復(fù)變函數(shù)作業(yè)孫震宇

1、復(fù)變函數(shù)作業(yè)孫震宇作者:日期:期末作業(yè)機(jī)械專業(yè)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用130101706任課教師李俊玲1 0學(xué)生姓名：孫震宇1949【摘要】：復(fù)變函數(shù)與積分變換”既是一門理論性較強(qiáng)的課程，又是解決實(shí)際問題的強(qiáng)有力的工具復(fù)變函數(shù)起源于分析、力學(xué)、數(shù)學(xué)物理等理論與實(shí)際問題，具有鮮明的物理背景。”復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程是機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化 專業(yè)必修的專業(yè)基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)“電工技術(shù)”、“機(jī)械工程控制基礎(chǔ)”、“信號 與系統(tǒng)”等多門后繼專業(yè)課的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)這門課程對于培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)能力、創(chuàng) 新精神以及未來的業(yè)務(wù)素質(zhì)都是非常重要的。建立在復(fù)變函數(shù)理論之上的積分變 換方法，通過特定形式的積分建立函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，既能

2、簡化計(jì)算，又具有明 確的物理意義，在機(jī)械工程、電力工程、通信和控制領(lǐng)域、信號分析和圖像處理、 語音識別與合成等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。復(fù)變函數(shù)與積分變換這門課程主要是兩大部分的內(nèi)容，一是復(fù)變函數(shù)的相關(guān) 知識，二是傅里葉變換與拉普拉斯變換這兩個(gè)主要的積分變換。在機(jī)械設(shè)計(jì)制 造及其自動(dòng)化專業(yè)中，對信號處理時(shí)的傳遞函數(shù)理論分析、 各類信號處理中的時(shí) -頻域理論分析等內(nèi)容要應(yīng)用復(fù)變函數(shù)中的方法與拉普拉斯變換進(jìn)行處理；對線性系統(tǒng)的理論分析要應(yīng)用拉普拉斯變換進(jìn)行。復(fù)變函數(shù)在機(jī)械上的應(yīng)用主要是計(jì)算結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)或模態(tài)參數(shù)。 作為一種中間 函數(shù)類型，復(fù)變函數(shù)可以把復(fù)雜的線性微分方程變成代數(shù)方程來求解，求出阻尼、

3、固有頻率等系統(tǒng)的特性參數(shù)，從而知道結(jié)構(gòu)在不同激勵(lì)下的響應(yīng)如何，應(yīng)用極其廣泛。復(fù)變函數(shù)對于我們的意義重大，它是我們建立數(shù)學(xué)模型的最基本的方法。比如傳遞函數(shù)，就要用到拉普拉斯變換。從某種意義是講，拉普拉斯變換就是機(jī) 械工程控制基礎(chǔ)課程這座大房子的重要地基之一，沒有它 ，你就沒法將這門課 程深入的學(xué)習(xí)下去。因此復(fù)變函數(shù)與積分變換這門課程對該專業(yè)的學(xué)習(xí)起著重要作用，下面僅就幾個(gè)簡單問題進(jìn)行分析。一、描述線性系統(tǒng)的微分方程一個(gè)物理系統(tǒng)，如果可以用常系數(shù)線性微分方程來描述，那么這個(gè)物理系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng).例如， 在rc串聯(lián)電路中(如圖1),電容器的輸出端電壓uc(t)與r、c及輸入端電壓e( t)之間的關(guān)系

4、可以用微分方程rcdu/dt =e (t)來描述，它就是一個(gè)線性系統(tǒng)圖1對于機(jī)械工程控制基礎(chǔ)中的許多物理系統(tǒng)不僅可以用微分方程來描述, 而且可以用拉普拉斯變換求解。【例1】：如圖2所示的機(jī)械系統(tǒng)最初是靜止的，受一沖擊力f(t尸a ! (t)的作用使系統(tǒng)開始運(yùn)動(dòng)，求由此而產(chǎn)生的振動(dòng)【解】：設(shè)系統(tǒng)振動(dòng)規(guī)律為x=x( t),且當(dāng)t =0時(shí)，x( 0) =x (0 ) = 0 ,沖擊力f( t) =a6( t),彈性恢復(fù)力為-kx( x為彈性阻尼系數(shù))。根據(jù)牛頓第二定律，有 mx ( t) =a 6( t) - kx( t )即 mx ( t) +kx( t ) =a6(七)設(shè)1乂( t) =x( s

