[理學(xué)]時間序列分析模型實例

1、1 時間序列分析模型簡介時間序列分析模型簡介 2 長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢預(yù)測長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢預(yù)測 【cumcm 2005a】 一、問題分析一、問題分析二、模型假設(shè)二、模型假設(shè) 三、模型建立三、模型建立 四、模型預(yù)測四、模型預(yù)測五、結(jié)果分析五、結(jié)果分析 六、模型評價與改進(jìn)六、模型評價與改進(jìn) 一、時間序列分析模型概述一、時間序列分析模型概述 1、自回歸模型、自回歸模型2、移動平均模型、移動平均模型 3、自回歸移動平均模型、自回歸移動平均模型 二、隨機(jī)時間序列的特性分析二、隨機(jī)時間序列的特性分析 三、模型的識別與建立三、模型的識別與建立 四、模型的預(yù)測四、模型的預(yù)測 時間序列的分類 平穩(wěn)序列平

2、穩(wěn)序列 有趨勢序列有趨勢序列復(fù)合型序列復(fù)合型序列 非平穩(wěn)序列非平穩(wěn)序列 時間序列時間序列 隨機(jī)性時間序列模型的特點隨機(jī)性時間序列模型的特點 v把時間序列數(shù)據(jù)作為由隨機(jī)過程產(chǎn)生的樣本來分析把時間序列數(shù)據(jù)作為由隨機(jī)過程產(chǎn)生的樣本來分析 v多數(shù)影響時間序列的因素具有隨機(jī)性質(zhì)，因此時間序列的多數(shù)影響時間序列的因素具有隨機(jī)性質(zhì)，因此時間序列的 變動具有隨機(jī)性質(zhì)變動具有隨機(jī)性質(zhì) v隨機(jī)過程分為平穩(wěn)隨機(jī)過程和非平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程分為平穩(wěn)隨機(jī)過程和非平穩(wěn)隨機(jī)過程 由平穩(wěn)隨機(jī)過程產(chǎn)生的時間序列叫做平穩(wěn)性時間序列由平穩(wěn)隨機(jī)過程產(chǎn)生的時間序列叫做平穩(wěn)性時間序列 由非平穩(wěn)隨機(jī)過程產(chǎn)生的時間序列叫做非平穩(wěn)性時間序列由

3、非平穩(wěn)隨機(jī)過程產(chǎn)生的時間序列叫做非平穩(wěn)性時間序列 v平穩(wěn)序列平穩(wěn)序列(stationary series)(stationary series) 基本上不存在趨勢的序列，各觀察值基本上在某個固基本上不存在趨勢的序列，各觀察值基本上在某個固 定的水平上波動定的水平上波動 或雖有波動，但并不存在某種規(guī)律，而其波動可以看或雖有波動，但并不存在某種規(guī)律，而其波動可以看 成是隨機(jī)的成是隨機(jī)的 v非平穩(wěn)序列非平穩(wěn)序列 (non-stationary series)(non-stationary series) 有趨勢的序列：線性的，非線性的有趨勢的序列：線性的，非線性的 有趨勢、季節(jié)性和周期性的復(fù)合型序列

4、有趨勢、季節(jié)性和周期性的復(fù)合型序列 序號 96 91 86 81 76 71 66 61 56 51 46 41 36 31 26 21 16 11 6 1 score 2260 2240 2220 2200 2180 2160 平穩(wěn)時間序列平穩(wěn)時間序列 非平穩(wěn)時間序列非平穩(wěn)時間序列 序號 248 235 222 209 196 183 170 157 144 131 118 105 92 79 66 53 40 27 14 1 stock 42 40 38 36 34 32 30 28 26 平穩(wěn)性時間序列平穩(wěn)性時間序列 v由平穩(wěn)隨機(jī)過程產(chǎn)生的時間序列的性質(zhì)：由平穩(wěn)隨機(jī)過程產(chǎn)生的時間序列的性

5、質(zhì)： 概率分布函數(shù)不隨時間的平移而變化，即：概率分布函數(shù)不隨時間的平移而變化，即： p p（y y1 1，y y2 2， ，y yt t）=p=p（y y1+m 1+m， ，y y2+m 2+m， ， ，y yt+m t+m) ) 期望值、方差和自協(xié)方差是不依賴于時間的常數(shù)，即：期望值、方差和自協(xié)方差是不依賴于時間的常數(shù)，即： e e（y yt t）=e=e（y yt+m t+m） ） varvar（y yt t）= var= var（y y t+m t+m） ） covcov（y yt t，y y t+k t+k） ）= cov= cov（y y t+m t+m， ，y y t+m+k t+

