Jordan標(biāo)準(zhǔn)形簡介

1、線性代數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 教學(xué)目的：教學(xué)目的：通過本節(jié)的教學(xué)使學(xué)生更深刻理解方陣相 似對角矩陣的內(nèi)涵,了解不能相似于對角矩陣的方陣可相似 于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 教學(xué)要求教學(xué)要求：正確理解Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的概念，掌握求一 個方陣的初等因子組和化Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法. 教學(xué)重點：教學(xué)重點：求一個方陣的初等因子組和化Jordan標(biāo)準(zhǔn) 形的方法. 教學(xué)難點：教學(xué)難點：化方陣為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 教學(xué)時間教學(xué)時間：2學(xué)時. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *6 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形簡介標(biāo)準(zhǔn)形簡介 第五章 * 6 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形簡介標(biāo)準(zhǔn)形簡介 我們在討論方陣的對角化時知

2、道,并不是所有的方陣都 能化成對角陣,那末,在普遍意義上,矩陣在相似關(guān)系下的最簡 形是否存在?如果存在又取何種形式？Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的相關(guān) 結(jié)果就完美地回答了這一問題. Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論的建立需要較多的其它代數(shù)知識.限 于需要和可能，我們僅從實用的角度介紹Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論 的主要結(jié)果及Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的具體求法. 6.1多項式矩陣及其初等變換多項式矩陣及其初等變換 定義定義6.1 如果矩陣中每個元素都是變量的多項式，則 稱該多項式為的多項式矩陣多項式矩陣，簡稱-矩陣. 元素是數(shù)的矩陣稱為數(shù)元矩陣數(shù)元矩陣，數(shù)元矩陣是特殊的多 項式矩陣. 第五章 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

3、 定義定義6.2 對多項式矩陣A()的如下三種變換統(tǒng)稱為初等 變換. i）用一個非零數(shù)k乘A()的某行（列）； ii）將A()中的某行(列)的g()倍加于另一行(列)(其中 g()是的多項式)； iii）互換A()的兩行(列). 定義定義6.3 設(shè)A()和B()是兩個同型的多項式矩陣，如果 A()可以經(jīng)過有限次初等變換化為B()，則說A() 與B() 等價等價，記作A() B(). 對于n階數(shù)元矩陣A，其特征矩陣E-A是一個特定的多 項式矩陣.關(guān)于特征矩陣有如下的結(jié)論. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理6.1 對于n階數(shù)元矩陣A ，總有 1 2 ( ) ( ) ( ), ( ) n

4、 g g g EAG 其中g(shù)1(), g2(), gn()都是首項系數(shù)為1的多項式.并且 |E-A|= g1() g2() gn(). （*） 由于E-A經(jīng)過有限次的初等變換得到G()，根據(jù)初等 變換對矩陣相應(yīng)行列式的影響，可知|G()|與|E-A|最多相 差非零常數(shù)倍.再注意到|G()|與|E-A|都是首項系數(shù)為1的 多項式，便知（*）成立. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義6.4 對于n階數(shù)元矩陣A ，設(shè)E-A經(jīng)過初等變換 化為對角矩陣G().將g1(), g2(), gn()中的每個非常數(shù)多 項式做復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解，各分解式中的每一個一次因 式方冪稱為矩陣A的一個初等因子，

5、初等因子的全體成為A 的初等因子組. 例如例如，對于2階數(shù)元矩陣A，若有 2 1 1 ,(1) 1 (1) EA 則A的初等因子組為 ， -1， ，( -1)2. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由定義6.4 及（*）知： 1）方陣A的所有初等因子的乘積就是A的特征多項式； 2）每個初等因子都和矩陣A的某個特征值相應(yīng)，即如 果 是A的一個初等因子,則i一定是A的一個特征值；() i m i 3）n階方陣A的所有初等因子冪次之和恰為n. 在此必須指出:方陣A與某一特征值相應(yīng)的初等因子未 必只有一個.因此,一般不能從A的特征多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解式 12 12 ( )() ()() t nnn t

6、直接得到初等因子組為 12 12 () ()() . t nnn t 為求給定方陣A的初等因子組，需要對特征矩陣E-A 進行適當(dāng)?shù)某醯茸儞Q將其化為對角矩陣.這樣的對角矩陣并 不惟一.由此會不會導(dǎo)致初等因子組的不同呢？可以證明， 在不計各初等因子組相互次序的意義下，給定方陣A的初 等因子組是惟一的，不會因為E-A所化成的對角矩陣不同 而有所改變. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.1 求矩陣 110 430 005 A 的初等因子組. 解解 對E-A進行初等變換如下： 110 430 005 EA 12 110 340 005 cc 12 110 (1)340 005 cc 12 1

