史上最全橢圓二級結(jié)論大全

1、專題118史上最全橢圓二級結(jié)論大全 22 2.標準方程冷+爲 a b 4 .點P處的切線PT平分 PF1F2在點P處的外角. 5. PT平分 PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線 的兩個端點. 6 .以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離 . 切. 1. PFr + PF2 =2a =1 3. PFi =e bo)的兩個頂點為 A,(a,o),A2(a,o),與y軸平行的直線交橢圓于 a b Pi、P2時 AiPi 2 與A2P2交點的軌跡方程是務- a X2 hb 2 2 X y +=1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為 a b 10.若F0(X0, y。)在橢圓 11若P)(xo,yo)

2、在橢圓 程是弩+殍 a b 2 X 12. AB是橢圓飛+ a 2 y b2 13.若F0(Xo, yo)在橢圓 14.若P)(Xo, yo)在橢圓 2 Y-=1 b2 y2: 2=1上，則過Po的橢圓的切線方程是-2 a XoX丄YoV彳 r+i. Pi、P2,則切點弦 PiP2的直線方 =1的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則 22 X y =1內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是 a b 22 X y 2 =1內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是 a b 2 =1 (a b o )上對中心張直角的弦， k k _ b2 kOM Kab - a 2 -2 一.2 b a b 2 X y 15

3、.若PQ是橢圓一+2 a b 22 X y 16 .若橢圓 飛+芻=1 ( a b o)上中心張直角的弦 a b XoX 亠 yoy Xo a 2 2 2 a 11 則 r12 -b2 丄 2 一 a L所在直線方程為 2 yo _ XoX 十 yoy -2 .2 . a b 1 以(r|OP|,r2=QQ |). b Ax+ By=1 (ABho),則(1) 1 =a2+b2； LMa%2 a b 2.2,2_2 a A +b B 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 17.給定橢圓 G : b X +ay =ab (a b o) , C2: b x +ay =( J u2 2 22 2

4、ab 2 : ab)，則(i)對G上任意給 a +b 2222 定的點P(Xo, yo),它的任一直角弦必須經(jīng)過 C2上一定點M(a2 2Xo,-ab7yo). a +ba +b (ii)對C2上任一點P(Xo,yo)在C1上存在唯一的點 m,使得M 的任一直角弦都經(jīng)過 P點. 2 2 18.設(shè)P(Xo, yo)為橢圓(或圓)C:% +占=1 (ao,. b o)上一點，P1P2為曲線C的動弦，且弦PR, PP2斜 a b 精品文庫 2 2 X y 19.過橢圓+=1 a b 則直線BC有定向且kBC a2yo 20.橢圓 芻+再=1 (a b O)的左右焦點分別為F1, F 2，點P為橢圓上

5、任意一點 NF1P F2=Y，則橢圓的 a b 、一2 Ya n 2 Rb2y 焦點三角形的面積為 S占pf2 =b tan , P( jjc b tan ,tan ). 21.若P為橢圓 篤+爲=1(ab0)上異于長軸端點的任一點 ab 則土蘭=tan巳tanE 22 ,F1, F 2是焦點，NPF4F2, NPF2F1 = P , a +c X y 22 .橢圓 =1 (a b 0)的焦半徑公式：MFjAa a b + ex0,|MF2 |=aex0(Fi(-gO) , F2(c,0), M (xo, yo). 2 2 X y 23.若橢圓 一+與=1 (a b 0)的左、右焦點分別為 a

6、 b Fi、 F2,左準線為L,則當 -1 b 0 )上任一點,F1,F2為二焦點，A 為橢圓 ab 內(nèi)一定點，則 2a -|AF2閆PA|+| PFi |蘭2a + | AF2 |,當且僅當 A, F2, P三點共線時，等號成立. X y2 25.橢圓 一+與=1(ab0)上存在兩點關(guān)于直線l : y=k(xxo)對稱的充要條件是 Xo b 0) 上一點，則點 P對橢圓兩焦點張直角的充要條件是e y=bsi n 半 1 + sin2 X yX y 29.設(shè)A,B為橢圓 =k(k :0,k H1)上兩點，其直線AB與橢圓 一+七=1相交于P,Q,則AP - BQ. a b 30 a2 b2 2

7、 2 X y . 在橢圓右=1中，定長為 2m ( o 0, bO)上任一點A(Xo, yo)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點, 歡迎下載14 2 X y 31.設(shè)S為橢圓 一+勺=1( a b 0)的通徑，定長線段L的兩端點A,B在橢圓上移動，記|AB|= I ,M(Xo,yo) a b 是 AB 中點，則當I 6S時，有(Xo) m a亍 2l a(c2 = a2 b2, e= );當 US 時，有 a 2e (X0 ) max 2 2 X y2 32橢圓 一+務=1與直線Ax + By +C =0有公共點的充要條件是 A a b (x-y)2+(y 與直 ab *B b 2f