6、m+k） ） v隨機(jī)性時間序列模型是以時間序列的平穩(wěn)性為基礎(chǔ)建立的隨機(jī)性時間序列模型是以時間序列的平穩(wěn)性為基礎(chǔ)建立的 隨機(jī)性時間序列模型的特點隨機(jī)性時間序列模型的特點 v利用時間序列中的自相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分析和建摸利用時間序列中的自相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分析和建摸 v時間序列的自相關(guān)關(guān)系是指時間序列在不同時期觀測值之時間序列的自相關(guān)關(guān)系是指時間序列在不同時期觀測值之 間的相關(guān)關(guān)系間的相關(guān)關(guān)系 v許多因素產(chǎn)生的影響不是瞬間的，而是持續(xù)幾個時期或更許多因素產(chǎn)生的影響不是瞬間的，而是持續(xù)幾個時期或更 長時間，因此時間序列在不同時期的值往往存在較強的相長時間，因此時間序列在不同時期的值往往存在較強的相 關(guān)關(guān)系關(guān)關(guān)系

7、 v用自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)衡量時間序列中的自相關(guān)關(guān)用自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)衡量時間序列中的自相關(guān)關(guān) 系系 時間序列的自相關(guān)關(guān)系時間序列的自相關(guān)關(guān)系 v自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù) 樣本的自相關(guān)函數(shù)樣本的自相關(guān)函數(shù) v偏自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過程的偏自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的偏自相關(guān)函數(shù) 樣本的偏自相關(guān)函數(shù)樣本的偏自相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) v對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，滯后期為對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，滯后期為 k k 的自相關(guān)函數(shù)定義為的自相關(guān)函數(shù)定義為 滯后期為滯后期為 k k 的自協(xié)方差與方差之比的自協(xié)方差與方差之比 0 1 2 0 1 1 0 0 0 0 k

8、 k ; ; )( ),( t ktt yvar yycov 樣本自相關(guān)函數(shù)樣本自相關(guān)函數(shù) 2 1 1 k 2 _ 1 _ k 11 )( 1 )( 1 t t t kt t ktt t kt t ktt yy yyyy tkt yy t yyyy kt ）（ ）（ ，上式可簡化為：近似如果樣本較大， 樣本自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)樣本自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) v可以用來判斷時間序列的平穩(wěn)性可以用來判斷時間序列的平穩(wěn)性 平穩(wěn)性時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)值隨滯后期的延長很快趨平穩(wěn)性時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)值隨滯后期的延長很快趨 近于零近于零 v可以較好描述季節(jié)性變動或其他周期性波動的規(guī)律可以較好描述季節(jié)性變動或其他

9、周期性波動的規(guī)律 如果季節(jié)變化的周期是如果季節(jié)變化的周期是 12 12 期，觀測值期，觀測值 ytyt 與與 yt+12yt+12，yt+24yt+24， yt+36yt+36之間存在較強自相關(guān)關(guān)系之間存在較強自相關(guān)關(guān)系 因此，當(dāng)因此，當(dāng) k=12k=12，2424，3636，48,48,時，樣本自相關(guān)函數(shù)值在時，樣本自相關(guān)函數(shù)值在 絕對值上大于它周圍的值絕對值上大于它周圍的值 偏自相關(guān)函數(shù)值偏自相關(guān)函數(shù)值 v滯后期為滯后期為 k 的偏自相關(guān)函數(shù)值是指去掉的偏自相關(guān)函數(shù)值是指去掉 y t+1，y t+2，y t+3， ， y t+k-2，y t+k-1 的影響之后，反映觀測值的影響之后，反映觀

10、測值yt和和y t+k之間相之間相 關(guān)關(guān)系的數(shù)值關(guān)關(guān)系的數(shù)值 隨機(jī)性時間序列模型的特點隨機(jī)性時間序列模型的特點 v建摸過程是一個反復(fù)實驗的過程建摸過程是一個反復(fù)實驗的過程 v借助自相關(guān)函數(shù)值和偏自相關(guān)函數(shù)值確定模型的類型借助自相關(guān)函數(shù)值和偏自相關(guān)函數(shù)值確定模型的類型 v借助診斷性檢驗判斷模型的實用性借助診斷性檢驗判斷模型的實用性 時間序列最佳模型的確定時間序列最佳模型的確定 出發(fā)點：模型總類出發(fā)點：模型總類 選擇暫時試用的模型選擇暫時試用的模型 估計模型中的參數(shù)估計模型中的參數(shù) 診斷檢驗：模型是否適用診斷檢驗：模型是否適用 運用模型分析和預(yù)測運用模型分析和預(yù)測 模型分類模型分類 v總類模型總類

