函數(shù)方程及函數(shù)的應(yīng)用1

1、函數(shù)、方程及函數(shù)的應(yīng)用（一）函數(shù)、方程及函數(shù)的應(yīng)用（一） 二、二分法二、二分法 1 二分法的條件：函數(shù) y f(x)在區(qū)間 a ， b上的圖 象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且 f(a)f(b)0. 2 二分法的思想：通過二等分，無限逼近 3 二分法的步驟：其中給定精確度 的含義是區(qū)間 (a ， b)長度|a b| ， 不能認(rèn)為是函數(shù)零點(diǎn)近似值的精度 三、函數(shù)模型及其應(yīng)用三、函數(shù)模型及其應(yīng)用 解決函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題， 首先考慮題目考查的函 數(shù)模型，并要注意定義域其解題步驟是： 1 閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么， 從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題 2 數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，

2、 建立函數(shù)關(guān)系式 3 解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué) 結(jié)果 4 實(shí)際問題作答：將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問 題作出解答 四、二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的關(guān)系四、二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的關(guān)系 二次函數(shù)、二次方程、二次不等式是最基本的知識點(diǎn)， “三個二次型”是一個有機(jī)的整體，其中二次函數(shù)的圖象 是聯(lián)系三者的橋梁和紐帶 ? ?探究點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)的判定 例 1 (1) 函數(shù) f(x)2 x3 x 的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是 ( ) A(2 ，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) (2) 若函數(shù) f(x)的零點(diǎn)與g(x)4 x2 x2 的零點(diǎn)之差 的絕對值不超過 0.25 ，

3、則 f(x)可以是( ) Af(x)4 x1 Bf(x)(x1) 2 Cf(x)e x1 D f(x)lnx1 2 (1) B (2)A 【解析】 (1) 由 f ( 1) 1 2 30 及零點(diǎn)定理知 f ( x ) 的零點(diǎn)在區(qū)間 ( 1,0 ) 上 (2) f(x)4 x1的零點(diǎn)為x1 4 ，f(x)(x1) 2 的零點(diǎn)為 x 1，f(x)e x1的零點(diǎn)為 x0 ，f(x)lnx 1 2 的零點(diǎn)為 x3 2 . 現(xiàn)在我們來估算 g(x)4 x2 x2 的零點(diǎn)，因?yàn)?g(0) 1， g 1 2 1，所以 g(x)的零點(diǎn)x0 ，1 2 ，又函數(shù) f(x)的零點(diǎn)與g(x) 4 x2 x2 的零點(diǎn)之

4、差的絕對值不超過 0.25 ，故可排除 B， D，由二分法進(jìn)一步計(jì)算g 1 4 2 3 2 0，所以g(x)的零點(diǎn)x 1 4 ， 1 2 ，只有 f(x)4 x1的零點(diǎn)適合，故選A. 【點(diǎn)評】【點(diǎn)評】 函數(shù)零點(diǎn)附近函數(shù)值的符號相反，這類選 擇題通常采用代入排除的方法求解如果要判斷函數(shù)在給 定區(qū)間上不存在零點(diǎn)，則只需說明函數(shù)圖象在此區(qū)間上與 x 軸無交點(diǎn)，或者說明函數(shù)在此區(qū)間上的最大 ( 小 )值恒小 ( 大 )于零就可以了如果想準(zhǔn)確判定零點(diǎn)的位置，那么就 要用二分法 例 2 已知實(shí)數(shù) x1，x2分別是方程e xx2 與 lnxx2 的根，則 x1x2的值為_ 【解析】 方程e x x2與ln

5、x22可化為e x x2，ln x x2 ，分別作出ye x ，yln x，y x 2的圖象，如圖所示： 因?yàn)楹瘮?shù) y e x ，yln x的圖象關(guān)于直線 y x對稱， 由 ? ? ? ? ? y x， y x2 ， 解得x1， x 1 x22. 例例 3 3 某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪 船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口北偏西 30 且與該港口相 距 20海里的A 處，并正以 30海里/ 小時的航行速度沿正東方 向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以 v 海里/小時的航行速 度勻速行駛，經(jīng)過 t小時與輪船相遇 (1) 若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度 的大小應(yīng)為多

6、少？ (2) 為保證小艇在 30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試 確定小艇航行速度的最小值； (3) 是否存在 v，使得小艇以v 海里/小時的航行速度行駛， 總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在， 試確定 v 的 取值范圍；若不存在，請說明理由 【解答】【解答】 (1)設(shè)相遇時小艇的航行距離為 S海里，則 S900 t 2 4002 30 t20cos?9030 ? 900 t 2 600 t400 900 t1 3 2 300. 故當(dāng) t1 3 時 S min10 3，v10 3 1 3 30 3， 即小艇以 30 3 海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航 行距離最小 (2)設(shè)小艇