8、Ax0 +By0 +C). X2 y2、 34.設(shè)橢圓 一 + =1 (a b 0)的兩個焦點為 a b A2a 線 Ax + By + C = 0 有 Fi、F2,P (異于長軸端點) + B2b2 C2. 公共點的充要條件是 為橢圓上任意一點，在P F1F2 E” sin a c ，則有n石=-=e. sin P + sin Y a 35經(jīng)過橢圓b2x2+a2y2 =a2b2 (a b 0)的長軸的兩端點 A1和A?的切線，與橢圓上任一點的切線相交 于 P1 和 P2,則 IPAI |F2A2| = b2. 中，記 NRPF2, NPFjIS = P F1F2P 小 36 .已知橢圓 1_

9、 OpT 37. MN 的弦，則 2 2 X y +每=1 ( a b 0) , O為坐標原點， P、Q為橢圓上兩動點，且OP丄OQ. (1) a b 1丄1 =(2) a b .2 2 4 2厲22厲2 |OP2+|OQ|2的最小值為-40 ; (3) S應PQ的最小值是-0. a+ba+b + 1 |OQ |2 2 2 2 2 是經(jīng)過橢圓b x+a y I |AB|2=2a|MN |. 2 2 2 2 38. MN是經(jīng)過橢圓b X +a y 2.11 丄 1 2 2 JT . a b 2 2=1 (a b 0) ,M(m,o)或(o, m)為其對稱軸上除中心，頂點外的任一點，過M弓I一條

10、b 2 2 =a b (ab0)焦點的任一弦，若 AB是經(jīng)過橢圓中心 O且平行于MN 2 2 =a b (ab 0)焦點的任一弦，若過橢圓中心0的半弦OP丄MN，則 + a|MN I |OPI 2 39.設(shè)橢圓務+ = a 直線與橢圓相交于 P、Q兩點，則直線 AiP、A2Q(Ai A2為對稱軸上的兩頂點)的交點 2 a N在直線I : X=(或 m b2 m 40 .設(shè)過橢圓焦點 于焦點F的橢圓準線于 M、N兩點，貝y MF丄NF. 41.過橢圓一個焦點 F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點， A2P和A1Q交于點N，則MF丄NF. X2y2 飛中盲=1,則斜率為k(

11、k豐0)平行弦的中點必在直線I : y = kx的共軛直線y = kx上,而且 a b F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié) AP和AQ分別交相應 AiP和A2Q交于點M , 42.設(shè)橢圓方程 kk = 43.設(shè) 2 2 X , y A、B、C、D 為橢圓一2+2 a b |PA| PB| b =1上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為 , P，直線AB與CD相 交于P且P不在橢圓上，則 PC qPD x2 y2 44已知橢圓 右+；V=1 (ab0) a b 為I ,作F1、F2分別垂直I于 _ 2cos2 P +a2 sin2 P b2 cos2+a2 sin2a

12、 ,點P為其上一點Fi, F 2為橢圓的焦點，NFiPF2的外(內(nèi))角平分線 R、S ,當P跑遍整個橢圓時，R、S形成的軌跡方程是 2 22-I2 a y +b x(x c u 2222). a y +b (X c ) 45.設(shè) ABC內(nèi)接于橢圓r,且AB為r的直徑，I為AB的共軛直徑所在的直線，I分別交直線AC、BC 于E和F, x2 +y2 =a2(c2y2 = 46.過橢圓 軸于P,則 又D為I上一點，則CD與橢圓r相切的充要條件是 D為EF的中點. 2 2 2 .2 - 1 a b |PF| _e |MN |一2. (ab 0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于 M,N兩點，弦MN的垂直平

13、分線交x 47 .設(shè)A ( xi ,yi)是橢圓 務+當=1 (a b0)上任一點，過 A作一條斜率為-衛(wèi)龔 的直線L,又設(shè)d是 a ba y1 原點到直線L的距離，nr分別是A到橢圓兩焦點的距離，貝y=ab. 2 2 x +y 1 +72 =1 a b AB I =|CD I 22 x y p +了 二1 a b 2.2 a -b 48 .已知橢圓 D四點，則I 49 .已知橢圓 P(Xo,O),則 a b0) a b 0) X0 a2 -b2 2 x 和 一+ 4 = k ( 0 b0) a b 2b2 上異于長軸端點的任一點 ,F1、F2為其焦點記NRPF2=9，則 一2 e (1)|P