11、模型 v移動平均模型移動平均模型 ma(q) (moving average)ma(q) (moving average) v自回歸模型自回歸模型 ar(p) (autoregressionar(p) (autoregression) ) v混合自回歸移動平均模型混合自回歸移動平均模型 arma (parma (p，q q） v差分自回歸差分自回歸- -移動平均模型移動平均模型 arima (parima (p，d d，q q） arma模型是一類常用的隨機(jī)時間序列模型，模型是一類常用的隨機(jī)時間序列模型， 是一種精度較高的時間序列短期預(yù)測方法，其基本是一種精度較高的時間序列短期預(yù)測方法，其基本

12、 思想是：某些時間序列是依賴于時間思想是：某些時間序列是依賴于時間 的一族隨機(jī)的一族隨機(jī) 變量，構(gòu)成該時間序列的單個序列值雖然具有不確變量，構(gòu)成該時間序列的單個序列值雖然具有不確 定性，但整個序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以定性，但整個序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以 用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型近似描述用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型近似描述. 通過對該數(shù)學(xué)模型的分析研究，能夠更本質(zhì)地通過對該數(shù)學(xué)模型的分析研究，能夠更本質(zhì)地 認(rèn)識時間序列的結(jié)構(gòu)與特征，達(dá)到最小方差意義下認(rèn)識時間序列的結(jié)構(gòu)與特征，達(dá)到最小方差意義下 的最優(yōu)預(yù)測的最優(yōu)預(yù)測. t t x 自回歸序列 ： t x 1122tttptpt xxxxu 如果時間序

13、列 是它的前期值和隨機(jī)項的線性 函數(shù)，即可表示為 【1】 pp【1】式稱為 階自回歸模型，記為ar（ ） 注注1：實參數(shù)：實參數(shù) 稱為自回歸系數(shù)，是待估參數(shù)稱為自回歸系數(shù)，是待估參數(shù). 隨機(jī)項隨機(jī)項 是相互獨立的白噪聲序列，且服從均值為是相互獨立的白噪聲序列，且服從均值為0、 方差為方差為 的正態(tài)分布的正態(tài)分布.隨機(jī)項與滯后變量不相關(guān)。隨機(jī)項與滯后變量不相關(guān)。 12 , p t u 2 注注2：一般假定：一般假定 均值為均值為0，否則令，否則令 t x tt xx k bk k tt k b xx 2 12 p tttptt xbxb xb xu 記 為 步滯后算子，即 ，則 模型【1】可表示

14、為 2 12 ( )1 p p bbbb 令 ，模型可簡寫為 ( ) tt b xu ar（ ）過程平穩(wěn)的條件是滯后多項式 p( )b 的根均在單位圓外，即 ( )0b的根大于1 【2】 t x t x 1122ttttqt q xuuuu 如果時間序列 是它的當(dāng)期和前期的隨機(jī)誤差 項的線性函數(shù)，即可表示為 【3】 qq 式【3】稱為階移動平均模型，記為ma（ ） 注：實參數(shù) 12 , q 為移動平均系數(shù)，是待估參數(shù) 引入滯后算子，并令 2 12 ( )1 q q bbbb 則模型【3】可簡寫為 ( ) tt xb u 注1：移動平均過程無條件平穩(wěn) 注2：滯后多項式( )b的根都在單位圓外時，

15、ar過程與ma過程 能相互表出，即過程可逆， 【4】 2 12 0 1 i titt i w bw bxwbxu 即為ma過程的逆轉(zhuǎn)形式，也就是ma過程等價于無窮階的ar過程 注3：【2】滿足平穩(wěn)條件時， ar過程等價于無窮階的ma 過程，即 2 12 0 1 j ttjt j xv bv buv bu 自回歸移動平均序列自回歸移動平均序列 ： t x t x 11221122tttpt ptttq t q xxxxuuuu 如果時間序列是它的當(dāng)期和前期的隨機(jī)誤差項以及 前期值的線性函數(shù)，即可表示為 【5】 ( , )p q 式【5】稱為階的自回歸移動平均模型，記為arma( , ) p q

16、12 , p 12 , q 注1：實參數(shù) 稱為自回歸系數(shù)，為移動平均系數(shù)， 都是模型的待估參數(shù) 注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3：引入滯后算子，模型【5】可簡記為 ( )( ) tt b xb u【6】 注4：arma過程的平穩(wěn)條件是滯后多項式 ( )b 的根均在單位圓外 可逆條件是滯后多項式( )b的根都在單位圓外 12 , tttt k xxxx k k 構(gòu)成時間序列的每個序列值構(gòu)成時間序列的每個序列值 相關(guān)關(guān)系稱為自相關(guān)。自相關(guān)程度由自相關(guān)系數(shù)相關(guān)關(guān)系稱為自相關(guān)。自相關(guān)程度由自相關(guān)系數(shù) 表示時間序列中相隔表示時間序列中相隔 期的觀測值之間的相關(guān)程度。期的觀測值之間的相關(guān)程度。