5、),對方程兩邊取拉普拉斯變換，可得ms2x (s) +kx( s) =a于是取拉普拉斯逆變換，得因此，此振動(dòng)規(guī)律是振幅為 扁,角頻率為丫加的簡諧振動(dòng)。線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)線性系統(tǒng)的兩個(gè)主要概念是激勵(lì)與響應(yīng)，通常稱輸入函數(shù)為系統(tǒng)的激勵(lì)，而稱輸出函數(shù)為系統(tǒng)的響應(yīng)(見圖3 )。 ii必他i田q-美 統(tǒng)中導(dǎo)w-圖三如在rc串聯(lián)電路中,輸入端電壓6 ( x) 為該系統(tǒng)的激勵(lì),電容器的輸出端電壓uc ( t)為該系統(tǒng)的響應(yīng)。要研究激勵(lì)與響應(yīng)同系統(tǒng)本身特性之 問的關(guān)系，這就需要有描述系統(tǒng)本性特征的函數(shù)傳遞函數(shù)。凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。其標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程為 a1y+a 0y=f( t )

6、 o在零初始條件下對其進(jìn)行拉普拉斯變換，可以求得一階線性系統(tǒng)的 傳遞函數(shù)為。顯然，在同一形式的輸入信號作用下，盡管這些系統(tǒng)的輸出信號是 各不相同的物理量，但是它們的輸出信號的形式是相同的。正因?yàn)槿绱?，系統(tǒng)的理論分析才具有普遍意義。例如：在rc小 工1 串聯(lián)電路中,其傳遞函數(shù)為g(s) =1/ (rc s+1 ) c因此，想要學(xué)好專業(yè)課，復(fù)變函數(shù)與積分變換課程顯然是必不可少的。只 有學(xué)好復(fù)變函數(shù)與積分變換，在學(xué)習(xí)專業(yè)課中才能輕松自如地掌握相關(guān)知識， 并運(yùn)用于實(shí)踐中去?！窘Y(jié)束語】：從以上的問題解決中可以看出，用“復(fù)變函數(shù)與積分變換”中知識求解線性微分、積分方程及其方程組的解時(shí)，有如下的優(yōu)點(diǎn):(1)

7、在求解的過程中，初始條件也同時(shí)用上了，求出的結(jié)果就是需要的特解。這樣就避免了微分方程的一般解法中，先求通解再求特解再根據(jù)初始條件確定任意 常數(shù)求出特解的復(fù)雜運(yùn)算。(2)對于一個(gè)非齊次的線性微分方程來說，當(dāng)其次項(xiàng)不是連續(xù)連續(xù)函數(shù)時(shí)，用拉普拉斯變換求解沒有任何困難，而用微分方程的一般解法就會困得多。(3)用“復(fù)變函數(shù)與積分變換”中的拉普拉斯變換求解線性微分、積分方程組時(shí),不僅比微分方程組的一般解法簡單得多，而且還可以單獨(dú)求出某一個(gè)未知 函數(shù)，而不需要知道其余的未知函數(shù)，這在微分方程組一般解法中通常是不可能 的。用“復(fù)變函數(shù)與積分變換”中的拉普拉斯變換方法求解的步驟明確、規(guī)范， 便于在機(jī)械控制工程中應(yīng)用，而且有現(xiàn)成的拉普拉斯變換表，可直接獲的象原函數(shù)(即方程的解)0另外我們經(jīng)常討論的用來處理各種輸入信號的線性定常系統(tǒng)的規(guī)律也可以用“復(fù)變函數(shù)與積分變換”中的方法來描述，如電路方程，微分方程，硬件系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))等.以上的這些優(yōu)點(diǎn)使著“復(fù)變函數(shù)與積分變 換”在機(jī)械專業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用?！竞笥洝浚菏紫纫兄x教我“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程的丁蕾老師，本來不想寫論文的我在丁老師的教育引導(dǎo)下，為了寫好這篇論文我查閱了很多“復(fù) 變函數(shù)與積分變換”