14、F1 H9/2 .(2) S霑時2 =b tan；. 1 + cos 日2 51.設(shè)過橢圓的長軸上一點B (m,o)作直線與橢圓相交于P、Q兩點, AQ分別交相應于過 H點的直線MN : X = n于M , N兩點，則NMBN A為橢圓長軸的左頂點，連結(jié) AP和 2 2 =90=口=邙匸叫. a + mb2( n + a)2 52. L是經(jīng)過橢圓 離心率，點P迂L , 2 _ x V 53. L是橢圓+ a b 2 2 務+嶺=1 ( a b 0)長軸頂點A且與長軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個焦點，e是 a b 若NEPF ，則a是銳角且sina e或a b 0)的準線，A、B是橢圓的長軸兩頂

15、點，點P L ,e是離心率，NEP F = , H是L與X軸的交點 ab c是半焦距，則a是銳角且si na e或 b 0 )的準線，E、F是兩個焦點，H是L與x軸的交點，點PEP F , 離心率為e,半焦距為 c,則a為銳角且si na e2或 b0),直線L通過其右焦點F2,且與橢圓相交于 A、B兩點，將A、B與橢 a b 圓左焦點 2 2 2 F1連結(jié)起來，則b2蘭| FjA | F1 B戶(a ；)(當且僅當AB丄x軸時右邊不等式取等號，當且 a2 僅當A、 F1、B三點共線時左邊不等式取等號) 2 2 X y B是橢圓篤=1 ( a b 0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，NPAB=

16、a , a b 2 NPBA = P ,NB PA , 2ab | cosa | c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1) | PA|=2$ .(2) a - c co s ot 2 2 tan a tan P ,2 c2a b 小 =1 e .(3) S暫ab = cot Y . b -a x2 y2 57設(shè)A、B是橢圓 一+/=1 ( ab0)長軸上分別位于橢圓內(nèi)(異于原點)、外部的兩點，且 Xa、Xb a b 2 的橫坐標Xa ”Xb =a , (1)若過A點引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點，則NPBA=NQBA ; (2)若過B 引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點，則N PAB+NQA

17、B =180*. X2y2 58設(shè)A、B是橢圓 p+務=1 ( ab0)長軸上分別位于橢圓內(nèi)(異于原點)，外部的兩點，(1)若過 a b A點引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點，(若B P交橢圓于兩點，則P、Q不關(guān)于X軸對稱)，且NPBA=NQBA , 則點A、B的橫坐標Xa、Xb滿足Xa矗=a ； (2)若過B點引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點，且 NPAB + ZQAB =180,則點 A、B 的橫坐標滿足 Xa ”Xb = a2. 2 2 X y 59.設(shè)A, A是橢圓 務+每=1的長軸的兩個端點， QQ是與AA垂直的弦，則直線AQ與AQ的交點P的 a b 2 2 軌跡是雙曲線冷-爲=1.

18、 a2 b2 2 2 互相垂直的兩條弦AB、CD則 X y 60 .過橢圓 p+p=1( a b 0 )的左焦點F 作 a b 8ab22(a2+b2) 丁EAB|+|CD|蘭() a +b 2 2 61. 到橢圓務+當=1 a b (x a)2 +y2 =b2. 2 2 62. 到橢圓筈+占=1 a b a b 0) a b 0) 姊妹圓(X 旦)2 + y2 = ()2. ee 2 2 X y 63. 到橢圓=1 ( a b 跡是姊妹圓(xar)2+y2 e x2 y2 64 .已知P是橢圓飛中7 a b a b 0) a c 兩焦點的距離之比等于 b 的長軸兩端點的距離之比等于 (c為半

19、焦距)的動點 M的軌跡是姊妹圓 a-c b 的兩準線和x軸的交點的距離之比為 = (g)2 (e為離心率). e (c為半焦距)的動點 M的軌跡是 口 (c為半焦距)的動點的軌 b =1( a b0)上一個動點，a, A是它長軸的兩個端點，且AQ丄AP , AQ丄ap , 2 2 2 則Q點的軌跡方程是 務+ 臂 =1. a a 65. 橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項. 22b2 66. 設(shè)橢圓 務+占=1 ( a b0)長軸的端點為 A,A , P(X1,y1)是橢圓上的點過 P作斜率為-嚴 的直 a ba y1 2 線I，過A, A

20、分別作垂直于長軸的直線交I于M , M，則（1） | AM | AM |= b . （ 2）四邊形 MAA M面積 的最小值是2ab. 2 X y 67.已知橢圓 a b 2 =1 （ a b 0）的右準線I與X軸相交于點E,過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于 68. AB B兩點，點C在右準線I上，且BC/X軸，則直線 （x-a）2y2 OA、OB 是橢圓 一 +務=1 （ a 0,b 0） a b 2 2ab2 必經(jīng)過一個定點（ ,0） .（2）以0 A、O a +b AC經(jīng)過線段EF的中點. 的兩條互相垂直的弦，0為坐標原點，則（1）直線 B為直徑的兩圓的另一個交 點Q的軌跡方程是 a葺)

