大連理工大攻讀碩士研究生入學考試高等代數(shù)試題及參考解答

1、大連理工大攻讀碩士研究生入學考試高等代數(shù)試題及參考解答一、填空題(每小題4分)1.設(shè)f(X)是有理數(shù)域上的不可約多項式,Ot為f(X)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的一個根，Ot的重數(shù)為12.n階行列式1III13III1IIIIIIIIIIII1IIIn+1n 1 =1+送 1n!.k4 k3.設(shè)a、P均為n維列向量：aP =2,則A = E +aP 可逆,A = E-aP 34.設(shè)向量組,(/2,|,%線性無關(guān)，飛2 +5+川+5h=1 +口3 +)丨|+5Pr =%+ t|+r_1Pr+=1 +2+H|+rX S,川，Pr, Pr十線性相關(guān).5.設(shè)A是n階矩陣，秩A = r，非齊次線性方程組 Ax = P有

2、解，則Ax = P的解向量組的秩為n r +1.6.設(shè)a、b均為實數(shù)，二次型f(X1,X2，小,Xn) =(ax1 +bx2)2 +(ax2 +bx3)2+ + (aXn4 + bXn)2 +(aXn +以)2a、b滿足條件an+(1)nbn H0時，f為正定二次型.7.設(shè)V是由矩陣A的全體實系數(shù)多項式組成的線性空間，其中了102/則V的一組基是E,A,A2.8.設(shè)V是數(shù)域P維線性空間，寫出V上的所有線性變換取定V 的一個非零向量a ,則V = L(a)的全部線性變換形女口fa : xa T a(xa),其中 a是 P中任一取定的數(shù) 9.正交矩陣的實特征值為1.10.設(shè)G為群，H、N分別是G的

3、子群，H、N的階分別是m、n,且m、n互素,令a H c N ,則元素a的階為_1：二、(10分)設(shè)f(x),g(x)是數(shù)域P上的多項式，證明：在數(shù)域P上，若f3(x)|g3(x).則 f(x)|g(x).參考解答：若 f (x), g(x)中有一個是零多項式或零次多項式，則結(jié)論顯然成立.下設(shè)戲(X)aO, 0(x) aO,且g(xari(x)p2r2(x|psrs(x)1的不可是g(x)的標準分解式，其中pi(x), P2(x),IH, ps(x)是互不相同的最高次項系數(shù)為約多項式，1,2,111,1都是正整數(shù).任取f (x)的一個不可約因式 q(x),由于q(x)| f(x), f(x)|

4、 f3(x), f3(x)|g3(x)3利用多項式整除的傳遞性 ，得q(x)|g (x).由于q(x)是不可約多項式，故q(x)|g(x),進一步可知,q(x) =cpi(x),對某個1蘭i蘭s及c忘P.于是我們可以設(shè)f(X)= bp,1(X)pJWlll Psts(x),其中t1,t2,HI,ts是非負整數(shù).從f 3(x) |g3(x)知，存在多項式h(x盧Px,使得33g(X)= f (X) | h(x),即a3 P13r1(x) P23r2(x) 111Ps3rs(x) =b3pi3t1(x) P23t2(x)HI Ps3ts(x)h(x).由此推出 3ri 3ti ,即 ri ti ,

5、 1,2j|l,s.因此g(x)=bpit1(x) P2t2(X)川psts(X)*7 p/ T (x) P2r2主(x)liI Psrss (x)b= f(x) 口心&)PsrH(X)b由多項式整除的定義知，f(x)|g(x).2k三、(15分)設(shè)A為n級矩陣,且秩A=秩A ,證明：對任意自然數(shù)k ,有秩A =秩A.參考解答：對 k作數(shù)學歸納法.當k =1,2時結(jié)論顯然成立.假設(shè)k -1時結(jié)論成立，即rank A =rank Ak 丄.令V =X=0, i =1,2,m那么顯然有Vi匸V2匸從rank A =rank Ak-知.k 1dimV, = n-rankA = n rank A=di

6、mVk于是Vi=Vk.任取X。迂Vk,即AkX0=0 ,亦即Ak(AX)=0,那么AX0迂V_1=V.于是A X0 -0.進一步有 Ak% 才(A2X0) =0 ,這表明X。壬Vk_1,從而Vk匸Vk_1.因此，Vk =Vk4.于是krankA= n-dim = n-dimVk = n-dimVk = rank A .四、(15分) 證明：一個實二次型可以分解成兩個實系數(shù)的一次齊次多項式的乘積的 充分必要條件是，它的秩等于2和符號差等于0,或者秩等于1.參考解答：充分性.若f(Xi,X2,lll,Xn)的秩為1,則可經(jīng)非退化線性替換使f(Xi,X2,|LXn) =kyi2,其中 yi =耳為

