對數(shù)與對數(shù)運算(2)

1、2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運算對數(shù)與對數(shù)運算 (2) 一、對數(shù)的概念一、對數(shù)的概念 1. 定義：定義：一般地，如果一般地，如果 ax=N （a0，a1） ， 那么數(shù)那么數(shù)x叫做以叫做以a為底為底N的的對數(shù)對數(shù)，記作，記作: x = loga N， 其中其中a叫做對數(shù)的叫做對數(shù)的底數(shù)，底數(shù)，N 叫做叫做真數(shù)真數(shù). 因為因為a0，所以不論，所以不論x是什么實數(shù)，都有是什么實數(shù)，都有ax0， 這就是說不論這就是說不論x是什么數(shù)，是什么數(shù)，N永遠是正數(shù)，因此永遠是正數(shù)，因此 負數(shù)和零沒有對數(shù)負數(shù)和零沒有對數(shù). 2. 由對數(shù)定義得：由對數(shù)定義得： （1）負數(shù)和零沒有對數(shù)）負數(shù)和零沒有對數(shù) ； （2）loga

2、1 = （3）logaa = （4）alogaN = （a0，a1）0 1 N （a0，a1） （a0，a1） 指數(shù)式指數(shù)式ax=N 中，中，a叫底數(shù)，叫底數(shù)，x叫指數(shù)，叫指數(shù)，N叫冪；叫冪； x = loga N 3. 指數(shù)式與對數(shù)式的關系：指數(shù)式與對數(shù)式的關系： ax=N 對數(shù)式對數(shù)式x = loga N中中, a叫底數(shù)叫底數(shù), x叫對數(shù)，叫對數(shù)，N叫真數(shù)叫真數(shù). 4.常用對數(shù)常用對數(shù): 以以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，為了簡便，為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，為了簡便， N的常用對數(shù)的常用對數(shù) log 10 N 簡記作簡記作 lgN . 5.自然對數(shù)自然對數(shù): 在科學技術中常常使用以無理數(shù)在科學

3、技術中常常使用以無理數(shù)e=2.71828 為底的對數(shù)，以為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù). 為了簡便，為了簡便，N的自然對數(shù)的自然對數(shù) log e N 簡記作簡記作 ln N. 二、對數(shù)運算性質(zhì)二、對數(shù)運算性質(zhì) ）（）（ ；）（ ；）（）（ ，那么，如果 RnMnM NM N M NMMN NMaa a n a aaa aaa loglog3 logloglog2 logloglog1 0010 3 3 1 log log5 5 5555 2 1(1) 33; 7 2log 35-2loglog 7-log 1.8 3 3lg 5lg2lg5lg2 . 例例求求值值

4、： （）； （） 解：解： 3 3 1 log log5 5 (1) 33 3 11 log 25 53 1 2 3 1 log () 5 53 1 5 5 3 1 log 5 53 6 5 6 5 . 5 5555 499 (log 35log 7)(loglog) 95 原原式式 55 499 log (357)log () 95 5 357 log 1 49 5 2 5 log 5 2 . 5555 7 2log 35-2loglog 7-log 1.8 3 （）； 解：解： 2 3lg 5lg2lg5lg2 .（） lg5 lg5lg2lg2解解：原原式式（） lg5 lg10lg2

5、lg5lg2 lg10 1 . 三、換底公式：三、換底公式： log log log c a c b b a logabp ， p ab loglog p cc ab loglog cc pab 01aa且且log0 c a log log c c b p a log log. log c a c b b a （a0且且a1； c0且且c1； b0 ） 證明：證明： 設設 則則 即即 即即 （c0且且c1 ） 1loglog) 1 (ab ba m a b n log2 ）（ ：證明ab ba loglog) 1 ( an bm a a log log b n m a log b n m b

6、a m an loglog 1loglogab ba b n m b a m an loglog)2( b a a b lg lg lg lg 1 n a m a a b log log 由換底公式得：由換底公式得： 兩個重要結(jié)論兩個重要結(jié)論 教材第教材第74頁頁 習題習題2.2 A組組 4題題 已知已知 lg2=a , lg3=b ,求下列各式的值：求下列各式的值： 3 (2) log 4; 2 (3) log 12 . 解：解： 3 lg4 (2) log 4 lg3 2lg2 lg3 2 ; a b 2 lg12 (3) log 12 lg2 lg3lg4 lg2 lg32lg2 lg2

7、 2 . ba a 2. b a 100 lg20log25 2 2 100 10 log25log5 解解：lg5 100 lg20log25 lg(205) lg20lg5 2. 2 lg10 例例2. 計算：計算： 24525 log 5log 0.2)(log 2log0.5)（ 解解：原原式式 2255 1111 log 5log)(log 2log) 2522 （ 25 11 log 5)(log 2) 22 （ 25 1 log 5 log 2 4 1 . 4 例例3. 計算：計算： 11 22 2255 11 log 5log ( ) log 2log ( ) 52 11 22 25 log (5 5)log (2 2) 11 22 25 log 5 log 2 24525 log 5log 0.2)(log 2log0.5)（ 解解2：2：原原式式 2255 1111 log 5log)(log 2log) 2522 （ 2255 11 log 5log 5)(log 2log 2) 22 （ 25 11 log 5)(log 2) 22 （ 25 1 log 5 log 2 4 1 . 4 例例3. 計算：計算： 11 2255 11 log 5log 5 )(