導數教學中數學實驗教學設計與反思

1、導數教學中數學實驗教學設計與反思浙江師范大學數理學院（浙江省泰順縣第一中） 何向陽摘要：基礎教育課程改革綱要（試行）的公布標志著新一輪課程改革的開始，其觀念之新，范圍之廣，力度之大，是建國以來所少見的，也是我國近代教育所少見的。如何讓學生認識到數學是自然的，數學是清楚的。筆者借助幾何畫板引入數學實驗，以高中數學導數部分為例，根據導數的幾何意義，通過教師的模擬演示實驗、學生的驗證實驗和探索實驗，在教學活動中，通過師生之間、生生之間生動而豐富的“協(xié)作”、“會話”，完成對幾種常見函數的導數的認識。突破了由于數學邏輯推理的復雜性、學生認知水平的不足而帶來的思維困難，極大地改善了學生的數學思維環(huán)境。關鍵

2、詞：幾何畫板 數學實驗 數學教學 實驗數學是指在數學領域中運用數、空間和排列等數學元素和方法進行的系統(tǒng)實驗。縱觀數學發(fā)展史，數學家們總是通過實驗發(fā)現(xiàn)可能的數學事實，然后再給出嚴格的數學證明?？梢娫跀祵W發(fā)現(xiàn)中，數學實驗有著非常重要的作用。近年來由于計算機技術的迅速發(fā)展，實驗數學展示了前所未有前景，為數學教育提供了探索和發(fā)現(xiàn)的工具，正影響著教師的教與學生的學。下面是我在幾種常見函數的導數教學中利用幾何畫板開展數學實驗的嘗試。聯(lián)系實際，提出科學問題問題1：如圖，質點P在半徑為1cm的圓周上逆時針做勻角速運動，角速度為1rad/s，設A為起始點。（1）求時刻t時，點P在y軸上的射影點M的運動方程；（2

3、）求點M在時刻t時的速度。（利用幾何畫板課件模擬質點運動）問題2：（1）試用導數的定義求下列函數的導數：y=3，y=，y=；（2）由（1）的結果，你能總結出這些函數導數的一般規(guī)律嗎？（3）當nQ時，公式是否成立？教學中，我讓學生分組完成這兩個問題，漸漸地，各學習小組為了求y=sinx、y=xn（nQ）的導數，陷入了困境。建構主義學習觀認為，學習是學習者對新信息的意義主動建構的過程。面對學生呈現(xiàn)出的認知沖突，我沒有直接給出結論，而是啟發(fā)學生從導數的幾何意義入手，從函數的圖象上探索解決問題的方法。得到了教師的點拔，學生開始有了想法。學生（以下簡稱S）1：如能畫出導數的圖象就好辦了，我們也許可以從圖

4、象上得到函數的導數。教師（以下簡稱T）：這想法好，從原函數出發(fā)，能畫出導數的圖象嗎？畫函數的圖象常用什么方法？S2：有了，用描點法，先畫出曲線y=f (x)在點(x0，y0)處的切線，并想辦法求它的斜率k，便可描出點(x0，k)，則點(x0，k)是y=f(x)的導數圖象上的點。S3馬上說：你的想法好是好，現(xiàn)實嗎？S2：可以呀，通過幾何畫板就能做到。T：幾位同學分析得很好，使用“幾何畫板”時，點(x0，k)只需畫一點就行了，通過“幾何畫板”的追蹤功能，拖動曲線的切點便可輕松得到導數的圖象。下面就請幾何畫板幫忙，看看能得到什么。實例分析：以幾何畫板教學軟件為平臺的現(xiàn)代數學實驗，是模擬實驗環(huán)境進行教