7、+&2%2 +川 + a.Xn,故f (X1,X2HHXnk(a1X +a2X + anXn)2.若f (Xi,X2,|H,Xn)的秩為2,符號差為0,則可經(jīng)非退化線性替換使f(x1,x2,lli,Xn) = y2 y； =(% +y2)(y1 y2),其中yi,y2均為Xi,X2,|l,Xn的一次多項式，即y1 =a,X1 +a2X2 +11丨中anXny2+b2X2 + Hl + bnXn故f(X1, X2,1 il, Xn)可表為兩個兩個實系數(shù)一次齊次多項式的乘積必要性.設(shè)實二次型f (,x2|, xn)可以分解成兩個實系數(shù)一次齊次多項式的乘積f (Xi,X2，屮 Xn) =(aiXi

8、+a2X2 + anXnXRXi +b2X2 +bnXn)若兩個一次多項式的系數(shù)成比例，即b =ka(i =i,2川I,n),不妨設(shè)a,工0,令:yi =aiXi +a2X2 +iH + a/n y2 =X2IIINIn =Xnf (Xi,X2,|i,Xn) =ky,2,即二次型 f(Xi,X2,lil,Xn)的秩為 1.若兩個一次多項式系數(shù)不成比例，不妨設(shè)旦1 H電，令b,b2y3yi =aiXi +a2X2 +i| +anXny bi Xi +b2X2 +川 + bnXnX3IIINI:yn =Xnf (Xi,X2,lll,Xn) =yiy2.再令yi = 4 + z2y2 = zi Z2

9、 “Z3Himijn = Znf (Xi,X2,lll,Xn) =yiy2 =Zi2 z；,故二次型 f (Xi,X2,lil,人)的秩為 2,符號差為零.五、(15分)設(shè)ei,lil,%是數(shù)域P上的n維線性空間V的一組基，W是V的非平凡子 空間，叫,川，是W的一組基,證明：在習,111,%中可以找到n r個向量氣，川，會一，使%,lli,%,氣,Hi,仁為V的一組基.參考解答：因為W是V的非平凡子空間，故WHV.于是r= f1(A)A Af2(A)= f2(A)A.任取a壬V|,則f1(A) )=0.由于f1(A( A：a)=( f1(A)A)( a)=(Af1(A)( a)= A：f1(A

10、)(a)= A(0)=0.故 ZU.由不變子空間的定義知，V1是A的不變子空間.類似地可證，V2也是A的不變 子空間. 因為f1(x)與f2(x)互素，存在u(x),v(x) Px使得u(x)f1(x)+v(x) f2(x)=1.將x=A代入上式，得(*)u(A) f1(A+ v(A) f2(A)=s ( s 為恒等變換).a =g(a) =u(A) f1(A)+ v(A) f2 (A) ).由于f(X)是A的最小多項式，故f (A)= f1 (A) f2 (A)= 0 .于是f2(A)(U(Afi(A(a)=( U(Afi(Af2(A)(a)=U(A)(f (A)(a )= u(A)(0 )

11、= 0類似地，fi(A)( v(A) f2(A)( a )=0.因此U(A)fi(A)(a) V2, v(A)f2(A)(a HVi.于是從(*)知V匸Vi +V2.注意Vi,V2都是V的子空間，故V 7 +V2.設(shè) P (P)=0.由(*)知P Y(p) =( U(A) fi(A)(P)+( v(A) f2(A)( P)=0,故 VV2 =0.因此 V = V V2. 由于對任a 叫有fi(A)(a)=0,故fi(A)作為Vi上的線性變換是零變換，即f1 (A) |V =0,亦即f1(x)是的零化多項式.設(shè)g1(x)是A|V的最小多項式，則g1(x) | f, (x),從而有 Cgi(x)

12、cfi(x).類似地，設(shè)g2(x)是A|v2的最小多項式，則g2(X)| f2(X),且Cg2(X)吋2(X).取 g(x) =gi(x)g2(x),那么 g(x)| f (x),故 cg(x) f (x).任Y沁，由知V =ViV2 ,可設(shè)Y =丫1 + 丫2, Y嚴Vi.于是g(A)( Y)=gi(A g2(A)( 丫小gi(A)g2(A)(= g2(A) gi(A)( Yi)+ g(A) g2(A(食尸 0+0=0這表明g(x)是A的零化多項式，故f(x)|g(x).從而有 汙(x)(x).于是(X)=(x) =gi(x)+ 云g2(x).f (x) =cfi(x) +死(X), gi(x)fi(x), cg2(x)f2(x)知 匈i(X)國(X).由于gi (x)是最高次項 系數(shù)為1的多項式，且gi (x) | (x)知gi(x) = fi(x).九、(10分)設(shè)R是有1的交換環(huán)，P是R的素理想，Ii,l2,lil,ln是R的極大理想，如果P包含Il,l2,|,ln的交集，證明P必為極大理想.參考解答：已知 P二hcjcHIcln.現(xiàn)在我們證明：存在某個i,1i n,使得證法：假設(shè)對任1蘭i n , P都不包含Ii,則存在a Ii, a P.由于I