21、2+宀磊)2(xk0). 2 2 69. P(m, n)是橢圓(X 2a)=1 (a b 0)上一個定點，P A、P B是互相垂直的弦，則(1)直線AB a b 2ab2 +m(a2 -b2) （X 必經(jīng)過一個定點（ 2 丄 l.2 a +b n巴 遼）.（2）以P A、P B為直徑的兩圓的另一個交點 Q的軌跡方 a +b 程是 /ab2 +a2m2 丄/匕2門 （X-2_ ） +（y- _2 a2+b2ab2 )2 a2b4+ n2(a2-b2)卡口卡 (xHm 且 yHn). ,2 . . 22 (a +b ) 70. 如果一個橢圓短半軸長為 b,焦點F1、F2到直線L的距離分別為 F 2

22、在L同側(cè)U直線L和橢圓相切.（2） d1d2b2，且F1、F2在L同側(cè) 或F1、F2在L異側(cè)U直線L和橢圓相交. 2 2 X y 71. AB是橢圓飛+=1 （a b 0） a b 2 d1、d2,那么（1） d1d2 =b，且 F1、 u直線L和橢圓相離，（3） dd b 0）的內(nèi)部一定點，AB是橢圓飛 a a b -（ay。+ b x。）、八亠 一.當弦 （或重合）于橢圓長軸所在直線時（| PA | ”1 PB |）max b2 / 2 2 2 2 ,(| PA| j PB |)min = a b (a y0b XO) 2 - a 73.橢圓焦三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直

23、徑的圓相內(nèi)切 74橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側(cè)的長軸端點. 75. 橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c. 76. 橢圓焦三角形的非焦頂點到其內(nèi)切圓的切線長為定值a-c. 77. 橢圓焦三角形中，內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù) 角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.） 78. 橢圓焦三角形中 79橢圓焦三角形中 80橢圓焦三角形中 例. 81. 橢圓焦三角形中 例. 82. 橢圓焦三角形中 在直線平行. e（離心率）.（注:在橢圓焦三 ,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e. ,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中

24、項. ,橢圓中心到內(nèi)點的距離、內(nèi)點到同側(cè)焦點的距離、半焦距及外點到同側(cè)焦點的距離成比 ,半焦距、外點與橢圓中心連線段、內(nèi)點與同側(cè)焦點連線段、外點與同側(cè)焦點連線段成比 ,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線，則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所 83. 橢圓焦三角形中，過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線，則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸的 長. 84. 橢圓焦三角形中，過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線，垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢 圓長軸為直徑的圓的切點. e. ，非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值 ，非焦頂點的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線. ，

25、非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線. ，過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處的切線相交 X y2 89.已知橢圓 一+務=1(a :0，b 0)(包括圓在內(nèi))上有一點P，過點 a b 平行線，與X軸于M，N ,與y軸交于R，Q .，O為原點，則： |OQ |2 +|ORr = 2b2. 85. 橢圓焦三角形中 86. 橢圓焦三角形中 87. 橢圓焦三角形中 ，則以兩交點為直徑的圓必過兩焦點 . P分別作直線y=X及y=-X的 aa 2 2 2 (1)|0M | +1 ON |= 2a ； ( 2) 88橢圓焦三角形中 2 a 2 2 X y222 冇+務=1(aA0,bA0) .(2)若 |0

26、Q |2 +| OR|2=2b2，則 P 的 a b 90.過平面上的P點作直線li : y = X及12 ： y = - X的平行線，分別交X軸于M , N，交y軸于R,Q.( 1) a 若|OM |2 + |0N |2 = 2a2，則P的軌跡方程是 a2 2 2 軌跡方程是 孕+再=1(a :0,b0). b 2 2 91.點P為橢圓 X V =1(a :0,b 0)(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點，過P引X軸、y軸的平 行線，交y軸、 a b x軸于M,N，交直線y = -X于Q, R，記 AOMQ與也ONR的面積為 ,S2，則: a 92.點P為第一象限內(nèi)一點，過P引X軸、y軸的

27、平行線，交y軸、X軸于M,N，交直線y =x于Q,R， a abX2v2 記AOMQ與AONR的面積為，S2，已知，貝U P的軌跡方程是 飛+丄y = 1(a a 0，b a0). 2ab 橢圓性質(zhì)92條證明 1.橢圓第一定義。2.由定義即可得橢圓標準方程。3.橢圓第二定義。 4.如圖，設(shè)P（x0, y0），切線PT （即l） 11斜率為k1， PF2所在直線12斜率為k2。 k2 的斜率為k, PFj所在直線 5圖 由兩直線夾角公式tan0 = 1 + k1k2 得: tana = k 2+ a yoXo +c b2x2 +a2y2 +b2XoC 2門丄r a b +b cxo ba2 +c