7、(3)2 ( 1) 100 ,0(1)0 005 rr r 由此得A的初等因子為：(-1)2, -5. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.2 矩陣的矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 定理定理6.2 在復(fù)數(shù)域上,如果n階矩陣A的全部初等因子為 12 12 () ,(),() . s mmm s 則 1 2 , s J J AJ J 其中 1 1 ,12 1 ii i i i i mm i= , ,s.J 定理6.2中的分塊對角矩陣J稱為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形,簡稱為 Jordan形. Jordan形J中的各個小塊J1,J2,Js稱為Jordan塊. 顯然,每個Jordan塊Ji恰于A的

8、一個初等因子 相對應(yīng).() i m i 在例6.1中，矩陣A的初等因子組為(-1), -5,與之相應(yīng) 的兩個Jordan塊為 12 11 ,(5). 1 JJ 于是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 1 2 11 .1 5 J J J 亦可以寫成 2 1 5 .11 1 J J J 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.2 求矩陣 111 102 111 A 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 解解對A的特征矩陣E-A進行初等變換化為對角矩陣， 111 12 111 EA 13 111 12 111 rr 12 13 (1) 2 100 113 12 c c c c 12 13 (1) 2 100 013 0

9、2 -r r r r 1 2 ( 1) ( 1) 2 100 013 02 r r 32 2 2 100 0133 02 rr 23 2 32 100 0133 002 - rr 2 23 3 (33) ( 1) 2 100 .010 00(1) cc r 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 與兩個初等因子相應(yīng)的Jordan小塊分別為 對所得的對角矩陣主對角元素的非常數(shù)多項式進行復(fù)數(shù)域 上的標(biāo)準(zhǔn)分解，可得A的初等因子組為 ， (+1)2. 12 11 (0), 1 JJ 于是可得A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 1 2 0 .11 1 J J J 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.3 求矩陣

10、1000 1120 0000 2021 A 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 解解 對的特征矩陣E-A進行初等變換化為對角矩陣， 1000 1120 000 2021 EA 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12 1120 1000 000 2021 rr 12 14 2 (1) 2 1120 0(1)2(1)0 000 02(1)21 rr rr 12 13 42 22 (1) 2 (1) 1000 0(1)0(1) 000 02(1)21 cc cc rr 1 24 2 ( 1) 1000 0(1)00 000 02(1)2(1) c cc 2 42 2 ( 1) 2 1000 0(1)00 00

11、0 002(1) r cc 4 4 2 1 2 ( 2) 1000 0(1)00 000 0021 r c 34 2 1000 0(1)00 0011 000 rr 34 2 1000 0(1)00 0011 000(1) - rr 34 4 2 (1) ( 1) 1000 0(1)00 . 0010 000(1) cc r A的初等因子組為 ，-1， (-1)2. 于是得A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 0 1 . 11 1 J 10 對于給定的方陣A，在不計各Jordan塊排列次序的 意義下，A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是惟一的. 20 方陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J是上三角形矩陣，其主對角 線上的元素恰是

12、A的特征值. 30 對角矩陣本身即是Jordan形，它的每一個對角元都 是一個一階的Jordan塊. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理6.3 兩個同階方陣相似的充分必要條件是它們的 Jordan形一致（這里“一致”的含義是可以經(jīng)過Jordan塊排列 次序的調(diào)整而得到的相同的Jordan形）. 證明證明 必要性.設(shè)AB，則有可逆矩陣P使P-1AP=B.于是 P-1(E-A)P= P-1P- P-1AP= E-B. 這說明E-A與E-B等價,它們可以經(jīng)初等變換化為同一對角 矩陣G().因此A與B的初等因子組一致，進而Jordan形一致. 充分性.不妨設(shè)A與B的Jordan形同為J，則A

13、、B同于J 相似，因而AB. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理6.4 矩陣A能與對角矩陣相似的充分必要條件是 它的初等因子全為一次式. 證明證明 若A相似于對角矩陣 1 2 , n 則已是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.可見A的初等因子組為 -1， -2， -n . 它們?nèi)珵橐淮问? 反之,若A的初等因子全為一次式,則A的所有的Jordan 塊全為一階，A的Jordan形顯然為對角矩陣.它當(dāng)然與A相 似. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.4 證明:如果n階矩陣A的全部特征值是1, 2, ,n, 則矩陣Am的全部特征值恰是1m, 2m, ,nm(這里1, 2, ,n 中可以有一些相同的數(shù) ). 證明證明 不妨設(shè)特征值1, 2, ,n中相同的都順序相鄰,并 設(shè)A的Jordan形為 1 1 2 2 . s n * * * J J J J 由AJ可知AmJm.利用上三角形矩陣冪運算的結(jié)果可知 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 2 . m m m m n * * * * J Jm是上三角形矩陣,它的全部特征值就是全部主對角元1m, 2