5、學的新型教學模式，是信息技術與數學課程整合的理想模式之一。教師通過信息技術手段，引導學生通過實驗操作，主動、積極、批判地思考，發(fā)現(xiàn)、驗證數學命題，體驗數學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識和實踐能力。實驗1：函數y= xn（nQ）的導數實驗目的（1）學會用實驗驗證函數的導數；（2）認識和感受導數的幾何意義。實驗步驟（1）繪制函數y=xn(n= )及y=nxn-1的圖象；（2）用自定義工具作過y=xn的圖象上點P處的切線；（3）度量P的橫坐標xP及切線的斜率k，繪制點A（xP，k），并觀察點A（xP,k）與函數y=nxn-1的圖象有什么關系。拖到點P時，看到了什么現(xiàn)象？這說明了什么？（4）在y=

6、nxn-1的圖象上任一點B，度量B的橫、縱坐標xB、yB；（5）繪制直線y= yB(x-xB)+ xBn，并觀察直線與函數y=xn的圖象有什么關系。拖到點B時，看到了什么現(xiàn)象？這說明了什么？（6）通過實驗你得到了什么結論？實驗分析S4：我們小組取n=0.5。拖到點P時，看到了點A（xP，k）在y=0.5x-0.5的圖象上運動，這說明了y=x0.5的導數圖象上的點在y=0.5x-0.5的圖象上；拖到點B時，看到直線與函數y=x0.5的圖象始終保持相切，這說明了點B在y=x0.5的導數圖象上；因此我們小組得出的結論是：公式中的n可以是有理數。通過反饋得知，選做這個實驗的其他各小組同學雖指數的取值各

7、不相同，卻都得到了相同的結論。實驗2：函數y= sinx和y= cosx的導數實驗目的（1）學會用實驗探求函數y=sinx、y=cosx的導數；（2）體驗幾何畫板作為學習數學的工具，感受創(chuàng)新的快樂；（3）學會探索、歸納、完成數學發(fā)現(xiàn)。實驗步驟（1）繪制函數y=sinx和y=cosx的圖象；（2）用自定義工具作過y=sinx或y=cosx的圖象上點P處的切線；（3）度量P的橫坐標xP及切線的斜率k，繪制點A（xP，k），并追蹤點A；拖到點P時，看到了什么？（4）得到的蹤跡是誰的圖象，試根據點A的蹤跡寫出它的函數關系式。（5）通過實驗你得到了什么結論？實驗分析S5：我們小組通過實驗發(fā)現(xiàn)點A的蹤跡是

8、余弦函數y=cosx的圖象，也就是y=sinx的導數的圖象，這說明正弦函數的導數是余弦函數，即。S6：我們小組通過實驗發(fā)現(xiàn)點A的蹤跡剛好是正弦函數y=sinx的圖象向左平移個單位，即。S7：如畫出y=sinx的圖象，你會發(fā)現(xiàn)點A的蹤跡與y=sinx的圖象關于x軸對稱，因此有 以上三個實驗分小組完成，每小組承擔一個實驗，教師巡邏指導，并指點計算機操作能力較弱的學生借助課件里的幫助文本進行作圖，最終成功地發(fā)現(xiàn)了幾種常見函數的導數。案例分析，反思實驗教學建構主義理論把“情景”、“協(xié)作”、“會話”、“意義建構”作為學習的四大要素或四大屬性。在以上的教學設計中，教師利用現(xiàn)代教育技術為學生的學習研究創(chuàng)設情

9、景，提供平臺，讓學生在自己的活動中，通過他們之間生動的豐富的“協(xié)作”、“會話”，完成對幾種常見函數的導數的認識意義建構。這樣的教學效果是傳統(tǒng)的教學方式所無法比擬的。1、轉變教學理念，順應課程改革在高中階段，導數作為大學微積分內容的一種縮編，以一種特殊的極限來講，無論是導數的概念，還是導數的應用，更多的是作為一種規(guī)則來教、來學。這往往成了學生學習的障礙，影響了學生對導數思想和本質的認識與理解。標準強調對導數本質的認識，更作為一種重要的思想、方法來學習，淡化了導數的計算，只要求會用基本初等函數的導數及法則進行計算，并指出要避免過量的形式化運算練習；提高了對導數幾何意義以及用導數的幾何意義解決問題的