28、xo ) b2 1 + kk1 .2 1 b Xoyo 1 2 . a2Xoyo +a2cyo b2Xoyo 2,2 c Xoyo +a cyo cyo(a2 +cxo: c|yo b2 a yo k -k2 b2xo 丄 2 a yo yo Xo C 1 +kk2 1畢 a yo yo Xo C ,22,22, 2 b Xo +a yo -b XoC 2272 a Xoyo a cy。 b Xoy。 a2b2 -b2cx0 ,2. 2 、 b (a -cxo ) 2 2 C Xoyo a cyo cyo(a2 cXo) c yo 同理可證其它情況。故切線 PT平分點P處的外角。 F1A =a

29、 , 2 5.如圖，延長F1P至A，使PA=PF2，則APAF2是等腰三角形，AF2中點即為射影 出。貝U OH 2 = 同理可得OH1=a，所以射影Hi, H2的軌跡是以長軸為直徑的圓除去兩端點。 6.設(shè)P, Q兩點到與焦點對應的準線的距離分別為di,d2，以PQ中點到準線的距離為 d，以PQ為直徑的圓 的半徑為，則PF+FQ 2e r =-r，故以PQ為直徑的圓與對應準線相離。 e 精品文庫 *-、2 歡迎下載16 7圖 8圖 PF2 7.如圖，兩圓圓心距為 =OM PFi 2a -IPF2 8.如圖，由切線長定理: 而 FT = a + c = FiA , 9. A1P1 : y a 2

30、=a r,故兩圓內(nèi)切。 FiS + FT = PFi + PF2 T與A重合，故旁切圓與 + F 店2 =2a +2c, RS = FT =a +c X軸切于右頂點，同理可證 P在其他位置情況。 易知 Al ( a,0 )A2 (a,0)設(shè) P1 ( Xo, yo ), P2 ( X0 yo y 則 2 a yo rgo + X0 Jx-a) fa2 ayo、 則 Xp =9= PI Xoo Xo 丿 22 XpyP b2 a2 2 Xo 22 a yo .22 b X aV-a2yo2 b 2 p點的軌跡方程為篤 2 y-1 J _1 a b 2 X 1o.v Po(Xo, yo)在橢圓+

31、a 2 yo X2 b2，對一+ 2 =1求導得：召+學=0二y = a b- b2 b Xo 2 a yo b2X0 XoX 二切線方程為 y yo =于工（XXo）即 芳+學 -a b a y。 2 2 二1 a b 11.設(shè) P （為，y1 ）,P2（x2, y2 ）,由 1o 得：警+彎 a b 時滿足方程弩十上，所以PF2：弩+Io2y=1 a ba b =1, 因為點 P,P2在直線RP2上，且同 12.設(shè)A(X1, y1 ),B(X2,y2 ),M (冷小)則有一 a 22 X1.+皿 b2 2 2 =1,弓+*=1作差得: a b 2 X1 222 (X1 X1 +X2)+止也

32、4 = 0 b2 二 kAB b (為 +x2 )b2x0 X1 -X2 a2 (y1 中 y2) b2 2. 2_2 ay。a Rom b2 =RaB -koM = a 精品文庫 y： + b2x0 x -b2x2 = 0 b? 13.由 12可得：y y0 =-2(x X0 戶 a2y0y a2 ay。 歡迎下載53 .2 .2 .22,22 =b XqX +a y0y = b X0 +a 壯= 2 X0X 丄 y0yX0 =飛以 a b a2 + b2 2 y。 14.由12可得: y y。 y X Xox b2 =_a y -a a i2y0y +b2x2 _b2x0 x = 0 =b

33、2xa2y2 = b2X0X+a2y0y = -y a X0XycY a2b2 II 15.設(shè) P(acost,bsint ),Q(acost ,bsint ), a2 ,bsint bsint， 則 kOP koQ = = 1tant tant = - 2 acost acostb 丄十1卄22 2 2 2 2 2 2 a (cos t +cos t )+b (sin t+sin t ) a2 r22 2 2 r1 r2 (a2 cos t +b2sin21 a2 cos t +b2sin2t) + , Vcos t cos t丿 +b2 han2t + tan2t、 2 2 COS t c

34、os t 丿 a2(2 + tan2t +tan2t )+b2(tan2t +tan2t )+2b2 tan2ttan2t (a2 +b2 tan21 )(a2 +b2 tan21 ) a4 + a2b2 (tan21 + tan21 )+ b4 tan21 tan21 2 , . 2 (a2 +b2 )(tan2t +tan2t )+2a2 a b2 伶+“tan2t + tan2t)+為 2a4 +a2b2(tan2t + tan2t ) 2 a 22 27 + (tan t +tan t ) 1 1 + -2.2 a b 16.將直線AB代入橢圓方程中得: (A2aB2b2 )x2Aa2

