2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練《圓的方程》

1、2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練圓的方程【題型一】：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【類型二】：圓的一般方程【題型三】：點與圓的位置關(guān)系【題型四】：與圓有關(guān)的軌跡問題【題型一】：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】.已知圓與y軸相切，圓心在直線x-3y=0，且這個圓經(jīng)過點A(6，1)，求該圓的 方程【思路點撥】已知圓與y軸相切，圓心在直線x-3y=0，因此可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待 定系數(shù)法解決問題.解析：設(shè)圓心為ia,a ， r =| a |I 3丿2 f a千 2(6-a ) + J -一 i =a2 I 3丿 a = 3 或 a =111圓心為(3，1)(111，37)圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=9

2、 或(x-111)2+(y-37)2=1112總結(jié)升華：圓心或半徑的幾何意義明顯，則可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程【變式訓(xùn)練】：【變式1】若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切，則該 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()222 2A. (x-2)(y -1) -1B.(x-2) (y 1) -12 2 2 2C. (x 2)(y -1) =1D. (x -3) (y T) =1【解析】：依題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,1)，其中a 0，則有14a 一 3| =1，由此解得a = 2 ,5因此所求圓的方程是(x 一2)2 (y-1)2 =1，選A.【類型二】：圓的一般方程【例2】求過三點A(1，12)，B(

3、7，10)，C(-9，2)的圓的方程，并求出圓的圓心與半徑，作出圖形【思路點撥】因為圓過三個定點，故可以設(shè)圓的一般方程來求圓的方程【解】：設(shè)所求的圓的方程為x2 y2 Dx Ey 0，1+144 + D +12E +F =0,依題意有丿49+100+7D+10E+F =0,1+49D +2E + F =0.解得 D=-2，E=-4，F(xiàn)=-95.于是所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-95=0.將上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是，圓的圓心D的坐標(biāo)為(1, 2)，半徑為10，圖形如圖所示【總結(jié)升華】：求過三個定點的圓的方程往往采用待定系數(shù)法來求解 .利用圓經(jīng)過不在同一 直線

4、上的三點的條件，由待定系數(shù)法求出圓的一般式方程，并由此討論圓的幾何性質(zhì)，這是 解題的捷徑.對于由一般式給出的圓的方程，研究其幾何性質(zhì)(圓心與半徑等)時，?？捎门浞椒ɑ蚬椒右郧蠼?如由公式可得r = 1 - (-2)2 (-4)2 (-4)2 -4(-95) =10.【變式訓(xùn)練】：【變式1】圓與y軸相切，圓心P在直線x_3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2.7 , 求此圓的方程。【答案】：設(shè)圓方程為：(xa)2 (yb)2 = r2且圓心(a,b)在直線x-3y = 0上，二a =3b圓與 y 軸相切，二 r =|a| = 3| b|故圓方程為(x-3b)2 (y-b)2 =9b2，又因

5、為直線y=x截圓得弦長為2、弓，則有(l3b】bl)2桃奶2二?2，解得匕=1V2故所求圓方程為：(x -3)2 (y-1)2 =9 或(x 3)2 (y 1)2 =9?！咀兪?】求經(jīng)過點M (1,2)、N(3,4)且在x軸上截得的弦長為6的圓C的方程。【答案】：方法一：設(shè)圓心(a,b)，半徑長r，由垂徑定理可以得到圓C與x軸兩交點為P(a-3,0)、Q(a 3,0),由 M(1,2)、N(3,4)得 kMN “ 且 MN 的中點坐標(biāo)(2,3)，則MN的垂直平分線方程為y-3 = -(x-2)，PQ的垂直平分線方程為x=a。x = a解方程組：丿得圓心C(a,5-a).)一3 = -(x 2)

6、3由 |CP |=|CM |得.32(5 a)2 =、(a 一1)2(3_a) ：，解出 a,- -6,a2=4.當(dāng) a -6 時，圓心 G(-6,11) ,rj =130,圓 C 的方程為：(x 6)2 ( y -11)2 = 130當(dāng) a4 時，圓心 C2(4,1)J =10，圓 C 的方程為(x-4)2 (y-1)2 =10故所求圓的方程為：(x 6)2 (y11)2=130 或(x4)2 (y1)2=10.方法二：設(shè)所求圓為x2 y2 Dx Ey F =0.令y = 0得x2 Dx F = 0 ,在x軸上截得弦長為：| xx2 |(為 x2)2-41X2D2-4F 6.將M(1,2)、

7、N(3,4)代入圓方程可得方程組：D+2E+F+5=00=-8D=12*3D +4E +F +25 =0，解出 Ej =-2 或 $-22D24F-36=0IR =7=27所求圓方程為 x y -8x-2y，7=0 或 x y 12x-22y，27=0.【變式3】根據(jù)下列條件分別寫出圓的方程：(1) 圓過三個點(2, 2)，(5，3)，(6, 0)；(2) 圓過三個點 0(0,0), M (1,1), N (4,2).【思路點撥】：已知圓過三個點，且圓心、半徑不明確，故可用一般方程來求解D - _8【解析】：(1)設(shè)圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F =0，解得：* E =-2丁 =12所

8、求圓方程為：x2 y2 -8x -2y，12 = 0 ;(2)設(shè)所求的圓的方程為：x2 y2 Dx Ey F = 00(0,0), M (1,1), N (4,2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于D,E,F的三元一次方程組,F =0 即 VT0;|CQ| = J(5十(36$ =3阿所以，點M在圓上，點N在圓外，點Q在圓內(nèi).【題型四】：與圓有關(guān)的軌跡問題【例4】.已知點Q(10,0)，點P是圓x2 y2 =16上的動點，求線段PQ中點M的軌跡方程.【思路點撥】本題關(guān)鍵是找出點M與點P之間的聯(lián)系(實際是坐標(biāo)間的關(guān)系)【解析】:設(shè)P(X1, yj，fx12=

9、2x 10M（X，y），則. =2y，以 y =2y又因為點Pg, yj在圓上，所以xj yj =16即(2x -10)2 (2 y)2 =16，整理得(x -5)2 y2 =4所以線段PQ中點M的軌跡方程為(x-5)2 y2 =4.-【例5】已知圓O: x2 y4，點A 30，以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O,記點B的軌跡為丨.(1)求曲線-的方程;7直線AB交圓0于C, D兩點，當(dāng)B為CD中點時，求直線AB的方程【解析】(1)設(shè)AB的中點為M，切點為N,連接0M , MN ,則OM| + MN =2，取A關(guān)于y軸的對稱點A (-73,0 )，連接AB二 ab 十 AB| =2(|OM I +|MN| )=4點B的軌跡是以A, A為焦點，長軸長為4的橢圓.2其中a=2,C=、3，b=1則曲線：的方程為yU(2)：B為 CD 的中點，O