17、 之間的簡單之間的簡單 度量，度量， 1 2 1 ()() () n k tt k t kn t t xxxx xx 注1：nkx是樣本量，為滯后期，代表樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值 注2：自相關(guān)系數(shù) k 的取值范圍是 1,1 且| | k 越接近1，自相關(guān)程度越高 t x 121 , ttt k xxx t x t k x 偏自相關(guān)是指對于時間序列，在給定 的條件下， 與 之間的條件相關(guān)關(guān)系。 kk 11 kk 其相關(guān)程度用 度量，有 偏自相關(guān)系數(shù) 1 1 1, 1 1 1, 1 1 2,3, 1 k kkjkj jkk k kjj j k k k k 其中是滯后期的自相關(guān)系數(shù)， 1,1, ,1,2

18、,1 kjkjkkkkj jk 如果一個時間序列是純隨機(jī)序列，意味著序列沒有任何規(guī) 律性，序列諸項之間不存在相關(guān)，即序列是白噪聲序列，其 自相關(guān)系數(shù)應(yīng)該與0沒有顯著差異?？梢岳弥眯艆^(qū)間理論進(jìn) 行判定。 在b-j方法中，測定序列的隨機(jī)性，多用于模型殘差以及評 價模型的優(yōu)劣。 若時間序列 t x 滿足 1）對任意時間t，其均值恒為常數(shù)； 2）對任意時間t和s，其自相關(guān)系數(shù)只與時間間隔 ts 有關(guān)，而與 的起始點無關(guān)。 那么，這個時間序列就稱為平穩(wěn)時間序列 。 和s t 序列的平穩(wěn)性也可以利用置信區(qū)間理論進(jìn)行判定.需要 注意的是，在b-j方法中，只有平穩(wěn)時間序列才能直接建立 arma模型，否則必須

19、經(jīng)過適當(dāng)處理使序列滿足平穩(wěn)性要求 在實際中，常見的時間序列多具有某種趨勢，但很多序 列通過差分可以平穩(wěn) 判斷時間序列的趨勢是否消除，只需考察經(jīng)過差分后序 列的自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù) 時間序列的季節(jié)性是指在某一固定的時間間隔上，序列 重復(fù)出現(xiàn)某種特性.比如地區(qū)降雨量、旅游收入和空調(diào)銷售額 等時間序列都具有明顯的季節(jié)變化. 一般地，月度資料的時間序列，其季節(jié)周期為12個月； 季度資料的時間序列，季節(jié)周期為4個季. 判斷時間序列季節(jié)性的標(biāo)準(zhǔn)為： 月度數(shù)據(jù)，考察 12,24,36,k 時的自相關(guān)系數(shù)是否 與0有顯著差異；季度數(shù)據(jù)，考察 4,8,12,k 系數(shù)是否與0有顯著差異。 時的自相關(guān) 說明各年中同

20、一月（季）不相關(guān)，序列不存在季節(jié)性，否則 存在季節(jié)性. 若自相關(guān)系數(shù)與0無顯著不同， 實際問題中，常會遇到季節(jié)性和趨勢性同時存在的情況， 這時必須再用上述方法， 否則季節(jié)性會被強趨勢性所掩蓋，以至判斷錯誤. 包含季節(jié)性的時間序列也不能直接建立arma模型，需進(jìn) 行季節(jié)差分消除序列的季節(jié)性，差分步長應(yīng)與季節(jié)周期一致. , ,d d p q ,p q 在需要對一個時間序列運用b-j方法建模時，應(yīng)運用序列的 自相關(guān)與偏自相關(guān)對序列適合的模型類型進(jìn)行識別，確定適 宜的階數(shù) 以及 （消除季節(jié)趨勢性后的平穩(wěn)序列） （1 1）mama（ q ）的自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù)）的自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)

21、方差函數(shù) 222 1 2 11 1,0 ,1 0, q kkkq kq k kq kq 2 t du 是白噪聲序列的方差是白噪聲序列的方差 樣本自相關(guān)函數(shù)樣本自相關(guān)函數(shù) 11 22 01 1,0 ,1 1 0, kkq kq k k q k kq kq q k kq q ma（）序列的自相關(guān)函數(shù)在 這種性質(zhì)稱為自相關(guān)函數(shù)的步截尾性； 以后全都是0， 隨著滯后期 k 這種特性稱為偏自相關(guān)函數(shù)的拖尾性 的增加，呈現(xiàn)指數(shù)或者正弦波衰減，趨向于0， 偏自相關(guān)函數(shù) （2 2）arar（ p ）序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù)）序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù) 偏自相關(guān)函數(shù) ,1 0, k kk kp kp 是p 步