35、a2(B2b = 0 也=4a2B2b2(A2a2 +B2b2 1), 設(shè) A(為，y1 ), B(x2,y2 )則為 +x2 AB = 2ab 卜 tB2 a2 + B22 -1 .2 2,-2, 2 A a +B b 2Aa2 a2(1-B2b2 ) A2a2+B2b2 XM 二忑訂Bb2，y1y2 A2a2 + B2b2 ToA丄 OB 222 2222211 /. x1x2 +%丫2 =0= a +b =ab(A +B 戶 A + B =2 + 2 a b AB =2abB2 JA2a2+B2b2 -1 = (ab A2aB2b1) 2 2 , 2 2 A a +B b a4+B2b4

36、 2 jA2a4 + B2b4 +a2b2(A2 +B2 )(a2 +b2 )/A2 A2a2 +B2b2 A2a2 + B2b2 17.( I j設(shè)橢圓內(nèi)直角弦 AB的方程為：y-m = k(x-n)即y =kx + m - kn。 222222 廠22 n 當斜率k存在時，代入橢圓 C1方程中得：(a k +b )x +2a k(m-kn)x + a (m -kn) -b =0 2 52a kf m kn 設(shè) A xi, yiB(X2 , y2 )得 Xi + X2 =- a2k2 +b2 2 2 2 a ( m k n)- b X1X2 =L 2|2“2 a k +b 則 PA PB =

37、 (Xo X1 後冷一X2 )+(yo X yo y2 ) 2 2 2 =(k +1 和2 (k n +kyo +xo mk “1 +X2 )+Xo + -2 yo -(m-kn ) =0 (k2 +1 ) (m knb2 十化2. + ky0 + x -mk )2a2k(m kn)+gk2 + b2 疋 + k2 tb2 )y0 ( m kn): 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =a(k+1 )(m kn)a (k+1)b+(ak +b)xo+ (a k+bM+(ak+b)(mkn ) -2y0 (m kn)(a2k2 +b2)2a2k2(m kn $

38、 +2a2kx0(m kn )+2 a2k2y0( m kn)= 0 a2 (m kn)a2 (k2 +1 )b2 +(a2kb2 Jx +(a2kb2 Jyj 十匕2(m kn)2 2y0(m -kn jb2 + 2a2kx0(m-kn)= 2 2 22 2 2 222 2 2 2 2 (a k +b !(xo+yo)+(a +b Xm-kn) -a b (k +1)+2(m-kn Xa kxo-b y。)= 0 ak2 (x； +y2 J+b2 (x； +yo )+(a2 tb2 )m(ab2 )k2n2 -2kmn(a2 十匕2 )a2b2k2 - a22 +2ma2kx0 -2mb2y

39、0 -2k2na2x0 +2knb2y0 =0 : |22丄,2丄12.2,22_2_ |a x0 +(a +b )n b x0 -2na 怡=0 = 4ma2x0 +nb2y0 =mn(a2 +b2 )= .2 2 . . 2 2 . 2 2 2 _ . 2 - b y0 +(a +b )m -a y0 -2mb y0 =0 L, 22 b -a 卄kyo a2-b2 .a2 +b2 即直線AB過定點 f 2,2, 22、 a -b b -a 、a2+b2Xo，a y0 ，此點在C2上。當直線斜率不存在時，直線AB也過C2上的定點。 ) (II)由上可知C1和C2上點由此建立起一種一一對應的

40、關(guān)系，即證。 18.必要性：設(shè) PiP2: y+ my0 =mx0 )。k 存在時, 代入橢圓方程中得: (a2k2 +b2 )x2 -2a2km(yo +kx0 )x+ a2m2(y0 +kx0 a2b2=0 2 、r2a km(y0 +kx0 ) 設(shè) P (N，% )，P(X2,y2 W 為 +X2 =2, 2 .以，X1X2 = a k中b 2 2 2 2 2 a m (y0 + kxo ) -a b a2k2 + b2 2 2 .(yo % X yo-y2 ) k-k(myo+mkxo+yo 丫為+X2)+(myo+mkxo+ yo) k1 K2 = (Xo -X1 X Xo _X2

41、)X1X2 Xo(X1 +X2)+對 b2 (m +1 jpkmxoyo +爲(m 1)+y；(m+1b2f m+1 a2 (m1)pkmx)yo 卅(m 1)+y：(m+ 1) 2 a (m 1) k 不存在時，P1P2： x=mxo 則 y = Ja -m xo , a f b r2Y b f2ri I yo - Ja -m Xo yo + -Ja -m Xo k1 k2 =八， Xo (1m) 2 b 22 2. yo(a -m Xo ) a (1-m)2 222 b Xo(m 1)b2(m + 1) Q、N分別共線，于是回到上一種情況。 41.如圖，設(shè) NPFA2 =8,NMFA2，則