10、要求，體現(xiàn)幾何直觀這一重要思想方法對于數學學習的意義和作用。因此，借助于“幾何畫板”這一動態(tài)的、能夠“做數學”的教學軟件，根據導數的幾何意義，引入數學實驗，反復通過函數的圖象去認識、探索、發(fā)現(xiàn)幾種常見函數的導數。擴大了數學實踐的內容和范圍，使教學活動不再局限于演繹推理的形式之中，利于學生對知識的建構，利于學生認識和感受導數的幾何意義，經歷用導數的幾何意義去解決問題、發(fā)現(xiàn)數學規(guī)律的過程。2、結合學生實際，優(yōu)化課堂教學教師用幾何畫板課件模擬質點P的運動，揭示運動規(guī)律，為學生創(chuàng)設了生動形象的教學情境，引起學生極大的興趣，為下一步探索問題創(chuàng)造一個良好的開端。在教學中，對“為什么公式中的n可以是有理數”

11、、“” 和“”等的認識，由于數學邏輯推理的復雜性、學生認知水平的不足，常常成了教學的“死點”。這樣的教學設計中，把重點放在對知識的重新組織上，讓學生利用導數的幾何意義通過數學實驗進行直觀處理，實現(xiàn)對幾種函數的導數的認識，極大地改善了學生的數學思維環(huán)境，救“活”了這個“死點”，改進了學生的學習方式，為學生提供了更加廣闊的思維空間。在三個實驗中，通過拖動點P的連續(xù)變化，把函數的切線、切線的斜率及以斜率為坐標的點、導函數的圖像之間的內在聯(lián)系緊密地結合在一起，并使四者都得到了直觀、動態(tài)的表示，這就使學生所面對的數學對象和數學過程的性質發(fā)生了改變，使學生通過自主的、積極主動的數學思維而成功地建構數學結論

12、、解決數學問題的可能性大大增加了。3、在實驗中要做好引導和監(jiān)控教師在實施數學實驗教學時，要根據實驗對象的特點，為學生的數學實驗創(chuàng)設一定的條件和環(huán)境；要仔細考慮可能發(fā)生的問題，周密準備，使學生在有限的時間內完成對某個數學對象的實驗，并使學生明白實驗的結果只是給我們提供了一種可能或解釋，并不一定正確，嚴密的論證是必不可少的。教師對學生實驗的干預要體現(xiàn)“教師為主導，學生為主體”的原則，介入太早，教師成為中心；介入太遲，教師難以體現(xiàn)主導作用。在實驗數學對象的選擇上，要顧及教學課時、時間等因素的限制。因此，可以從以下幾個角度選擇一定的實驗對象：在以往的教學中難以呈現(xiàn)的數學對象；課程內容中比較重要的數學對

13、象；比較容易創(chuàng)造條件和實施監(jiān)控的數學對象。為了使學生有更多的數學實驗的機會和足夠的實驗時間，多數實驗可以安排在第二課堂進行。4、進行數學實驗的意義運用現(xiàn)代教育技術構建實施素質教育的新型的數學活動形式數學實驗，正成為數學教育改革和實踐的一個新熱點，不論在理論上還是在實踐上都具有重要的現(xiàn)實和深遠意義。教師由課堂的主宰、知識的傳授者轉變?yōu)榻虒W活動的組織者、學習情境的創(chuàng)設者、學生實驗過程的指導者和意義建構的幫助者；學生從被動接受的地位轉變?yōu)橹鲃拥貐⑴c、發(fā)現(xiàn)，探索和知識建構的主體地位；教學過程由講授說明轉變?yōu)橥ㄟ^情景創(chuàng)設，問題探索，協(xié)作學習，意義建構等以學生為主體的過程；學生的學習方式由課堂“呈現(xiàn)” 的學習方式轉變?yōu)橥ㄟ^數學實驗實現(xiàn)數學發(fā)現(xiàn)的學習方式，培養(yǎng)了