22、截尾的 ； 自協(xié)方差函數(shù) k 滿足 ( )0 k b 自相關(guān)函數(shù) k 滿足 ( )0 k b 它們呈指數(shù)或者正弦波衰減，具有拖尾性 （3 3）armaarma（, p q）序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的）序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的 自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)是識別arma模型的最 主要工具，b-j方法主要利用相關(guān)分析法確定模型的階數(shù). 若樣本自協(xié)方差函數(shù) k 在q步截尾，則判斷 t x 是ma（ q）序列 kk p若樣本偏自相關(guān)函數(shù)在步截尾，則可判斷是ar（ t x p ）序列 若 ， 都不截尾，而僅是依負(fù)指數(shù)衰減，這時可初步認(rèn)為 arma序列，它的階要由從低階到高階逐步增加，再

23、通過檢驗來確定. k 在 k kk ， t x 是 但實際數(shù)據(jù)處理中，得到的樣本自協(xié)方差函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)只是 k 和 kk 的估計，要使它們在某一步之后全部為0幾乎是 而只能是在某步之后圍繞零值上下波動，故對于 k 和 kk 不可能的， 的截尾性 只能借助于統(tǒng)計手段進(jìn)行檢驗和判定。 （1） k 的截尾性判斷 q 1, , qq m m n 對于每一個 ，計算（ 一般取 左右），考察其中滿足 22 0 1 1 |2 q kl ln 22 0 1 2 |2 q kl ln 或 的個數(shù)是否為 m的68.3%或95.5%。 如果當(dāng) 0 1kq時， k 明顯地異于0，而 00 1, , qqm 近

24、似為0，且滿足上述不等式的個數(shù)達(dá)到了相應(yīng)的比例， 則可近似地認(rèn)為 k 在 0 q 步截尾 （2） kk 的截尾性判斷 作如下假設(shè)檢驗： 0, :0,1, p k p k hkm mn 1 :hk0 kk pkmp存在某個，使，且 統(tǒng)計量 222 1 p m kkm kp n 2 ( ) m m 2 表示自由度為的分布 的上側(cè)分位數(shù)點 對于給定的顯著性水平 0 ，若 22 ( ) m ，則認(rèn)為 樣本不是來自ar（p）模型 ； 22 ( ) m ，可認(rèn)為 樣本來自ar（ p ）模型 。 注：實際中，此判斷方法比較粗糙，還不能定階，目前流行的方法是h.akaike 信息定階準(zhǔn)則（aic） （3）ai

25、c準(zhǔn)則確定模型的階數(shù) aic定階準(zhǔn)則： s 2 2 n 是模型的未知參數(shù)的總數(shù) 是用某種方法得到的方差的估計 為樣本大小，則定義aic準(zhǔn)則函數(shù) 2 2 ( )ln s aic s n 用aic準(zhǔn)則定階是指在 , p q的一定變化范圍內(nèi)，尋求使得 ( )aic s最小的點 ( , )p q作為( , )p q的估計。 ar（ p ）模型 ： 2 2 ln p aic n arma( , )p q模型 ： 2 2() ln pq aic n 在階數(shù)給定的情形下模型參數(shù)的估計有三種基本方法：矩 估計法、逆函數(shù)估計法和最小二乘估計法，這里僅介紹矩 估計法 （1）ar（ p ）模型 1 1111 212

26、2 12 1 1 1 p p pppp 白噪聲序列 t u 的方差的矩估計為 2 0 1 p jj j （2）ma（q）模型 222 10 2 11 1 ,1, q kkq kqk kq （3）arma ( , )p q 模型的參數(shù)矩估計分三步： i）求 12 , p 的估計 1 1111 2122 12 qqqpq qqqpq qpqpqqpp 11 tttptp yxxx t yii）令，則 的自協(xié)方差函數(shù)的矩估計為 ( ) 0 00 , 1 pp y kijkj i ij t y qiii）把近似看作ma（ ）序列，利用（2） 對ma（ q ）序列的參數(shù)估計方法即可 對于給定的樣本數(shù)據(jù)

27、1, , n xx aic準(zhǔn)則確定了模型的類型和階數(shù)，用矩估計法確定了模型中 的參數(shù)，從而建立了一個arma模型，來擬合真正的隨機(jī)序列。 但這種擬合的優(yōu)劣程度如何，主要應(yīng)通過實際應(yīng)用效果來檢 驗，也可通過數(shù)學(xué)方法來檢驗。 ，我們通過相關(guān)分析法和 pq k kk 對于arma模型，應(yīng)逐步由arma（1，1），arma（2， 1），arma（1，2），arma（2，2），依次求出參數(shù)估計， 對ar（）和ma（）模型，先由和 初步定階，再求參數(shù)估計。 的截尾性 一般地，對arma ( , )p q 模型 11 pq ttit ijtj ij uxxu 011 , q u uu 011 , p xxx