42、 A1FP =兀一8,NPFM-叭NAFQ =兀-6 F-QA2M F-Ai PM sin(兀一W ) sin(兀一日)sin(S 申)sin(兀一9 +護)sin(兀一9 ) sin申 =+ = + FPFMFA FA2FM FQ fa2 兩式相減并化簡得: 泄+sin半“呻-巧 FP FQ LL*， FAi FA2 -W即FM平分NPFA2,同理FN平分NQFA2。：上 MFN =90即MF丄NF 42.由12即可證得。 43設(shè) P(X0,y0 ), AB : lx =冷 +tcosa ，cd : k),則當 y2 =(m + k X m - k )= m2 - k2時，/ APB 最大，

43、其正弦值為 。 m 52.k=c,m=a/ sin a超且僅當 PH=b時取等號。 a2ab 53. k=a,m= / sin a甜且僅當 PH= 時取等號。 cc 54. k=c,m= Sin al；當且僅當PH= b JO匸孑時取等號。 cc 55.設(shè)/ AF2X=0 , F1A tF1B = ；a-P 2 . P(P-4a) 1 +ecos0 人 2a- = 4a +2： 1 ecos日丿1 -e cos 日 ；p(p -4a )v0/. co Se FiA FiB| J .當 9 =0 時，(F1A 二 b2 F1A tF1B 2 2 2 (2a b ) a2 lx =tcosa -a

44、 56.( 1)設(shè) AP: 畀=tsi na 2ab2 cos Ct AP t b2cos2a +a2sin2a (2)設(shè) Pxo,y0 )則 tana tanP (3)sJpAABsina 2 F1B hn=b2 代入橢圓方程得: 2 2ab cosot a2 -c2 2 y。 cos2 a 2 2 2a b si na cos a 2 2 -c cos 當 e =90。時，(f1a F1b) max (2a2-b2 )2 “22,2.2“2Cl 2 丄 (b cos a + a SIn a )t = 2ab t co貿(mào) / AP= t 工0 -e2 2a2b2 tana a2 tan %

45、+b2 由 由(2)： a (a +P )= b2 + a2d a 2 注-OV. c2n s 小2曲2撫2曲 c2 .2 2 b -a 57.由58可證。 58. ( 1)易知PQ的斜率為0和斜率不存在時，對任意 軸上的點a都成立。 設(shè) PQ:x = ty+m，a (m，0) 代入橢圓方程得：(a2 +b2t2 )y2 +2b2mty+ b2(m2 - a )=0，則 yi 形 2bm b2m2 a2 ) 若 NPBA =NQBA，則 kBkBP =0= +壯=0= yj (ty： + m - Xb )+y： (tyj + m-Xb )= 0 X1 -Xb X2 - Xb =2tyiy2 +

46、(mXb )(yi +y2 )=0 = 2b2t(m2 - a2 2 )2b mt(mXb ) =m2t -a2t -m2t +mtXg =0= xB 2 ,2.2 a +b t 2 a =Xa *Xb m - 2 ”22 a +b t 2 a 2 =m =a m 2 2 2 2 = 0=2bt(m -a )2b mt(m-XB )= 0 (2)作P關(guān)于x軸的對稱點p，由 (1) 即證。 59侗 9。 60.設(shè)橢圓P = P b2 1 ecos a ccos 則 AB + CD b2 a -ccos 8ab2 a2 +b2 b2 b2 b2 a-ccos b2 + a-ccg a-ccos b

47、2 b2 a ccos魚空 8ab2(a2 +b2 ) + _二+ _ + a+ccos acs in a+cs in4a2b2+c4s in22 AB + CD有最小值 AB +CD 2b，則梯形 MAAM面積的最小值為 1 -2a 2b = 2ab。 2 67設(shè)AC交x軸于M , AD丄I于D。由橢圓第二定義: AM ”BC FM AC EM 二 CM -AD AC AMM涯耳1 BF ”AD e -CM ”AD - AC過EF的中點。 68. （ 1 ） 2 2 X y 由17可知當橢圓方程為一+p=1 a b 時，AB 過定點空產(chǎn)與一a,0。 22 + b2丿 當橢圓方程變?yōu)?（X -

48、a）2 a2 時，橢圓向右平移了 a個單位，定點也應向右平移了 a個單位, 故此時 AB過定點faJ 2 la2+b2 匚-a + a,O即 (2)由69 ( 2) P為原點，即 m=n=O時Q點的軌跡方程是 ,2 ab I a加丿 + y2 = g+b2 （XHO 69. ( 1)由17可知當橢圓方程為 2 a 。當橢圓方程變?yōu)?X y2ra2-b2b2-a2 -v1時，AB過定點(尹了(ma),尹了n （X -a）2 顯 2 a 2 bL 時，橢圓向右平移了 a個單位，定點也應向右平移了 a個單位，故此時 AB 過定點 豊（m-a）+a,嗨n即嚴+（小2）皿宀2 la +ba + b 丿

