAMGFB 二面角. 分析三分析三：利用空間向量求。在兩個半平面內分別與交線 AM 垂直的兩個向量的夾角即可。 另外：利用射影面積或利用等體積法求點到面的距離等等，這些方法也能奏效。 總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半 壁江山的狀況。命題人在這里一定會照顧雙方的利益。 19 （本

20、小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效） 甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝 3 局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束，假 設在一局中，甲獲勝的概率為 0.6，乙獲勝的概率為 0.4，各局比賽結果相互獨立，已知前 2 局中，甲、乙各勝 1 局。 （I）求甲獲得這次比賽勝利的概率； （II）設表示從第 3 局開始到比賽結束所進行的局數(shù)，求得分布列及數(shù)學期望。 分析分析：本題較常規(guī)，比 08 年的概率統(tǒng)計題要容易。 需提醒的是：認真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導致失分，這是很 可惜的，主要原因在于沒讀懂題。 另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)

21、節(jié)。 20 （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效） 在數(shù)列中， n a 11 11 1,(1) 2 nn n n aaa n （I）設，求數(shù)列的通項公式 n n a b n n b （II）求數(shù)列的前項和 n an n S 分析分析：（I）由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項公式: () n b 1 1 2 2 n n b * nN （II）由（I）知, 1 2 2 n n n an = n S 1 1 (2) 2 n k k k k 1 11 (2 ) 2 nn k kk k k 而

22、,又是一個典型的錯位相減法模型， 1 (2 )(1) n k kn n 1 12 n k k k 易得 = 11 1 2 4 22 n kn k kn n S(1)n n 1 2 4 2n n 評析評析：09 年高考理科數(shù)學全國(一)試題將數(shù)列題前置,考查構造新數(shù)列和利用錯位相減法求前 n 項和，一改往年的將數(shù)列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一 線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有 意識降低難度和求變的良苦用心。 21（本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）注意：在試題卷上作答無效） 如圖，已知拋物線與圓相 2

23、 :E yx 222 :(4)(0)Mxyrr 交于、四個點。ABCD （I）求得取值范圍；r （II）當四邊形的面積最大時，求對角線、的交點坐標ABCDACBDP 分析：分析：（I）這一問學生易下手。將拋物線與圓的方 2 :E yx 222 :(4)(0)Mxyrr 程聯(lián)立，消去，整理得 （） 2 y 22 7160 xxr 拋物線與圓相交于、四個點的 2 :E yx 222 :(4)(0)MxyrrABCD 充要條件是：方程（）有兩個不相等的正根即可.易得.考生利用數(shù)形結 15 (,4) 2 r 合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以 （II）考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標。因此

24、利用設而不求、整體代入 的 方法處理本小題是一個較好的切入點 設四個交點的坐標分別為、。 11 ( ,)A xx 11 ( ,)B xx 22 (,)C xx 22 (,)D xx 則由（I）根據韋達定理有， 2 1212 7,16xxx xr 15 (,4) 2 r 則 21122112 1 2 |() |() 2 Sxxxxxxxx 2222 12121212 ()4(2)(72 16)(415)Sxxx xxxx xrr 令，則 下面求的最大值。 2 16rt 22 (72 ) (72 )Stt 2 S 方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有 時很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號