28、 12 , n u uu 取初值和 它們均值為0），可遞推得到殘量估計 現(xiàn)作假設(shè)檢驗： （可取它們等于0，因為 0 :h 12 , n u uu 是來自白噪聲的樣本 ( ) 1 1 nj u jtjt t uu n 0,1,jk ( ) ( ) ( ) 0 u ju j u 1, ,jk 令 k 10 n 其中取左右。 0 h k q k 2 則當(dāng)成立時，服從自由度為 的分布。 2 ( ) kk q 0 h 2 ( ) kk q 對給定的顯著性水平 ，若 ，則拒絕 ，即模型與原隨機(jī)序列之間擬合得不好， ，則認(rèn)為模型與原隨機(jī)序列之間擬合 需重新考慮 得較好，模型檢驗被通過。 建模；若 22 (

29、)( ) 11 kk uu kjj jj qnn 若模型經(jīng)檢驗是合適的，也符合實際意義，可用作短期預(yù)測若模型經(jīng)檢驗是合適的，也符合實際意義，可用作短期預(yù)測. b-j方法采用l步預(yù)測，即根據(jù)已知 n個時刻的序列觀測值 12 , n xxx，對未來的 nl 個時刻的序列值做出估計， 線性最小方差預(yù)測是常用的一種方法. 誤差的方差達(dá)到最小. 其主要思想是使預(yù)測 若 ( ) n zl表示用模型做的l步平穩(wěn)線性 最小方差預(yù)測，那么，預(yù)測誤差 ( )( ) nn ln e lxzl 并使 22 ( )( ) nn ln e e le xzl 達(dá)到最小. 1 1、arar（p）序列預(yù)測）序列預(yù)測 模型（1）

30、： 1122tttptpt xxxxu 的l步預(yù)測值為 12 ( )(1)(2)() nnnpn zlzlzlzlp () nnj zjx 0j 其中（ ） 2 2、mama（q）的預(yù)測）的預(yù)測 對模型（3）： 1122ttttqt q xuuuu lq 1122n ln ln ln lqn l q xuuuu n ( )0 n zl 當(dāng)時，由于 可見所有白噪聲的時刻都大于，故與歷史取值無關(guān)， ； 從而 當(dāng)lq 時，各步預(yù)測值可寫成矩陣形式： 1 11 2 2 1 1 1 1 100 (1)(1) 010 (2)(2) 001 ( )( ) 000 nn nn n q q nn q zz zz

31、 x zqzq 遞推時，初值 000 (1),(2),( )zzzl 均取為0。 題中給出了題中給出了“19952004年長江流域水質(zhì)報告年長江流域水質(zhì)報告” 中的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)和關(guān)于中的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)和關(guān)于地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn) 的國標(biāo)（的國標(biāo)（gb3838-2002）中）中4個主要項目標(biāo)準(zhǔn)限值個主要項目標(biāo)準(zhǔn)限值 （見（見附錄附錄1），其中），其中i、ii、iii類為可飲用水類為可飲用水.假如不假如不 采取更為有效的治理措施，根據(jù)過去采取更為有效的治理措施，根據(jù)過去10年的主要統(tǒng)年的主要統(tǒng) 計數(shù)據(jù)（見計數(shù)據(jù)（見附錄附錄2），對長江未來水質(zhì)污染的發(fā)展），對長江未來水質(zhì)污染的發(fā)展 趨勢

32、做出預(yù)測分析，比如研究未來趨勢做出預(yù)測分析，比如研究未來10年的情況年的情況. 為了分析長江水質(zhì)的發(fā)展變化情況，對未來為了分析長江水質(zhì)的發(fā)展變化情況，對未來10年全流域、年全流域、 支流、干流中三類水所占的比例做出預(yù)測支流、干流中三類水所占的比例做出預(yù)測.考慮到若僅用考慮到若僅用10年水年水 文年的觀測數(shù)據(jù)來預(yù)測后文年的觀測數(shù)據(jù)來預(yù)測后10年的數(shù)據(jù)，顯然可利用的數(shù)據(jù)量太年的數(shù)據(jù)，顯然可利用的數(shù)據(jù)量太 少，所以我們將充分利用枯水期、豐水期和水文年的數(shù)據(jù)少，所以我們將充分利用枯水期、豐水期和水文年的數(shù)據(jù). 由于建立時間序列模型需要相等的時間間隔，所以我們將由于建立時間序列模型需要相等的時間間隔，所