7、與輪船在 設(shè)小艇與輪船在 B 處相遇由題意可得：處相遇由題意可得： (vt) 2 20 2 (30 t)2220 30 tcos(90 30 )， ， 化簡得： v 2 400 t 2 600 t 900400 1 t 3 4 2 675. 由于 00)， 于是于是 400 u 2 600 u900v20.(*) 小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價于方小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價于方 程程(*)應(yīng)有兩個不等正根，應(yīng)有兩個不等正根， 即：即： ? ? ? ? ? 600 2 1600 ?900 v2?0， 900 v20 解得解得 15 3v1 ?， ?x1 ? x1時

8、，(x)2；而當(dāng)x2. 所以 g(x)2 ，故此時 a2 ， 綜合，得所求 a的取值范圍是a2. 【點(diǎn)評】 一次、 二次函數(shù)是最基本的初等函數(shù)， 本題在 設(shè)置上含有絕對值運(yùn)算，這是該題的一個亮點(diǎn)， (1)中對方程 有兩個解的等價轉(zhuǎn)化以及 (2)中對不等式恒成立轉(zhuǎn)化成求函 數(shù)的最值，這都是考查的重點(diǎn)，應(yīng)認(rèn)真體會、應(yīng)用 備選理由：備選理由：1是函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，是函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用， 2可作為基 可作為基 礎(chǔ)訓(xùn)練，礎(chǔ)訓(xùn)練，3是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大，可加強(qiáng)能力是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大，可加強(qiáng)能力 訓(xùn)練訓(xùn)練 1 若 若 x0是方程式lgx x2的解，的解， 則則 x0屬于區(qū)

9、間( ) A (0,1) B(1,1.25) C (1.25,1.75) D (1.75,2) 【解析】 D 構(gòu)造函數(shù) f(x)lgxx2 ， 由 f(1.75) f7 4 lg 7 4 1 4 0知 x0屬于區(qū)間(1.75,2) 2 設(shè)函數(shù) f(x)4sin(2 x1)x，則在下列區(qū)間中 函數(shù) f(x)不存在零點(diǎn)的是( ) A4，2 B2,0 C0,2 D2,4 【解析】解析】 A 函數(shù)在某個區(qū)間上不存在零點(diǎn)，不好直接 判斷，但可以根據(jù)三角函數(shù)值的情況，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)定理 進(jìn)行分析判斷函數(shù)在那些區(qū)間上存在零點(diǎn)，結(jié)合排除法找到 答案 f(0)4sin10 ，f(2)4sin52，由于 52 ，

10、所以 sin50 ，故 f(2)0 ，故函數(shù)在0,20,2 上存在零點(diǎn)，排除 C；由于 f(1) 4sin(1)10，而f(2)0 ，所以函 數(shù)在2,4上存在零點(diǎn)，排除 D.綜合知函數(shù)在 4 ，2上不 存在零點(diǎn) 3 已知二次函數(shù) f(x)ax2bxc. (1)若f(1)0，試判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)； (2)若對 ? x1，x2R，且x10，函數(shù)，函數(shù) f(x)有兩個零點(diǎn) (2) 令令 g(x) f(x)1 2 f(x1) f(x2)，則 g(x1) f(x1) 1 2 f(x1) f(x2)f?x 1 ? f?x2? 2 ， g(x2) f(x2) 1 2 f(x1) f(x2)f?x 2

11、 ? f?x1? 2 ， g(x1)g(x2) 1 4 f(x1) f(x2) 2 0， ， f(x1)f(x2) g(x)0在在(x1，x2)內(nèi)必有一個實(shí)根內(nèi)必有一個實(shí)根 即 即? ? x 0(x1，x2)，使 f(x0) 1 2 f(x1) f(x2)成立 (3) 假設(shè) a， ，b，c存在，由知拋物線的對稱軸為存在，由知拋物線的對稱軸為 x 1，且 f(x)min 0， b 2 a 1，4 ac b 2 4 a 0， b2 a，b 2 4 ac，4 a 2 4 ac，ac. 由知? x R，都有 0 f(x)x1 2 (x 1) 2 ， 令令 x 1得得0f(1)10 ? f(1)10 ?

12、 f(1)1 ? ab c1， 由由 ? ? ? ? ? a bc1， b 2 a， a c 得得 a c1 4 ，b1 2 ， 當(dāng)ac 1 4 ， b 1 2 時， f(x) 1 4 x 2 1 2 x 1 4 1 4 (x1) 2 ，其頂 點(diǎn)為 (1,0) 滿足條件，又 f(x)x 1 4 (x1) 2 ? ? x R，都有 0 f(x)x 1 2 (x1) 2 ，滿足條件 . 存在 a，b，cR，使f(x)同時滿足條件、. 規(guī)律技巧提煉規(guī)律技巧提煉 1判斷函數(shù)的零點(diǎn)，要善于運(yùn)用“三個轉(zhuǎn)化”，時常將 函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)問題， 或轉(zhuǎn)化為 兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)問題需特別注意的是下面式子是錯的： “f(a)f(b)0? ?