49、I +b2 a2 +b2 丿 (2)先證橢圓中心在原點的情況。橢圓方程為: 2 2 令+占=1, PX），y0 ），ab 的斜率為 k = tan。 a b 由17 (1 ) : AB過定點 2 02/。匕 / 2 .2 . 2 2 a -bb -a y。 + b2 設(shè) AB : .2 2 b -a , y-aby。= k a + b乂 x- y y。 1 -k(x-X0) 2 2 y_丄 a (k 一1 丄 b2y。 yQ 22十 22十22 (k +12 +b ) (k +1“ +b ) a +b 2b2kx0 2 .2 .by。 7 Xq 則Xq b2(1-k2 )X0 2 十a(chǎn)X。 (

50、k2 +1)(a2 +b2)(k2 +1)(a2 tb2)a2 +b2 2a2ky0 2 a X。 2 . . 2 a +b 2 2a ky。 2 2a y0 tanQ O-k2/。Zayotan0丄Xo-tan2 ) 一+ = + (k2 +1 x a2 +b2 ) (k2 +1 xa2+b2)(tan2 +qab(tan2a2 +b2) 2a2y0 sin 8 cos日 bxco -si) += a2 +b2 + b2 2 .2 a y。 丄 b X。g -T2sin2cos2 a +ba +b b2y。 yQk 2b2kx0 a2(k2-1)y。 2b2x0 tan日 += (k2+ q

51、a2 +b2) (k2 +12 +b2) (ta n2+1)( a2 tb2 ) a2y。(tan2 -1) (tan2 +1)( a2 tb2 ) 2b2x0s in cosO + ay0 (sin a2 +b2 2& -cos2b2xa2 V 。sin2昇宀 a2 +b2 a2 +b2 / 二Xq k 2 ax。 2 丄.2 a +b )2 b4x2 +a4y2 (a2 +b2 ) 當橢圓方程變?yōu)?.2 b y。 _2丄門 a +b丿 yQ 2 222 ,丄 4 b2/2|222l 丄 42 (a b -a y。)+a y。 / 2 .2 n20 + -cos (a +ba +b/ a2

52、b4 +y(a2 -b2 ) .2 22 b X?？赼y。eft in 2日-=2COs20 g +ba +b丿 (a2+b2)2 (a2 2 2 + b2) （2a） +占=1時，橢圓向右平移了 a b a個單位，圓心也應向右平移了a個單位，而半徑不 變。故此時圓心的坐標為 $2( m- a)b2n 十a(chǎn), 2*2 a +b （燈烏）半徑的平方仍為 a2 b4 +詬(a2 -b2 ) (a2 +b2 )2 / Q點的軌跡方程為 a2m L a2+b2 丿 ab2中 yQ b2n a2 r a2 r心叫x訕嚴）。 (a2+b2)2 C - Ac 70.設(shè) L:Ax+By+C=0,貝U JA2

53、+ B C + Ac =,d2 = 2 2 /A /. d1d2 = C2 - A2c2 A2 + B2 將 L 代入橢圓方程得：(A2a2 +B2b2 )y2+ 2BCb2y+ b2C2 - A2a2b2 =0 , =4a2b2AA2a2 + B2b2-C2) c0u A2a2+B2b2-C2 c0u(A2 + B2 jb2 + A2c2-C2 c0u CA2cS(AB2 )bS 0 2 如2 Ab 在L同側(cè)。 d1d2 cb2 二直線L和橢圓相離，且 Fi、F2在L同側(cè)。 2 d1d2 = b = 直線L和橢圓相切，且F1、F 2 71. U直線L和橢圓相交，或 F1、F2在L異側(cè)。 由

54、35 b1 (1 + cos V Yd =一(1 -cos 長. si nWYm + ycyD sin護 sin護 =+= b(1+cos) b(1cos) bsi n bsin W 二 yM = = 1(yH0) 72由 43: b2x2 +a2y2 -a2b2 PA FBAb2cos2 日+a2sin2 日 a b /X0 ：a y0）。當日=0即ab與橢圓長軸平行時, b2 +c2sin 20 (PA PB max a22 (b2x2 +a2y；) b2 JI 0 =即 ab 與橢圓短軸平行時 2 由卻亡？=丄巴得Xm二a cos，消去參數(shù)W得M點的軌跡方程為: 2a yD 2 .2 X , 4y a b (PA PB min 2. 2.2 2 ,2 2 I _ a b (b X0 中a y。) 73.同7。74.同8。75.由8可知，F(xiàn)2處的切線長FqT = a + c 2c = a c，同理可證P在其他位置情況。 76.女0圖，由切線長定理 PS=PT