33、以我們將 一年分為三段，一年分為三段，1-4月、月、5-8月、月、9-12月月. 對于每一年，對于每一年，1-4月的平均數(shù)據(jù)可直接取為枯水期的數(shù)據(jù)，月的平均數(shù)據(jù)可直接取為枯水期的數(shù)據(jù)， 5-8月的平均數(shù)據(jù)可直接取為豐水期的數(shù)據(jù)，而月的平均數(shù)據(jù)可直接取為豐水期的數(shù)據(jù)，而9-12月的數(shù)據(jù)可月的數(shù)據(jù)可 用【（水文年用【（水文年*12-枯水期枯水期*4-豐水期豐水期*4）/4=水文年水文年*3-枯水期枯水期-豐豐 水期】來估計（具體數(shù)據(jù)見水期】來估計（具體數(shù)據(jù)見附錄附錄3）.我們分別對全流域、干流、我們分別對全流域、干流、 支流來建立時間序列模型，并將水質(zhì)分為飲用水（支流來建立時間序列模型，并將水質(zhì)分

34、為飲用水（i、ii、iii 類）、污水（類）、污水（iv、v類）和劣類）和劣v類水三類，注意到飲用水的比例類水三類，注意到飲用水的比例 可由其它兩類水的比例推算出來可由其它兩類水的比例推算出來. （2）假設(shè)枯水期、豐水期和水文年中，每個月各類水質(zhì)的 百分比不變. （1）問題中所給出的數(shù)據(jù)能客觀反映現(xiàn)實情況； 對于各類水，根據(jù)它在各個時期所占的比例，通過作圖容 易觀察發(fā)現(xiàn)，時間序列是非平穩(wěn)的，而通過適當(dāng)差分則會顯示 出平穩(wěn)序列的性質(zhì)，所以我們將建立自回歸移動平均模型 arima（ , ,p d q ）. 在實際建模中，考慮到一期的數(shù)據(jù)應(yīng)該與前期的數(shù)據(jù)有關(guān)，在實際建模中，考慮到一期的數(shù)據(jù)應(yīng)該與前期

35、的數(shù)據(jù)有關(guān)， 所以對差分后的平穩(wěn)序列我們建立所以對差分后的平穩(wěn)序列我們建立arma模型模型. 在這里，我們不考慮隨機(jī)干擾項，即 0q ，因此建立 僅以預(yù)測干流中劣僅以預(yù)測干流中劣類水所占比例的類水所占比例的 arima 模型為例，模型為例， 詳細(xì)敘述一下詳細(xì)敘述一下 arima 建模過程。建模過程。 根據(jù)需要，我們將數(shù)據(jù)篩選并處理得到干流中劣類水所占 比例的時間序列： t x 1,2,30t =0，4，-4，0，1.5，-1.5，0，0，0，0，0， 0，0，0，0，0，0，0，6.9，5.1，5.4，7.9， 4.8，13.4，0，0，0，14.2，9.3，3.5， 觀察序列時序圖，發(fā)現(xiàn)序列

36、有遞增趨勢， 因此，我們對序 1ttt xxx ，得到序列 列進(jìn)行一階差分 tt yx 0，4，-8，4，1.5，-3，1.5，0，0，0， 0，0，0，0，0，0，0，0，6.9，-1.8，0.3， 2.5，-3.1，8.6，-13.4，0，0，14.2， -4.9，-5.8 30 1 30 2 1 ()() () k tt k t k t t yyyy yy k 利用公式計算此序列的自相關(guān)系數(shù) 可看出， | k 明顯異于0，說明此序列短期內(nèi)具有很強的相關(guān)性 因此可初步認(rèn)為經(jīng)1階差分后的序列平穩(wěn)，即1d 1階差分后的白噪聲檢驗結(jié)果如下： 2 延遲階數(shù)延遲階數(shù) 統(tǒng)計量統(tǒng)計量p p值值 6 61

37、0.7610.760.09600.0960 在檢驗的顯著性水平取為0.05的條件下，p值大于0.05，故該 差分后序列可視為白噪聲序列 t y 對序列 t y進(jìn)行零均值化，得到新序列 t z =-0.11667，3.88333，-8.11667，3.88333， 1.38333，-3.11667，1.38333，-0.11667， -0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667， -0.11667，-0.11667，-0.11667，-0.11667， -0.11667，-0.11667，6.78333，-1.91667， 0.18333，2.38333，-3.2166

38、7，8.48333， -13.51667，-0.11667，-0.11667，14.08333， -5.01667，-5.91667 t z 30 1 1 30 k ktt k t z z 0,1,2,29k 利用（）得樣本自協(xié)方差函數(shù)估計 0 k k 利用，（）計算樣本自相關(guān)函數(shù) 0,1,2,29k 通過 1 11 0 11 1 1,1 0 1 1,1,1,1 k kkjkj j kkk kjj j kjkjkkk kj 估計樣本偏自相關(guān)函數(shù)，得到 3k kk當(dāng)當(dāng)時，時， 具有截尾性具有截尾性 用ar（3）模型擬合序列 t z 模型擬合原序列。對殘差序列進(jìn)行檢驗，得到 ，即用arima（3，

39、1，0） 2 通過公式 1 1121 2112 2133 1 1 1 得到與上述參數(shù)顯著性檢驗一樣的結(jié)果： 1 2 3 = -3.16，= -2.75， = -3.30， 因此arima（3，1，0）模型即為： 123 3.162.753.30 tttt xxxx 利用上述模型，預(yù)測干流中劣類水未來10年所占比例，得到： 年份年份月份月份劣劣v v類水類水年份年份月份月份劣劣v v類水類水 20052005 1-41-40.21110.2111 20062006 1-41-40.22920.2292 5-85-80.27790.27795-85-80.29300.2930 9-129-120.

40、27660.27669-129-120.29230.2923 20072007 1-41-40.24450.2445 20082008 1-41-40.25990.2599 5-85-80.30840.30845-85-80.32380.3238 9-129-120.30780.30789-129-120.32320.3232 20092009 1-41-40.27530.2753 20102010 1-41-40.29070.2907 5-85-80.33920.33925-85-80.35460.3546 9-129-120.33590.33599-129-120.35400.3540 2

41、0112011 1-41-40.30610.3061 20122012 1-41-40.32140.3214 5-85-80.37000.37005-85-80.38540.3854 9-129-120.36910.36919-129-120.38460.3846 20132013 1-41-40.33680.3368 20142014 1-41-40.35220.3522 5-85-80.40070.40075-85-80.41610.4161 9-129-120.40010.40019-129-120.41550.4155 在上述模型預(yù)測結(jié)果中，我們得到的數(shù)據(jù)為枯水期、豐水 期和8-12月

42、的平均值，并不包含水文年的數(shù)據(jù)，故還需要還原 水文年的數(shù)據(jù)，可以通過公式： 水文年=（枯水期+豐水期+8-12月平均值）/3 對于三類水所占的比例滿足： 飲用水+污水+劣v類水=100%. 具體預(yù)測結(jié)果見附錄4。 從預(yù)測結(jié)果中可以看出，干流中污水和劣v類水所占的比 例只有微小的增長，支流中劣v類水的比例增長速度較快。全 流域中劣v類水所占比例增長速度也較快。盡管干流中和全流 域中污水所占比例增長并不大，但長期發(fā)展下去，全流域和支 流中可飲用水的比例將低于50%，而在干流中可飲用水比例也 僅僅是略高于50%，若不采取措施防污治污，后果不堪設(shè)想！ 在題目中僅僅給出了10年水文年的觀測數(shù)據(jù)，要用來預(yù)

43、測 后10年的數(shù)據(jù)，顯然數(shù)據(jù)量太小。雖然我們經(jīng)過了數(shù)據(jù)處理， 將數(shù)據(jù)合理地增加到30個，但是對于利用時間序列分析模型 進(jìn)行短期的預(yù)測，數(shù)據(jù)量仍然顯得太少，這樣難免導(dǎo)致數(shù)據(jù) 的預(yù)測誤差較大。但就本題目而言，我們還是得到了較為滿 意的結(jié)果。 事實上，我們還可以對數(shù)據(jù)進(jìn)一步進(jìn)行處理，以增加數(shù)據(jù)量，事實上，我們還可以對數(shù)據(jù)進(jìn)一步進(jìn)行處理，以增加數(shù)據(jù)量， 提高預(yù)測的精度。對上述的原始序列提高預(yù)測的精度。對上述的原始序列 ，我們可以在保證，我們可以在保證 序列的平穩(wěn)性的條件下，進(jìn)行平滑技術(shù)處理：序列的平穩(wěn)性的條件下，進(jìn)行平滑技術(shù)處理： t x 1 1 2 2 tt t xx x 然后與原始序列融合得到一個新的時間序列，新序列的時期然后與原始序列融合得到一個新的時間序列，新序列的時期 長度將接近于原始序列的兩倍，數(shù)據(jù)個數(shù)大大增多，關(guān)鍵是長度將接近于原始序列的兩倍，數(shù)據(jù)個數(shù)大大增多，關(guān)鍵是 可以降低預(yù)測的誤差?？梢越档皖A(yù)測的誤差。 附錄附錄1 1： 附表附表: : 地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)（gb3838gb383820022002） 中中4 4個主要